Szögeloszlás

Egy szögeloszlása egy nem-negatív skalármező definiált a készüléken gömb és tartozó helyet ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p}}$ . Meghatározza a fizikai mennyiség bármely irányban definiált szögtulajdonságait, vagy egyszerűen csak irányhalmazokat.

Gömb egység

A készülék gömb egy 3-gömb egységnyi sugarú, vagy topológia , a topológiai különböző a 2. dimenzió

{\ displaystyle S ^ {2} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ ;: \; || x || = 1 \}}

Ez a leggyakrabban képviseli egy egységvektor Ω , amelynek irányát adja a gömbi koordináták (θ, Φ)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ phi \ sin \ theta \\\ sin \ phi \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} \, , \, \, 0 \ leq \ phi <2 \ pi \ ;, \; \; 0 \ leq \ theta <\ pi}

Ebben a térben meghatározhatunk egy geodéziai távolságot . ${\ displaystyle d (\ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} ') = \ arccos \, ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}}')}$

A Lebesgue-mérték invariáns forgás alatt. Tömege megéri . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \ mathrm {d} \ Omega = 4 \ pi}$

A pózolással egy általánosan használt alternatív definíciót kapunk . Akkor megvan ${\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}$

{\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ cos {\ phi} \\ {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ sin {\ phi} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} \ mu \, \ mathrm {d} \ phi}

Előfordulhat, hogy matematikai vagy fizikai határfeltételeket (például egy felület tulajdonságait) vizsgálva félgömbre kell korlátoznunk a teret . Egyes modellek használja a fizikai közelítés octants (1/8 th a gömb). Végül a numerikus közelítés felhívja az N szegmensekre (δθ, δΦ) történő felosztást (például az S N módszer a sugárzási átvitelben vagy a statisztikai adatok szegmentálása).

Hiperszférára általánosíthatjuk az elméletet .

Szögeloszlás manipulációi

Különleges esetek

A szélsőséges esetek azok

- izotrópia	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0}}$
- a gerenda	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0} \, \ delta ({\ boldsymbol {\ Omega - \ Omega}} _ {0})}$

ahol L 0 és Ω 0 konstansok és δ a Dirac eloszlás .

Reprezentáció

A szögeloszlás ábrázolásának problémája a sztereográfiai vetület problémája . Ilyen például az égi szféra ábrázolása .

Közelítés

Bármely szögeloszlás felosztható gömbharmonikusokra, vagy fordulatszimmetriás eloszlás esetén Legendre-polinomokra . A szférikus harmonikusok természetesek ebben a problémában, mivel ezek a Laplace-Beltrami operátor sajátvektorai az egységgömbön, ezért a trigonometrikus függvények megfelelője a közönséges Laplaciánál .

Használhatunk Zernike polinomokat vagy gömb alakú hullámokat is , az egységgömbre vetítve. Mindkét esetben sztereográfiai dilatációt hajtanak végre (a sztereográfiai vetítés fordítottja ), amely műveletet többféle módon lehet végrehajtani.

Véletlenszerű függvény pillanatai

Legyen a g ( Ω ) véletlenszerű függvény . Az m átlagos irányt az adja meg ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, \ mathrm {d} \ Omega = 1}$

{\ displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {\ mathbf {M}} {M}}}

val vel

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

A szokásos euklideszi térben meghatározott statisztikai eloszlás mozzanatait az alábbiak szerint általánosítjuk

szórás	${\ displaystyle m_ {1} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) \, \ mathrm {d} \ Omega}$
n megrendelés pillanata	${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) ^ { n} \, \ mathrm {d} \ Omega}$

A statisztikai szögeloszlások vizsgálata szabványos függvényeket is igényel egy adott problémához igazítva. Ebben az esetben inkább az eloszlás tehetetlenségi mozzanataira koncentrálunk.

Forgalmi szimmetriájú eloszlás esetén általában az aszimmetria tényezőt használják

{\ displaystyle a = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu g (\ mu) \ mathrm {d} \ mu \ ,, \ qquad \ mu = \ cos (\ theta)}

Tenzor pillanatok a fizikában

A fenti 1. sorrend momentuma helyett a következő tenzort vezetjük be , amelyet az f ( Ω ) szögeloszlásból számolunk .

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = \ int _ {S ^ {2}} f ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \ otimes {\ boldsymbol {\ Omega }} \, \ mathrm {d} \ Omega}

$\ otimes$ a tenzor termék üzemeltetője . Ennek a tenzornak a nyoma a fenti m 1 szórás , a referencia forgatásával.

Az alábbiakban példákat adunk.

Néhány példa a fizikában

Fontos terület a részecske terjedése. A szögeloszlás ezekben az esetekben a dS elemi felületen áthaladó részecskék számát érinti a dt idő alatt a dΩ folytonos szögben az Ω irány körül.

{\ displaystyle \ mathrm {d} N = f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, v \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ Omega}

ahol f az egységnyi térfogatra eső részecskék száma, és v a sebességük. A részecskefluxus-sűrűségnek megfelelő vektort a

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t) = \ int _ {S ^ {2}} f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, { \ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

A részecskék száma helyett a hordozott mennyiségre tudunk koncentrálni. Például az energia esetében a fényerő fogalmához úgy jutunk , hogy f-et helyettesítjük ef-vel, ahol e az egyes részecskék által szállított energia. A fénysűrűség L = vef, F pedig a kilépés . Ez a mennyiség széles körben használják fotonok (v = c), hanem vonatkozik a közlekedési számos más részecskék: neutrínók a nukleáris fizika , neutronok a neutronics , elektronok , alfa-részecske vagy ionok a Orvosi fizika .

A részecskéket érintő véletlenszerű eloszlásra példa az egyik molekula rugalmas szétszóródása egy másik molekulával. A probléma az interakció során jelentkező eltérés kizárólagos ismeretére redukálódik. Ez a komplex probléma leegyszerűsödik, ha a molekulák gömbszimmetrikusak: a probléma ekkor síkprobléma, csakúgy, mint a foton rugalmas részecskeszórása ( Thomson vagy Rayleigh szórása ).
Amikor a fotonhoz tartozó hullámhossz azonos nagyságrendű, mint az az akadály, amellyel a hullám kölcsönhatásba lép, diffrakciós jelenség figyelhető meg, amelyet ismét a diffrakciós hullám szögeloszlása jellemez. Ez a fajta jelenség az elektromágneses hullámok sugárzási mintáihoz vezet . Ugyanezt a jelenséget figyeljük meg, amikor a hullám hanghullám.
A fent definiált tenzor a fénysugárral kapcsolatos sugárzási transzfer feloldásának bizonyos módszereiben jelenik meg . Ez a sugárzási nyomás tenzora, analóg a Navier-Stokes egyenlet feszültségtenzorával, amelyet Chapman-Enskog módszerrel nyerhetünk a v = v Ω sebességek mikroszkópos eloszlásfüggvényéből .
A fentiek alkotják a legszélesebb alkalmazási területet, de a szögeloszlásnak vannak más alkalmazásai is, például a szemcsés közeg egyik elemének érintkezési pontjai .

Megjegyzések

A gömb eloszlás elnevezést néha használják. Ezt a kifejezést azonban a gömbszimmetriával rendelkező szögeloszlás szempontjából is használják.

Hivatkozások

Dominique Bakry, „ Integráció. " ,2009
(en) Kendall Atkinson és Weimin Han , Gömbharmóniák és közelítések az egységgömbön: Bevezetés , Springer ,2012( ISBN 978-3-642-25982-1 )
Frédéric Guilloux, Harmonikus elemzés és spektrális becslés a gömbön. Alkalmazások a kozmikus diffúz háttér vizsgálatához. ( online olvasás )
(en) NI Fisher , T. Lewis és BJJ Embleton , Gömbi adatok statisztikai elemzése , Cambridge University Press ,1987( ISBN 0-521-24273-8 , online olvasás )

Szakkönyvek

(en) Willi Freeden és Michael Schreiner , „ Nem ortogonális terjeszkedés a szférában ” , Matematikai módszerek az alkalmazott tudományokban , vol. 18,1995, P. 83-120