Figyelemre méltó identitás
A matematikában figyelemreméltó identitásoknak vagy akár figyelemre méltó egyenlőségeknek nevezünk bizonyos egyenlőségeket, amelyek a számokra , vagy általánosabban a polinom változókra vonatkoznak . Általában a számítások felgyorsítására, egyes írások egyszerűsítésére, faktorokhoz vagy kifejezések kifejlesztésére szolgálnak . Ezek megoldására használják másodfokú egyenletek és általánosságban hasznos találni megoldást a egyenletek .
Ezeknek a figyelemre méltó identitásoknak a többségét először geometriai okfejtéssel mutatták be , majd algebrai számításokkal általánosították nagyobb teljesítményekre .
A második fok figyelemre méltó azonosságai
A következőkben az a és a b jelöli a számokat, amelyek lehetnek egész számok , racionálisok és valósok , vagy akár komplexek . Ezek az identitások általában igazak egy kommutatív gyűrűben , vagy akár bármely olyan gyűrűben, ahol az a és b ingázik .
Nyilatkozatok
A második fokozat három figyelemre méltó azonossága a következő:
Ezek közül a második identitás lehet tekinteni, mint egy speciális esete az első, figyelembe helyett b , -b az első egyenlőséget. Ezek az egyenlőségek egy sajátos szókincs tárgyát képezik:
Kiemelkedő termék meghatározása - A következő három kifejezést kiemelkedő terméknek nevezzük :
(nál nél+b)2,(nál nél-b)2és(nál nél+b)(nál nél-b).{\ displaystyle (a + b) ^ {2}, \ quad (ab) ^ {2} \ quad {\ text {és}} \ quad (a + b) (ab).}
Ugyanígy definiáljuk:
Figyelemre méltó összeg meghatározása - A következő három kifejezést nevezzük figyelemre méltó összegnek :
nál nél2+2nál nélb+b2,nál nél2-2nál nélb+b2ésnál nél2-b2.{\ displaystyle a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}, \ quad a ^ {2} -2ab + b ^ {2} \ quad {\ text {és}} \ quad a ^ {2} -b ^ {2}.}
Példák
Fejlesztés és csökkentés
A figyelemre méltó azonosságok lehetővé teszik bizonyos algebrai kifejezések írásának átalakítását, a következő példa szerint:
NÁL NÉL=(2x-3)2+(x+5.)(3-x).{\ displaystyle A = (2x-3) ^ {2} + (x + 5) (3-x).}
A kifejezés egy összege két szempontból. Az első kifejezés egy figyelemre méltó termék, amelyet összegzé alakíthatunk:
(2x-3)2=(2x)2-2×2x×3+32=4x2-12.x+9.ésNÁL NÉL=4x2-12.x+9.+(x+5.)(3-x).{\ displaystyle (2x-3) ^ {2} = (2x) ^ {2} -2 \ szor 2x \ szor 3 + 3 ^ {2} = 4x ^ {2} -12x + 9 \ quad {\ text { és}} \ quad A = 4x ^ {2} -12x + 9 + (x + 5) (3-x).}
A második kifejezést a szorzás disztribúciójának felhasználásával kezeljük az összeadás tekintetében:
(x+5.)(3-x)=x(3-x)+5.(3-x)=3x-x2+15-5.x=-x2-2x+15.{\ displaystyle (x + 5) (3-x) = x (3-x) +5 (3-x) = 3x-x ^ {2} + 15-5x = -x ^ {2} -2x + 15 .}
Ha a feltételeket hozzáadjuk a kifejezésekhez, akkor a
NÁL NÉL=4x2-12.x+9.-x2-2x+15=3x2-14x+24.{\ displaystyle A = 4x ^ {2} -12x + 9-x ^ {2} -2x + 15 = 3x ^ {2} -14x + 24}
|
Másodfokú egyenlet
A figyelemre méltó azonosságok lehetővé teszik számunkra a másodfokú egyenlet megoldását. Illusztráljuk a módszert a következő példán:
x2+2x-5.=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = 0.}
A módszer abból áll, hogy a kifejezés azon részét dolgozzuk fel, amely nem függ x-től , hogy az első két figyelemre méltó azonosság egyikét használjuk, és az x-től függő részt faktorozzuk :
x2+2x-5.=x2+2x+1-6.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = x ^ {2} + 2x + 1-6.}
Az első három kifejezés most figyelemre méltó összeg, lehetséges egy figyelemre méltó identitás alkalmazása, és az egyenlet a következővé válik:
x2+2x-5.=(x+1)2-6.=(x+1)2-(6.)2=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = (x + 1) ^ {2} -6 = (x + 1) ^ {2} - ({\ sqrt {6}}) ^ {2} = 0 .}
Figyelemre méltó új összeget ismerünk fel, az egyenletet újra megírjuk:
x2+2x-5.=(x+1+6.)(x+1-6.)=0.{\ displaystyle x ^ {2} + 2x-5 = (x + 1 + {\ sqrt {6}}) (x + 1 - {\ sqrt {6}}) = 0.}
Termék a . b Két szám egy és b értéke nulla akkor, és csak ha egy vagy b nulla. Az egyenlet megoldása két elsőfokú egyenlet megoldását jelenti :
(1)x+1+6.=0és(2)x+1-6.=0.{\ displaystyle (1) \; x + 1 + {\ sqrt {6}} = 0 \ quad {\ text {és}} \ quad (2) \; x + 1 - {\ sqrt {6}} = 0 .}
Megtaláljuk az egyenlet két megoldását, más néven a polinom gyökereit :
x1=-1-6.ésx2=-1+6..{\ displaystyle x_ {1} = - 1 - {\ sqrt {6}} \ quad {\ text {és}} \ quad x_ {2} = - 1 + {\ sqrt {6}}.}
|
Ugyanaz a módszer, amelyet az együtthatókra alkalmaztunk , és ( ) az előző példában szereplő 1, 2 és -5 együtthatók helyett feltárja a diszkrimináns és a két megoldás szerepét .
nál nél{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs.{\ displaystyle c}nál nélx2+bx+vs.=0{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}
Négyzetes polinomok
A tetszőleges számú kifejezéssel rendelkező polinom négyzetbe állításához adja hozzá az egyes tagok négyzeteit külön-külön, majd adja hozzá az egyes lehetséges kifejezéspárok szorzatának dupláját.
(nál nél+b+vs.)2=nál nél2+b2+vs.2+2(nál nélb+nál nélvs.+bvs.),{\ displaystyle (a + b + c) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} +2 (ab + ac + bc),}
(nál nél+b+vs.+d)2=nál nél2+b2+vs.2+d2+2(nál nélb+nál nélvs.+nál néld+bvs.+bd+vs.d).{\ displaystyle (a + b + c + d) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} +2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd).}
Figyelemre méltó azonosság és geometria
Ezek a figyelemre méltó identitások a babilóniaiak óta ismertek . Lehetséges, hogy a geometriai érvelés segítségével rájöttek ezekre az egyenlőségekre. Van egy egyszerű módszer a következő képlet megkeresésére:
(nál nél+b)2=nál nél2+2nál nélb+b2.{\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}.}
A jobb oldali ábra négyzetet jelöl. Tegyük fel, hogy az oldalsó hossza a rózsaszín négyzet egyenlő egy , és hogy a kék négyzet, hogy b . A nagy négyzet területe egyenlő ( a + b ) 2 .
Van egy másik módja ennek a területnek a kifejezésére: a rózsaszín, a kék és a két sárga terület összege. A rózsaszín területe egyenlő a 2 , mert ez egy négyzet alakú oldalsó egy , a kék terület egyenlő b 2 , és mindegyik a két sárga területek egyenlő ab , mert ez egy téglalap oldalai a és b . Megkapjuk a képletet.
Algebra igazolása
Az Algebra még mindig lehetővé teszi e képletek bemutatását. Számítsuk ki ( a - b ) 2 . A disztribúció azt mutatja, hogy:
(nál nél-b)2=(nál nél-b)(nál nél-b)=nál nél(nál nél-b)-b(nál nél-b)=nál nél2-nál nélb-bnál nél+b2=nál nél2-2nál nélb+b2.{\ displaystyle (ab) ^ {2} = (ab) (ab) = a (ab) -b (ab) = a ^ {2} -ab-ba + b ^ {2} = a ^ {2} - 2ab + b ^ {2}.}
Bemutatjuk a harmadik figyelemre méltó identitást is:
(nál nél+b)(nál nél-b)=nál nél(nál nél-b)+b(nál nél-b)=nál nél2-nál nélb+bnál nél-b2=nál nél2-b2.{\ displaystyle (a + b) (ab) = a (ab) + b (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}. }
Különböző figyelemre méltó identitások
Brahmagupta kiléte
Brahmagupta , a VI . Századi indiai matematikus figyelemre méltó, negyedik fokú identitást fedezett fel:
(nál nél2-nemb2)(vs.2-nemd2)=(nál nélvs.+nembd)2-nem(nál néld+bvs.)2.{\ displaystyle (a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) = (ac + nbd) ^ {2} -n (ad + bc) ^ {2} .}
Abban az esetben használja, ahol a , b , c , d és n egész szám. Ez lehetővé teszi a négyzetgyök jó közelítésének kiszámítását .
Alkalmazás a
√ 3 számításához
Brahmagupta észreveszi, hogy 2 2 - 3,1 2 = 1. Többször alkalmazza identitását, mindig n = 3 értékkel. Az első alkalommal a = c = 2, b = d = 1 értéket állítja be .
(22-3⋅1)(22-3⋅1)=(2⋅2+3⋅1)2-3(2⋅1+1⋅2)2=72-3⋅42=1.{\ displaystyle (2 ^ {2} -3 \ cdot 1) (2 ^ {2} -3 \ cdot 1) = (2 \ cdot 2 + 3 \ cdot 1) ^ {2} -3 (2 \ cdot 1 +1 \ cdot 2) ^ {2} = 7 ^ {2} -3 \ cdot 4 ^ {2} = 1.}
Ezzel az idővel a következővel kezdi: a = c = 7, b = d = 4. Új módszert nyer az 1-es íráshoz:
972-3⋅562=1.{\ displaystyle 97 ^ {2} -3 \ cdot 56 ^ {2} = 1.}
Újra alkalmazza ugyanazt a logikát, és még egy módot kap az 1-es írására:
18.8172-3⋅10.8642=1.{\ displaystyle 18 \, 817 ^ {2} -3 \ cdot 10 \, 864 ^ {2} = 1.}
Ez az egyenlőség még mindig meg van írva:
18.8172=3⋅10.8642+1és(18.81710.864)2=3+110.8642.{\ displaystyle 18 \, 817 ^ {2} = 3 \ cdot 10 \, 864 ^ {2} +1 \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {18 \, 817} {10 \, 864}} \ right) ^ {2} = 3 + {\ frac {1} {10 \, 864 ^ {2}}}.}
Olyan törtet kap, amelynek négyzete „majdnem” egyenlő 3-mal, ami azt jelenti, hogy 18 817/10 864 „majdnem” egyenlő √ 3- mal . Ha kiszámoljuk a frakciót, találunk egy olyan eredményt, amelynek első kilenc jelentős számjegye biztosítja a lehető legjobb közelítést (ugyanannyi tizedesjegygel), nevezetesen: 1.73205081.
Képletével megoldásokat is talál az úgynevezett Pell-Fermat Diophantine egyenletre .
A négy Euler négyzet azonosítója
Az Euler négy négyzetének azonossága nyolc számot köt össze közöttük. A következő formát ölti:
(nál nél12+nál nél22+nál nél32+nál nél42)(b12+b22+b32+b42){\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2})}
=(nál nél1b1-nál nél2b2-nál nél3b3-nál nél4b4)2+(nál nél1b2+nál nél2b1+nál nél3b4-nál nél4b3)2{\ displaystyle = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1 } b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2}}
+(nál nél1b3-nál nél2b4+nál nél3b1+nál nél4b2)2+(nál nél1b4+nál nél2b3-nál nél3b2+nál nél4b1)2.{\ displaystyle + \, (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}.}
Többek között a négy négyzet tétel igazolására használják, amely azt jelzi, hogy bármely egész szám négy négyzet összege.
A nyolc Degen négyzet azonosítása
Az azonosító a nyolc négyzet Degen összeköti tizenhat számokat és kimutatták, hogy a XIX -én században :
(nál nél12+nál nél22+nál nél32+nál nél42+nál nél5.2+nál nél6.2+nál nél72+nál nél8.2)(b12+b22+b32+b42+b5.2+b6.2+b72+b8.2)={\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}(nál nél1b1-nál nél2b2-nál nél3b3-nál nél4b4-nál nél5.b5.-nál nél6.b6.-nál nél7b7-nál nél8.b8.)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b2+nál nél2b1+nál nél3b4-nál nél4b3+nál nél5.b6.-nál nél6.b5.-nál nél7b8.+nál nél8.b7)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b3-nál nél2b4+nál nél3b1+nál nél4b2+nál nél5.b7+nál nél6.b8.-nál nél7b5.-nál nél8.b6.)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b4+nál nél2b3-nál nél3b2+nál nél4b1+nál nél5.b8.-nál nél6.b7+nál nél7b6.-nál nél8.b5.)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b5.-nál nél2b6.-nál nél3b7-nál nél4b8.+nál nél5.b1+nál nél6.b2+nál nél7b3+nál nél8.b4)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b6.+nál nél2b5.-nál nél3b8.+nál nél4b7-nál nél5.b2+nál nél6.b1-nál nél7b4+nál nél8.b3)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b7+nál nél2b8.+nál nél3b5.-nál nél4b6.-nál nél5.b3+nál nél6.b4+nál nél7b1-nál nél8.b2)2+{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}
(nál nél1b8.-nál nél2b7+nál nél3b6.+nál nél4b5.-nál nél5.b4-nál nél6.b3+nál nél7b2+nál nél8.b1)2{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}
Sophie Germain kiléte
Sophie Germain személyazonossága azt állítja, hogy minden x és y szám esetében :
x4+4y4=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2-2xy)(x2+2y2+2xy)=((x+y)2+y2)((x-y)2+y2).{\ displaystyle x ^ {4} + 4y ^ {4} = (x ^ {2} + 2y ^ {2}) ^ {2} -4x ^ {2} y ^ {2} = (x ^ {2} + 2y ^ {2} -2xy) (x ^ {2} + 2y ^ {2} + 2xy) = ((x + y) ^ {2} + y ^ {2}) ((xy) ^ {2} + y ^ {2}).}
(x2+x+1)(x2-x+1)=x4+x2+1.{\ displaystyle (x ^ {2} + x + 1) (x ^ {2} -x + 1) = x ^ {4} + x ^ {2} +1.}
nál nél3+b3+vs.3-3nál nélbvs.=(nál nél+b+vs.)(nál nél2+b2+vs.2-nál nélb-nál nélvs.-bvs.)=12(nál nél+b+vs.)[(nál nél-b)2+(b-vs.)2+(nál nél-vs.)2].{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} -3abc = (a + b + c) (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -ab -ac-bc) = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) [(ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}].}
(nál nél+b)2+(nál nél-b)2=2(nál nél2+b2),{\ displaystyle (a + b) ^ {2} + (ab) ^ {2} = 2 (a ^ {2} + b ^ {2}),}
(nál nél+b)2-(nál nél-b)2=4nál nélb,{\ displaystyle (a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2} = 4ab,}
(nál nél+b)4-(nál nél-b)4=8.nál nélb(nál nél2+b2).{\ displaystyle (a + b) ^ {4} - (ab) ^ {4} = 8ab (a ^ {2} + b ^ {2}).}
(nál nél2+b2)(x2+y2)=(nál nélx+by)2+(nál nély-bx)2,{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2}) = (ax + by) ^ {2} + (ay-bx) ^ {2}, }
(nál nél2+b2+vs.2)(x2+y2+z2)=(nál nélx+by+vs.z)2+(nál nély-bx)2+(nál nélz-vs.x)2+(bz-vs.y)2.{\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) = (ax + by + cz) ^ {2} + (ay-bx) ^ {2} + (az-cx) ^ {2} + (bz-cy) ^ {2}.}
Az első itt felsorolt Lagrange-identitás a Brahmagupta-identitás speciális esete.
Az n fok figyelemre méltó azonosságai
Newton binomiális képlete
Ugyanaz a bizonyítási technika, mint a 2. fokú képleteknél, azt mutatja, hogy ha a és b mindig két számot jelölnek:
(nál nél+b)3=nál nél3+3nál nél2b+3nál nélb2+b3,{\ displaystyle (a + b) ^ {3} = a ^ {3} + 3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} + b ^ {3},}
(nál nél-b)3=nál nél3-3nál nél2b+3nál nélb2-b3.{\ displaystyle (ab) ^ {3} = a ^ {3} -3a ^ {2} b + 3ab ^ {2} -b ^ {3}.}
Újra alkalmazva kapjuk:
(nál nél+b)4=nál nél4+4nál nél3b+6.nál nél2b2+4nál nélb3+b4,{\ displaystyle (a + b) ^ {4} = a ^ {4} + 4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} + 4ab ^ {3} + b ^ {4},}
(nál nél-b)4=nál nél4-4nál nél3b+6.nál nél2b2-4nál nélb3+b4.{\ displaystyle (ab) ^ {4} = a ^ {4} -4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} -4ab ^ {3} + b ^ {4}.}
Hasonlóképpen,
(nál nél+b)5.=nál nél5.+5.nál nél4b+10.nál nél3b2+10.nál nél2b3+5.nál nélb4+b5.,{\ displaystyle (a + b) ^ {5} = a ^ {5} + 5a ^ {4} b + 10a ^ {3} b ^ {2} + 10a ^ {2} b ^ {3} + 5ab ^ {4} + b ^ {5},}
(nál nél-b)5.=nál nél5.-5.nál nél4b+10.nál nél3b2-10.nál nél2b3+5.nál nélb4-b5..{\ displaystyle (ab) ^ {5} = a ^ {5} -5a ^ {4} b + 10a ^ {3} b ^ {2} -10a ^ {2} b ^ {3} + 5ab ^ {4 } -b ^ {5}.}
Bármilyen n fokig általánosíthatjuk a binomiális képlet segítségével:
(nál nél+b)nem=∑k=0nem(nemk)nál nélnem-kbk.{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k} a ^ {nk} b ^ {k}.}
Az együtthatók az expressziós, tekinteni, mint egy polinom az egy és b nevezzük binomiális együtthatók . Mivel b negatív értéket vehet fel, megkapjuk a két előző alakot.
A képlet akkor is érvényes, ha a és b nem számok. Ezek a betűk két mátrixot jelölhetnek meg, amelyek váltanak közöttük . Általánosságban elmondható, hogy a képlet igaz egy gyűrűben (feltételezzük, hogy egységes, vagyis egységnyi elemet tartalmaz az összes a számára), ha a és b ingázik (ez különösen akkor áll fenn, ha a vagy b értéke 1).
1=nál nél0{\ displaystyle 1 = a ^ {0}}
A hatáskörök különbsége vagy összege
Lehetséges a második fokozat harmadik figyelemre méltó identitásának általánosítása is . Ha a és b két számot jelöl:
nál nél3-b3=(nál nél-b)(nál nél2+nál nélb+b2).{\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}).}
nál nél3+b3=(nál nél+b)(nál nél2-nál nélb+b2),{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}),}
A következő képlet lehetővé teszi a megközelítés általánosítását. Először bármely n ≥ 2 egész számra ,
nál nélnem-bnem=(nál nél-b)(nál nélnem-1+nál nélnem-2b+⋯+nál nélbnem-2+bnem-1)=(nál nél-b)∑k=0nem-1nál nélnem-1-kbk.{\ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ cdots + ab ^ {n-2} + b ^ { n -1}) = (ab) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k}.}
Ennek a képletnek számos fontos alkalmazása van, például annak bizonyítása, hogy a hatványfüggvény folyamatos, vagy a gyökérből származó polinom faktorizálása . Van még, ha n páratlan ,
nál nélnem+bnem=(nál nél+b)(nál nélnem-1-nál nélnem-2b+⋯-nál nélbnem-2+bnem-1)=(nál nél+b)∑k=0nem-1(-1)knál nélnem-1-kbk.{\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = (a + b) (a ^ {n-1} -a ^ {n-2} b + \ cdots -ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}) = (a + b) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} a ^ {n-1-k} b ^ {k}. }
Ezenkívül:
nál nél4+b4=(nál nél2+nál nélb2+b2)(nál nél2-nál nélb2+b2).{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} + ab {\ sqrt {2}} + b ^ {2}) (a ^ {2} -ab {\ sqrt {2 }} + b ^ {2}).}
Ha olyan halmazban dolgozunk, amely nem a számoké, akkor az utolsó képlet csak akkor érvényes, ha létezik √ 2 , azaz van olyan c érték , hogy c 2 egyenlő 1 + 1-rel. Ehhez először is a szorzás 1. semleges elemének léteznie kell.
Függelékek
Kapcsolódó cikk
Külső linkek
Bibliográfia
-
R. Brault , Matematika 3 rd : a program 2008 , Párizs, Hachette oktatás,2008, 319 p. ( ISBN 978-2-01-125539-6 ) - A cikk első részét nagyrészt ez a hivatkozás ihlette.
-
(en) Leonard Eugene Dickson , A számelmélet története (en) [ a kiadások részlete ], vol. II, Diophantine-elemzés - A két figyelemre méltó azonosság, valamint számtani felhasználásuk ebben a referenciában található, sokkal technikaibb, mint az előző.
Megjegyzések
-
Ezeket az információkat és a cikket elsősorban a Brault 2008- ból vettük át .
-
Lásd erről a témáról a „ Termék-nulla egyenlet ” című cikket .
-
A többi képletet a részletes cikk javasolja.
Hivatkozások
-
Szó szerinti írás és figyelemre méltó identitások a Wouf oldal által.
-
A Yvan Monka Developments oldalról származik , a m @ ths et tiques oldalon, p. 2 .
-
A. Dahan-Dalmedico és J. Peiffer , A matematika története: utak és útvesztők ,1986[ a kiadások részlete ], P. 74 .
-
(in) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , "Pell-egyenlet" a MacTutor Matematikatörténeti archívumában , St Andrews Egyetem ( online ).
-
Pascal Boyer, a számok és kísérőik kis társa , Párizs, Kálvária és Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. A ith számtana, fejezet. 4.3. („Hurwitz-tétel (1, 2, 4, 8)”), p. 67-70.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">