Egy Euler diagram egyik eszköze a képviselet vázlatos a készletek és a kapcsolatok bennük. Az "euleri körök" első használatát Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikusnak tulajdonítják . Szorosan kapcsolódnak a Venn-diagramokhoz .
Venn és Euler diagramokat építeni a tanítás halmazelmélet a modern matematika az 1960-as. Azóta is elfogadtak más területein a tananyag, mint a, mint olvasás.
Az Euler-diagramok a halmazokat ábrázoló sík egyszerű zárt görbéiből (általában körökből ) állnak . A görbék mérete vagy alakja nem fontos: a diagram jelentése abban áll, hogy a körök átfedik egymást. Az egyes görbékkel határolt régiók közötti térbeli viszonyok megfelelnek a halmazokkal való elméleti viszonyoknak ( metszéspont , részhalmazok és diszjunkció).
Mindegyik Euler-görbe felosztja a síkot két régióra vagy "zónára": a belső részre, amely szimbolikusan ábrázolja a halmazban lévő elemeket, és a külsőre, amely az összes elemet képviseli, amelyek nem tagjai az együttesnek. Azok a görbék, amelyek belső zónái nem keresztezik egymást, diszjunkt halmazokat képviselnek . Két olyan görbe, amelynek belső zónái keresztezik egymást, közös elemekkel rendelkező halmazokat képviselnek; a két görbe belsejében lévő terület a két halmaz közös elemkészletét jelöli (a halmazok metszéspontja ). Egy görbe, amely teljes egészében egy másik belső területén helyezkedik el , annak egy részhalmazát jelenti.
A Venn-diagramok az Euler-diagramok korlátozóbb formái. A Venn-diagramnak 2 n lehetséges zónát kell tartalmaznia, amely megfelel az egyes halmazok befogadásának vagy kizárásának kombinációinak számáról. Azokat a régiókat, amelyek nem részei a készletnek, a fekete szín jelzi, ellentétben az Euler-diagramokkal, ahol a halmazba való tagságot az átfedés és a szín is jelzi. Amikor a halmazok száma nagyobb lesz, mint 3, a Venn-diagram vizuálisan bonyolulttá válik, különösen a megfelelő Euler-diagramhoz képest. A Venn és Euler diagram közötti különbség a következő példában látható. Vagy három készlet:
E halmazok Venn- és Euler-diagramjai:
Euler-diagram
Venn-diagram
Logikai keretek között elméleti szemantikát használhatunk az Euler-diagramok értelmezésére a diskurzus univerzumában . A fenti példákban az Euler-diagram azt mutatja, hogy az állati és az ásványi készletek diszjunkt, mivel a megfelelő görbék diszjunkt, és hogy a Négy láb készlet az állati halmaz részhalmaza . A Venn-diagram, amely ugyanazokat az állat- , ásványi és négylábú kategóriákat használja , nem tartalmazza ezeket a kapcsolatokat. Hagyományosan a szerelvény vákuumát a Venn-diagramban az érintett régió árnyékolása képviseli. Az Euler-diagramok árnyékolással vagy a régió hiányával jelzik az ürességet.
Sir William Hamilton , az ő halála után megjelent könyve előadások metafizika és logika (1858-1860) azt állítja, hogy a használata körök céljára „hogy érthető ... az elvont logika” ( p. 180 ) nem származó Leonhard Paul Euler (1707-1783), inkább Christian Weise (in) (1642-1708) Nucleus Logicae Weisianae című könyvében, amely 1712-ben posztumuszan jelent meg. Euler német hercegnőnek írt leveleire utal [II. Rész, XXXV. Levél, Szerk. Cournot. - ED].
A szimbolikus logika 1881, V. fejezet ( „vázlatos ábrázolása”), John Venn észrevételeit a figyelemre méltó prevalenciája az Euler diagram:
„A múlt század folyamán közzétett első hatvan logikai értekezés közül, amelyeket e célból megkérdeztek: - kissé véletlenszerűen, mivel ezek voltak a legkönnyebben hozzáférhetőek: - úgy tűnt, hogy harmincnégy diagramok segítségét kéri, szinte az összes ezek az Eulerian-diagram segítségével. "
- (1. megjegyzés, 100. o. )
Mindazonáltal azzal érvelt, hogy "ennek a diagramnak az alkalmazhatósága a nagyon általános logika érdekében" ( 100. o. ). Venn fejezetét az alábbi példákban illusztrált megfigyeléssel fejezi be, miszerint használatuk gyakorlaton és intuíción alapul, nem pedig szigorú algoritmikus gyakorlaton :
"Valójában ... ezek a diagramok nem csak nem felelnek meg a közönséges diagramnak, de úgy tűnik, hogy nincsenek olyan elismert állításrendszereik, amelyekhez állandóan kapcsolódhatnak." "
- ( 124–125 . o. )
A modern használatban a Venn-diagram tartalmaz egy "dobozt", amely körülveszi az összes kört, és képviseli a beszéd univerzumát .
Couturat most megjegyzi, hogy egy algoritmusban (formális szisztematika) közvetlen módon nem lehet redukált logikai egyenleteket levonni, és nem lehet bizonyítani a következtetést: „No X is Z”. Couturat arra a következtetésre jutott, hogy a folyamatnak "komoly hátrányai vannak a logikai problémák megoldásának módszereként" :
„Nem mutatja be, hogy az adatok miként vannak kitéve bizonyos alkotóelemek törlésével, és nem mutatja be, hogy a többi alkotóelemet hogyan kombinálják a kívánt következmények elérése érdekében. Röviden: ez csak egy érvelés, nevezetesen a probléma egyenletének bemutatását szolgálja. Így nagyon kevés hasznát veszi, mivel az alkotóelemek algebrai szimbólumokkal és régiókkal egyaránt ábrázolhatók, és ebben a formában sokkal könnyebben feldolgozhatók. "
- ( 75. o. )
Maurice Karnaugh 1952-ben adaptálta és kidolgozta az Edward W. Veitch (en) által javasolt módszert ; ez a munka az igazságtáblák módszerén alapszik, amelyet 1921-ben pontosan meghatároztak Emil Post tézisei. Bevezetés az elemi javaslatok általános elméletébe és a propozíciós logika alkalmazása az áramkörök logikájába (többek között) Claude Shannon , George Stibitz (-ban) és Alan Turing . Például a "Boolean Algebra" fejezetben Hill és Peterson (1968, 1964) bemutatják a 4.5ff "halmazelméletet a Boolean algebra példaként" szakaszokat, és ebben a Venn-diagramot mutatják be árnyékolás. Példákat adnak a Venn-diagramokra például áramköri problémák megoldására, de ezzel a kijelentéssel zárulnak:
„Háromnál nagyobb változók esetén a Venn-diagram szemléltető formája már nem megfelelő. Bővítések lehetségesek, azonban a legkényelmesebb a Karnaugh táblázat, amelyet a 6. fejezetben tárgyalunk. "
- ( 64. o. )
A 6. fejezet 6.4. Szakaszában („A logikai függvények Karnaugh térképes ábrázolása”) a következőkkel kezdődnek:
„A Karnaugh 1 [ 1 Karnaugh 1953] alkalmazása az egyik leghatékonyabb eszköz a logika repertoárjában. A Karnaugh-táblázat vagy az igazságtábla képi formájaként, vagy a Venn kiterjesztéseként tekinthető meg. diagram. "
- ( 103–104 . o. )
Karnaugh asztala fejlődésének története homályos. Karnaugh 1953-ban megjelent cikkében a Veitch 1951-es hivatkozás , Veitch Shannon 1938-ra (lényegében Shannon diplomamunkája az MIT-ben ), Shannon pedig a logikai szövegek többi szerzője mellett Couturat 1914-re utal . Veitch módszerében a változók téglalapba vagy négyzetbe vannak rendezve; Karnaugh táblázatában leírtak szerint Karnaugh megváltoztatta módszerében a változók sorrendjét, hogy megfeleljen a ma hiperkockának nevezett rendszernek.
Ez a példa bemutatja Venn és Karnaugh Euler-diagramjait, amelyek igazolják a "no X nem Z" levonást. Az alábbi táblázat a következő logikai szimbólumokat használja:
1 jelentése "igaz", 0 "hamis"; ~ NO esetén és rövidítve: '. Például x '= meghatározott NEM x; + a logikai VAGY ( logikai algebrából : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1); & ( Logikai ÉS ) a javaslatok között; néha ugyanúgy elhagyják, mint a szorzás jele: például x'y'z = definiált ~ x & ~ y & z (Boole-algebrából: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, ahol * ábra az érthetőség kedvéért); → ( Logikai VONZAT ): el kell olvasni, HA ... AKKOR ..., vagy "RÉSZESEN", P → Q = definiálva NEM P VAGY Q.Figyelembe véve a felajánlott következtetést, hogy "No X nem Z", egy igazságtábla segítségével tesztelhetjük, hogy a dedukció helyes-e . A legegyszerűbb módszer az, ha a képletet balra helyezzük (rövidítsük „P” rövidítéssel), és a (lehetséges) dedukciót tegyük jobbra (rövidítsük „Q” rövidítéssel), és kapcsoljuk össze őket a logikai implikációnak köszönhetően, nevezetesen P → Q, IF P AKKOR Q. Ha az igazságtábla kiértékelése csak 1-et eredményez az implikáció jele alatt, akkor P → Q tautológia . Ezt a tényt figyelembe véve " leválaszthatjuk " a jobb oldali képletet az igazságtáblázat alatt leírtak szerint.
A fenti példa alapján az Euler és Venn diagramok képlete:
"Nincs Y Z" és "Minden X Y": (~ (y & z) & (x → y)) = meghatározott Pés a javasolt levonás:
"Nem X jelentése Z": (~ (x & z)) = meghatározott QTehát most az értékelendő képlet rövidíthető:
(~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q HA ("No Y nem Z" és "All X is Y") AKKOR ("No X nem Z").# | Venn, Karnaugh | x | y | z | (~ | (y | & | z) | & | (x | → | y)) | → | (~ | (x | & | z)) |
0 | X Y Z ' | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | X Y Z | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
2 | X Y Z ' | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
3 | X Y Z | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
4 | X Y Z ' | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
5. | X Y Z | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
6. | X Y Z ' | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
7 | X Y Z | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Ezen a ponton a fenti P → Q (~ (y & z) & (x → y)) → ~ (x & z)) implikáció még mindig képlet, és a levonás - Q „leválása” P → Q - nem történt meg. De annak bizonyítékára, hogy P → Q tautológia, a következő lépés a modus ponens eljárás a Q „leválasztására”: „No X nem Z”, és a bal oldalon levő kifejezéseket terjeszti.
A Modus ponenseket (vagy "a következtetés alapvető szabályát" ) gyakran a következőképpen jegyzik meg: a bal oldalon lévő két kifejezést, a "P → Q" és "P", premisszának nevezzük (konvenció szerint vesszővel összekötve), a szimbólum úton „bizonyítani” (abban az értelemben, logikai következtetés), és a kifejezés jobb az úgynevezett következtetés :
P → Q, P ⊢ Q.A modus ponen sikere érdekében mindkét P → Q és P feltételnek igaznak kell lennie . Mivel, amint azt a fentiekben bemutattuk, a P → Q előfeltevés tautológia, ezért mindig az "igazság" a helyzet, függetlenül attól, hogy milyen x, y és z értékeket vesz fel, de az "igazság" P esetében nem lesz érvényes Ilyen körülmények között csak akkor, ha a P fogják értékelni "igaz" (például az oszlopok 0 OR 1 VAGY 2 VAGY 6: x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + XYZ '= x' y „+ yz ').
P → Q, P ⊢ Q vagyis: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) & (x → y)) ⊢ (~ (x & z)) azaz: HA "No Y nem Z" és "All X is Y", akkor "No X is Z" ("No Y is Z" és "All X is Y" ⊢ "No X is Z").Most szabadon leválaszthatjuk a „No X is Z” következtetést, amelyet későbbi dedukcióban lehet felhasználni.
A tautológiai implikáció használata azt jelenti, hogy a "No X nem Z" mellett más lehetséges levonások is léteznek.
Az összes lehetséges kereszteződést bemutató Venn-diagram.
Euler-diagram egy valós helyzetet, nevezetesen a különböző nemzetek feletti európai szervezetek közötti kapcsolatokat ábrázolja. (Kattintható verzió)
Humoros diagram összehasonlítja az Euler és a Venn diagramokat.
A háromszögek típusainak Euler-diagramja.
A közzététel dátuma szerint rendezve: