Integrált exponenciális

A matematikában az integrál exponenciális függvényt , amelyet általában $Ei-$ vel jelölünk , a következő határozza meg:

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}}: {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {*} \ to \ mathbb {R} \\ x \ mapsto {\ mbox {Ei}} (x) = - \ int _ {- x} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- t}} {t}} \, \ mathrm {d} t \, = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {t}} {t}} \, \ mathrm {d} t. \ end {esetek}}}

Mivel a szerves az inverz függvény ( ) elágazik 0, ez a meghatározás kell érteni, ha $X$ $> 0$ , mint a legfőbb értéke Cauchy . ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {1} {t}}}$

Kapcsolat az integrált logaritmussal

Az $Ei$ függvény a $li$ függvényhez ( integrált logaritmus ) kapcsolódik:

{\ displaystyle {\ rm {Ei}} (x) = \ operátornév {li} \ bal (\ mathrm {e} ^ {x} \ jobb).}

$Ei$ soros fejlesztése

A szerves exponenciális elé soros fejlesztés :

{\ displaystyle {\ mbox {Ei}} (x) = \ gamma + \ ln | x | + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k \ cdot k!}},}

ahol $γ$ az Euler-Mascheroni-állandó .

Az $E$ $n$ függvények

Az integrál exponenciális kapcsolódik egy másik funkció, jelöljük $E 1$ meghatározott, az X > 0, a:

{{\ rm {E}}} _ {1} (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {{{{{rm {e}}} ^ {{- t}}} t} \, {\ mathrm d} t = - \ int _ {{- \ infty}} ^ {{- x}} {\ frac {{{{{\ rm {e}}} ^ {{t}}} t} \, {\ mathrm d} t.

Ekkor megvan az $x > 0 összefüggése$ :

{{\ rm {Ei}}} (- x) = - {{\ rm {E}}} _ {1} (x).

A két függvényt a teljes függvény kifejezi :

{{\ rm {Ein}}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} (1 - {{\ rm {e}}} ^ {{- t}}) \, {\ frac {{ \ mathrm d} t} t} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {{k + 1}} x ^ {k}} {k \; k!}}.

Valóban megmutathatjuk, hogy x > 0 esetén:

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x) = - \ gamma - \ ln (x) + {\ rm {Ein}} (x)}

és

{{\ rm {Ei}}} (- x) = \ gamma + \ ln x - {{\ rm {Ein}}} (x).

Az $E 1-re$ adott reláció lehetővé teszi ezt a függvényt a 0-t nem tartalmazó komplex sík bármelyikére egyszerűen csatlakoztatott nyitott helyzetre azáltal, hogy meghatározzuk ezen a síkon a logaritmust. Általában nyitottnak vesszük a szigorúan negatív valóságok komplex privát síkját.

Általánosabban meghatározva minden szigorúan pozitív n egész számra az $E n$ függvényt az alábbiak szerint határozhatjuk meg:

{\ displaystyle {\ rm {E}} _ {n} (x) = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ \ rm {e}} ^ {- xt}} {t ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- t}} {\ balra (1 + {\ frac {t} {x}} \ jobbra) ^ {n}}} \, \ mathrm {d} t = {\ rm {e}} ^ {- x} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- xt}} {(1 + t) ^ {n}}} \ , \ mathrm {d} t}

Ezeket a funkciókat a reláció kapcsolja össze:

{\ displaystyle \ mathrm {E} _ {n} (x) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- x}} {x}} - {\ frac {n} {x}} \ mathrm {E} _ {n + 1} (x)}

Az $E$ $1$ kiszámítása

Az $E 1$ függvénynek nincs olyan kifejezése, amely a szokásos elemi függvényeket használja - állítja Liouville miatt egy tétel . Különböző módszerek használhatók kiszámításához $E 1 ( x )$ a dupla pontosságú .

Az x 0 és 2,5

Nekünk van :

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} \ bal (z \ jobb) = - \ gamma - \ ln z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { k +1} z ^ {k}} {k \; k!}} \ Qquad \ left (\ left | \ arg z \ right | <\ pi \ right).}

Ezt a konvergens sorozatot elméletileg fel lehet használni az $E 1 ( x )$ kiszámítására bármely valós $x > 0$ értékre, de lebegőpontos műveletek esetén az eredmény pontatlan $x > 2,5-re,$ mivel a különböző nagyságrendű számok kivonásakor a relatív pontosság csökken .

Az x > 40

Létezik egy divergens sorozat, amely lehetővé teszi az $E 1$ megközelítését a $Re ( z )$ nagy értékeihez, amelyet részekbe integrálva kapunk , ami a következő aszimptotikus fejlődést eredményezi :

{\ displaystyle \ mathrm {E_ {1}} (z) = {\ frac {\ exp (-z)} {z}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {n! } {(- z) ^ {n}}} + {\ frac {N!} {(- z) ^ {N}}} \ mathrm {E} _ {N + 1} (z)}

a amikor z megközelíti . ${\ displaystyle \ mathrm {E} _ {N + 1} (z) = o ({\ rm {e}} ^ {- z})}$ $+ \ infty$

A 64 bites pontosság (kettős pontosság) érdekében az $N = 40$ értéket kell használni .

Hivatkozások

(in) Norman Bleistein és Richard A. Handelsman , aszimptotikus kiterjesztései integrálok , Dover ,1975, 425 p. ( ISBN 978-0-486-65082-1 , online olvasás ) , p. 3.

(en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online )o. 228–230

Lásd is