Kepler törvényeinek igazolása
A Kepler-törvényeket Tycho Brahe XVI . Század végi megfigyeléseiből és Johannes Kepler további elemzéseiből fedezték fel a következő évtizedekben.
A 1687 a Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , Isaac Newton bevezette a gravitációs erő, amelynek célja, hogy mind a magyarázatot a bolygók mozgását, valamint a nehézségi gyorsulás. Az itt feltárt probléma annak bemutatása, hogy a gravitáció univerzális törvényének egyedüli kifejezése, a dinamika alapelvével kombinálva igazolja Kepler empirikus törvényeit. Newton megoldotta.
Újabb geometriai bemutatót tartott Richard Feynman óráin. Nem tette közzé, de Brian Beckman ezt 2006-ban tette meg: The Journal of Symbolic Geometry , 1. kötet. Feynman bizonyítékának francia fordítása, részletes magyarázatokkal megtalálható R. Feynman, D. és J. Goodstein, The bolygók mozgása a Nap körül: Feynman , Cassini, 2009 elveszett iránya (David L. Goodstein és Judith R. Goodstein fordítása , Feynman elveszett előadása: A bolygók mozgása a Nap körül , Norton, 1996).
Egyezmények és jelölések az ezt követő tüntetésekhez
Leegyszerűsítésképpen vegyük a Napot a referenciakeret kiindulópontjává, a z tengely, amely merőleges a Napon és a bolygón áthaladó egyenesre, merőleges a bolygó sebességének irányára t = 0 időpontban . Az x tengely a Nap és a bolygó közötti legkisebb távolságnak megfelelő irányban. A legnagyobb távolság a Nap és a bolygó között az -x irányban lesz .
-
M{\ displaystyle M \,}
: a Nap tömege.
-
m{\ displaystyle m \,}
: a bolygó tömege.
-
O{\ displaystyle O \,}
: a Nap helyzete. Ez a tárház eredete.
-
P{\ displaystyle P \,}
: a bolygó helyzete.
-
t=0{\ displaystyle t = 0 \,}
: az a pillanat, amikor a bolygó a legközelebb van a Naphoz.
-
P0{\ displaystyle {P_ {0}} \,}
: a bolygó helyzete időben .t=0{\ displaystyle t = 0 \,}![t = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60270e96a3e533f6dbc68bd51f481c0d504caf41)
Perihélionnak hívják . Ez a pálya pontja
Helios közelében ; legközelebb van a
naphoz .
-
r→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {OP}}}
: a Naptól a bolygóig tartó vektor.
-
r=‖r→‖=‖OP→‖{\ displaystyle r = \ | {\ overrightarrow {r}} \ | = \ | {\ overrightarrow {OP}} \ |}
= a Nap és a bolygó közötti távolság.
-
r0→=OP0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {0}}} = {\ overrightarrow {OP_ {0}}}}
: a Naptól a bolygóig tartó vektor .t=0{\ displaystyle t = 0 \,}![t = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60270e96a3e533f6dbc68bd51f481c0d504caf41)
-
V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}}}
: a bolygó sebessége.
-
V0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V_ {0}}}}
: a bolygó sebessége az idő múlásával .t=0{\ displaystyle t = 0 \,}![t = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60270e96a3e533f6dbc68bd51f481c0d504caf41)
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}
: a bolygó vonzereje a Nap által.
-
L→=m⋅r→∧V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {r}} \ wedge {\ overrightarrow {V}}}
: a szögmomentum a Nap tartózkodási helyéhez viszonyítva.
Lásd a kereszt
termék „ ” információt erről a kezelő.
∧{\ displaystyle \ wedge \,}![\ ék \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a78ba2287645471fdac1a271b5e4033bed4525e)
Az első törvény első része (1609)
A Naphoz képest mozdulatlan keretben a bolygó pályája síkban van.
Ez abból adódik, hogy a Nap egy
központi erő szerint vonzza a bolygót . Vagyis egy olyan erő, amely mindig a bolygóról a Nap felé irányul.Valójában egy kezdeti helyzet és sebesség alapján ez meghatározza a
síkot . Fenti konvencióink szerint ez az O origón áthaladó sík , amely tartalmazza az x és y tengelyt .
r0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {r_ {0}}}}
V0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V_ {0}}}}![\ overrightarrow {V_0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab02129b4acbed4eeb95f26615a990bd67d7ad7)
Mivel az erő központi, az és a gyorsulás ugyanabban a síkban fekszik. Tehát a sebességváltozások és a helyzetváltozások ugyanazon a síkon maradnak. Összegzésképpen: az egész pálya ebben a síkban marad.
Kepler második törvénye második bizonyítékot ad erre a részre.
Második törvény, területjog (1609)
Legyen A (t) a mozgás során a vektorsugár által sújtott felület területe , ekkor ez a második törvény kimondja, hogy az egyenlő területeket azonos idő alatt söpörjük le.
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}![\ vec r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91)
NÁL NÉL(t)=‖L→‖2⋅m⋅t{\ displaystyle A (t) = {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {2 \ cdot m}} \ cdot t}![A (t) = \ frac {\ | \ vec L \ |} {2 \ cdot m} \ cdot t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa641504be4fe0820f024202b3dcac08fa6d1774)
Az időhöz viszonyított szögmomentum levezetésével azt kapjuk:
L→=m⋅r→∧V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {L}} = m \ cdot {\ overrightarrow {r}} \ wedge {\ overrightarrow {V}}}
dL→dt=m⋅V→∧V→+m⋅r→∧1mF→{\ displaystyle {\ frac {d {\ overrightarrow {L}}} {dt}} = m \ cdot {\ overrightarrow {V}} \ wedge {\ overrightarrow {V}} + m \ cdot {\ overrightarrow {r} } \ wedge {\ frac {1} {m}} {\ overrightarrow {F}}}![{\ displaystyle {\ frac {d {\ overrightarrow {L}}} {dt}} = m \ cdot {\ overrightarrow {V}} \ wedge {\ overrightarrow {V}} + m \ cdot {\ overrightarrow {r} } \ wedge {\ frac {1} {m}} {\ overrightarrow {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3173449d3d6f8e42ab88502f2687b83900ba446f)
ami 0.Tehát a szögimpulzus állandó vektor. Ez abból adódik, hogy az erő központi (lásd a
mozgást a központi erővel )Másrészt: hol és kúpszöge és .
‖L→‖m=r⋅V⋅bűn(α)=2⋅dNÁL NÉL(t)dt{\ displaystyle {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {m}} = r \ cdot V \ cdot \ sin (\ alpha) = 2 \ cdot {\ frac {dA (t)} { dt}}}
V=‖V→‖{\ displaystyle V = \ | {\ vec {V}} \ |}
α{\ displaystyle \ alpha}
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}![{\ vec {V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae195b5427677e7fd3302b9bc400b2c9cbbe3082)
Következésképpen:
NÁL NÉL(t)=‖L→‖2⋅m⋅t{\ displaystyle A (t) = {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {2 \ cdot m}} \ cdot t}
Egy másik tisztán matematikai bemutató:
Figyelembe véve az M pont helyzetét t időpontban, a vektor sugár által pásztázott terület t idő alatt az M pont pályájával határolt tartomány területe ugyanebben az időszakban, ez a terület a Green- Riemann-formula . (A domént körülhatároló többi görbe hozzájárulása nyilvánvalóan nulla, ez a tengely (Ox) szakasza és az origón áthaladó egyenes.
(x(t),y(t)){\ displaystyle (x (t), y (t))}
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
NÁL NÉL(t)=12∫0t(x(t)y′(t)-y(t)x′(t))dt{\ displaystyle A (t) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} (x (t) y '(t) -y (t) x' (t)) dt }![A (t) = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ t (x (t) y '(t) -y (t) x' (t)) dt](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85be7cd3dd1cb6aea31c11e2f4e3be1b84c954d)
Észrevéve, hogy: jön:
x(t)y′(t)-y(t)x′(t)=x2(t)ddt(y(t)x(t)){\ displaystyle x (t) y '(t) -y (t) x' (t) = x ^ {2} (t) {\ frac {d} {dt}} \ balra ({\ frac {y ( t)} {x (t)}} \ jobbra}}![x (t) y '(t) -y (t) x' (t) = x ^ 2 (t) \ frac {d} {dt} \ balra (\ frac {y (t)} {x (t) } \ jobb)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4511ab3ee37083c68120eb479dfba4fab2fcf34b)
NÁL NÉL(t)=12∫0tx2(t)ddt(y(t)x(t))dt{\ displaystyle A (t) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} x ^ {2} (t) {\ frac {d} {dt}} \ bal ({ \ frac {y (t)} {x (t)}} \ jobbra] dt}
.
Azáltal, hogy megkérdezi:, akkor jön:
x(t)=r(t)kötözősaláta(θ(t)),y(t)=r(t)bűn(θ(t)){\ displaystyle x (t) = r (t) \ cos (\ theta (t)), y (t) = r (t) \ sin (\ theta (t))}![x (t) = r (t) \ cos (\ theta (t)), y (t) = r (t) \ sin (\ theta (t))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9003c93eedf53654bc8eeb5603ee40263a75b78)
NÁL NÉL(t)=12∫0tr2(t)kötözősaláta2(θ(t))ddt(Cser(θ(t)))dt=12∫0tr2(t)dθ(t)dtdt{\ displaystyle A (t) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} r ^ {2} (t) \ cos ^ {2} (\ theta (t)) { \ frac {d} {dt}} (\ tan (\ theta (t))) dt = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} r ^ {2} (t) {\ frac {d \ theta (t)} {dt}} dt}
.
De abban az esetben a központi erő mozgás: ahonnan végül:
.
r2(t)dθdt=Lm{\ displaystyle r ^ {2} (t) {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac {L} {m}}}
NÁL NÉL(t)=‖L→‖2⋅m⋅t{\ displaystyle A (t) = {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {2 \ cdot m}} \ cdot t}![A (t) = \ frac {\ | \ vec L \ |} {2 \ cdot m} \ cdot t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa641504be4fe0820f024202b3dcac08fa6d1774)
Az első törvény második része (1609)
A Nap vonatkozásában mozdulatlan referenciakeretben egy bolygó pályája elliptikus , a fókusz a Nap. A Nap csak megközelítőleg az egyik góc, mert M tömege sokkal nagyobb, mint a bolygó m tömege . Pontosabban: a Nap-bolygó rendszer súlypontjának kell lennie.
Ez a tény közvetlenül kapcsolódik ahhoz a tényhez, hogy a
hodográf egy kör Newton univerzális vonzereje esetén.
A dinamika alapelve meg van írva:
dV→dt=-G⋅Mr2⋅r^{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} = - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \ cdot {\ hat {r}}}![\ frac {d \ vec V} {dt} = - \ frac {G \ cdot M} {r ^ 2} \ cdot \ hat r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf10c5798e0420cf5252ad2e2997c5798da4ac0)
hol .
r^=r→r{\ displaystyle {\ hat {r}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}![{\ displaystyle {\ hat {r}} = {\ frac {\ vec {r}} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1d9b2c9bab344e534dbd9772e1a08faee3324a)
A változó megváltoztatásával:
dV→dθ⋅dθdt=-G⋅Mr2⋅r^{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {d \ theta}} \ cdot {\ frac {d \ theta} {dt}} = - {\ frac {G \ cdot M} {r ^ {2}}} \ cdot {\ hat {r}}}![\ frac {d \ vec V} {d \ theta} \ cdot \ frac {d \ theta} {dt} = - \ frac {G \ cdot M} {r ^ 2} \ cdot \ hat r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d3506665e53ac931343d443468a648dc85c9f5)
.
Emlékezzünk az a törvény szavait területek nyert az előző bekezdésben: .
NÁL NÉL(t)=‖L→‖2⋅m⋅t{\ displaystyle A (t) = {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {2 \ cdot m}} \ cdot t}![A (t) = \ frac {\ | \ vec L \ |} {2 \ cdot m} \ cdot t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa641504be4fe0820f024202b3dcac08fa6d1774)
Így a terület azonos ideig pásztázott . Most ez a terület megér .
dt{\ displaystyle dt \,}
‖L→‖2⋅m⋅dt{\ displaystyle {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {2 \ cdot m}} \ cdot dt}
12⋅r2⋅dθ{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot r ^ {2} \ cdot d \ theta}![{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot r ^ {2} \ cdot d \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee4aa591281aef26dca614f5cc8a9163e3aa362)
Szóval .
dθdt=‖L→‖m⋅r2{\ displaystyle {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac {\ | {\ vec {L}} \ |} {m \ cdot r ^ {2}}}}![\ frac {d \ theta} {dt} = \ frac {\ | \ vec L \ |} {m \ cdot r ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ec7cf34896278726e4436163df2721748ac6f4)
E két összefüggés kombinálásával megkapjuk:
dV→dθ=-G⋅M⋅m‖L→‖⋅r^{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {V}}} {d \ theta}} = - {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {\ | {\ vec {L}} \ |}} \ cdot {\ hat {r}}}![\ frac {d \ vec V} {d \ theta} = - \ frac {G \ cdot M \ cdot m} {\ | \ vec L \ |} \ cdot \ hat r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dd4dabeb17a7cee08c7a432f6fa5a928a5efb3)
Ennélfogva a következők integrálásával : autó .
θ{\ displaystyle \ theta}
V→=G⋅M⋅m‖L→‖⋅θ^+V→0{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ frac {G \ cdot M \ cdot m} {\ | {\ vec {L}} \ |}} \ cdot {\ hat {\ theta}} + {\ a következővel: {V}} _ {0}}
dθ^dθ=-r^{\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {\ theta}}} {d \ theta}} = - {\ hat {r}}}
θ^{\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}![\ hat \ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0eaae56d74c5844e86caeed8ae205ff9e413bba)
= a pálya síkjára merőleges egységvektor , amely a sebességéhez legközelebb eső irányba irányul.
r^{\ displaystyle {\ hat {r}}}![\ hat r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1009619964ce33a4a02aaa7cf82adc0fb0a50f23)
Ezt az eredményt hívjuk: Hermann, Laplace, Runge, Lenz, Hamilton tétele: vö.
Runge-Lenz vektor .A
hodográf kör excentrikus a sebességek eredetéhez képest. Ebből következik, hogy a pálya
kúp : ha a sebességek eredete a kör belsejében van, akkor a kúp
ellipszis ; ha kívül van, akkor
hiperbolé ; határeset:
parabola . Ez a
kinematikai tétel nagyon régi, de tévesen
Hamiltonnak tulajdonítják ; még mindig a „math-elem” kozmográfiai tanfolyamon tanították (jelenlegi S terminál): vö. például Lebossé, elemi matematika tanfolyam.
Edmund Landau miatt bemutatjuk a bemutatót , nagyon algebrai:
Az előző tétel átíródik a vektor szorzása és egyszerűsítése után:
L→G⋅M⋅m{\ displaystyle {\ frac {\ vec {L}} {G \ cdot M \ cdot m}}}![\ frac {\ vec L} {G \ cdot M \ cdot m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171b23d01d3ab09dc4e9f1b49d71b8e703b4ffa9)
V→∧L→G⋅M⋅m=1‖L→‖⋅θ→∧L^+V→0∧L→G⋅M⋅m=r^+e→{\ displaystyle {\ frac {{\ vec {V}} \ wedge {\ vec {L}}} {G \ cdot M \ cdot m}} = {\ frac {1} {\ | {\ vec {L} } \ |}} \ cdot {\ vec {\ theta}} \ wedge {\ hat {L}} + {\ frac {{\ vec {V}} _ {0} \ wedge {\ vec {L}}} {G \ cdot M \ cdot m}} = {\ hat {r}} + {\ vec {e}}}![{\ displaystyle {\ frac {{\ vec {V}} \ wedge {\ vec {L}}} {G \ cdot M \ cdot m}} = {\ frac {1} {\ | {\ vec {L} } \ |}} \ cdot {\ vec {\ theta}} \ wedge {\ hat {L}} + {\ frac {{\ vec {V}} _ {0} \ wedge {\ vec {L}}} {G \ cdot M \ cdot m}} = {\ hat {r}} + {\ vec {e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229f535bd91ed7e0cae0a742bda182cdcf0b1dba)
.
e→{\ displaystyle {\ vec {e}}}![\ vec e](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf539ea5571e4123fb44fc57feed0818e433846)
excentricitásvektornak nevezzük. Állandó, mert állandó, a fentiek szerint.
L→{\ displaystyle {\ vec {L}}}![{\ vec L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd)
Ezután a
dot termék végrehajtásával és egyszerűsítéssel:
r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
e⋅r⋅vs.os(θ)=o-r{\ displaystyle e \ cdot r \ cdot cos (\ theta) = pr}![e \ cdot r \ cdot cos (\ theta) = p - r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d3ae0b911f6d789afa36a293b59a2103fb27b1)
, A ,
o=L2G⋅M⋅m2{\ displaystyle p = {\ frac {L ^ {2}} {G \ cdot M \ cdot m ^ {2}}}}![p = \ frac {L ^ 2} {G \ cdot M \ cdot m ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98d096258d838f9b621a3e80198bbf6da6cc336)
sem ,
r=o1+e⋅vs.os(θ){\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cdot cos (\ theta)}}}![r = \ frac {p} {1 + e \ cdot cos (\ theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e53876e3e3038aaf4292453833ee9fb385a336c)
amely a központi meghatározása kúpszelet a poláris koordináták , a különcség és paraméter , poláris szög származó, a perihelion , ahogy lenni szokott csinálni.
e=vs.nál nél{\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}}}
o=b2nál nél{\ displaystyle p = {\ frac {b ^ {2}} {a}}}![p = \ frac {b ^ 2} {a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37ba3648fa608ef48d8e45a82cf9cd44c98a3944)
Figyelembe aphelion származás: .
r=o1-e⋅vs.os(θ){\ displaystyle r = {\ frac {p} {1-e \ cdot cos (\ theta)}}}![r = \ frac {p} {1 - e \ cdot cos (\ theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a099379ea24df4ddc2eebb7bfd7d326268b472)
Harmadik törvény (1618)
A periódus négyzete változik, mint a féltengely kocka :T{\ displaystyle T \,}
nál nél{\ displaystyle a \,}
nál nél3T2=G⋅M4⋅π2{\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {T ^ {2}}} = {\ frac {G \ cdot M} {4 \ cdot \ pi ^ {2}}}}
G⋅M{\ displaystyle G \ cdot M}
Gauss gravitációs állandójának nevezik : rendkívüli pontossággal, tíz jelentős számjeggyel ismert és megéri (míg G csak 5 jelentős számjeggyel ismert).
0,01720209895rnál néld/j{\ displaystyle 0 {,} 01720209895 \, rad / j}![{\ displaystyle 0 {,} 01720209895 \, rad / j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e743aa0c94cc34cddb9b22aad2e18771e8064f)
Demonstráció:
- Használata: és ,NÁL NÉL(T)=π⋅nál nél⋅b=L2⋅m⋅T{\ displaystyle A (T) = \ pi \ cdot a \ cdot b = {\ frac {L} {2 \ cdot m}} \ cdot T}
o=b2nál nél=L2G⋅M⋅m2{\ displaystyle p = {\ frac {b ^ {2}} {a}} = {\ frac {L ^ {2}} {G \ cdot M \ cdot m ^ {2}}}}![p = \ frac {b ^ 2} {a} = \ frac {L ^ 2} {G \ cdot M \ cdot m ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38861e525d19a89d17544704940bc5ef1c63039e)
akkor ezeknek az egyenlőségeknek a kiküszöbölésével az ember megkapja a meghirdetett eredményt.
L{\ displaystyle L \,}![L \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d330bc0cd693cc87e3943137dc591038a89f77e2)
Következésképpen, az azonos főtengellyel rendelkező ellipsziseknek , függetlenül azok excentricitásától , ugyanaz a fordulatszám-periódus van, ahol a kör alakú .
e{\ displaystyle e \,}
e=0{\ displaystyle e = 0 \,}![e = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d20528a634b7667d2bb5fa74fd61ac9a2e1665)
Megjegyzések és hivatkozások
-
Douglas C. Giancoli, Általános fizika: Mechanika és termodinamika ,1993, 568 p. ( ISBN 978-2-8041-1700-9 , online olvasás ) , p. 152.
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">