A geometriában a polyhedra kettősségbe helyezésének többféle módja van (geometriai, kombinatorikus) : megtehetjük geometriai alátámasztás nélkül, és tisztán kombinatorikus értelemben meghatározhatjuk a dualitás fogalmát, amely kiterjed a poliéderekre és az absztrakt politopokra is. Minden esetben bármely poliéder jár poliéder úgynevezett kettős az első, mint például:
A kettősség legegyszerűbb példája a szabályos konvex polihedrákra a szomszédos arcok középpontjainak összekapcsolásával nyerhető (lásd: A platoni szilárd anyagok kettőssége ).
Lehetőség van az alább jelzett úgynevezett Dorman Luke konstrukció használatára is .
Általánosabban a kettősséget úgy határozhatjuk meg, hogy figyelembe vesszük a konjugáció működését a körülírt szféra vonatkozásában .
A kocka kettőse az oktaéder. | Az oktaéder kettőse a kocka. |
A dodekaéder kettőse az ikozaéder. | Az ikozaéder kettőse a dodekaéder. |
szilárd szabályos domború | kettős szabályos domború | ||
---|---|---|---|
tetraéder | tetraéder | ||
kocka | oktaéder | ||
oktaéder | kocka | ||
ikozaéder | szabályos dodekaéder | ||
szabályos dodekaéder | ikozaéder |
A kis csillag dodekaéder kettős a nagy dodekaéder, a nagy csillag dodekaéder pedig a nagy ikozaéder kettőse.
(Lásd a Kepler-Poinsot szilárd cikkét .)
szilárd szabályos nem domború | szabályos nem domború kettős | ||
---|---|---|---|
kis csillag dodekaéder | nagy dodekaéder | ||
nagy csillag alakú dodekaéder | nagy ikozaéder |
Az archimedesi szilárd anyagok duáljai a katalán szilárd anyagok .
A duals a prizmák vannak gyémánt (vagy bipyramids ).
A duals a antiprisms vannak antidiamonds (vagy trapezohedra ).
nem egyenletes domború szilárd anyag , de minden csúcsa azonos sorrendben van (3) |
kettős domború, nem izokéderes , de az összes arca azonos rendű (3) |
||
méhsejt geode | geode háromszögeléssel |
Egy egységes poliéder , az arcok a kettős poliéder megtalálható a vertex alakjai az eredeti poliéder az úgynevezett Dorman Luke építése .
Példaként az alábbi ábra a rombikus dodekaéder (kék) arcának megszerzéséhez használt kuboktaéder csúcsa (piros) ábráját mutatja .
Dorman Luke építési részletek:
- rajzolja meg a csúcs alakját , amely az adott csúcsból származó élek A, B, C, D középpontjainak megjelölésével rajzolódik ki; - rajzolja meg az ABCD sokszögre körülírt kört ; - kövesse az érintőket az A , B , C , D csúcson körülírt körhöz ; - jelölje meg az E , F , G , H pontokat , ahol minden érintő találkozik egy szomszédos érintővel; - az EFGH sokszög a kettős poliéder arca.Ebben a példában a csúcsalakra körülírt kör a kuboktaéder interszféráján található, amely a kettős rombikus dodekaéder interszférájává is válik.
Dorman Luke konstrukciója csak akkor alkalmazható, ha egy poliédernek ilyen a belső szférája, és a csúcs alakja kör alakú. Különösen alkalmazható egyenletes poliéderekre .