Liouville funkció
A Liouville funkció , megjegyezte λ és a tiszteletére nevezték el a francia matematikus Joseph Liouville , egy fontos számítási funkció számelmélet által meghatározott:
∀nem∈NEM∗,λ(nem)=(-1)Ω(nem),{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ quad \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)},}
ahol Ω ( n ) az n > 0 egész számának sokaságával megszámolt elsődleges tényezők száma .
ha nem=∏én=1moénγén, így Ω(nem)=∑én=1mγén.{\ displaystyle {\ text {si}} n = \ prod _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}}, {\ text {majd}} \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ gamma _ {i}.}
például: 12 = 2² × 3 és Ω (12) = 3).
Tulajdonságok
∑nem=1∞λ(nem)nems=ζ(2s)ζ(s).{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s) )}}.}
∑nem=1∞λ(nem)qnem1-qnem=∑nem=1∞qnem2=12(ϑ3(q)-1){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ balra (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ jobbra)}
hol van egy Jacobi theta funkció.
ϑ3(q){\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}![{\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a05fdd61c471ba55dc6c057a611ccef77fbdfe)
Sejtések
Pólya sejtés
Megjegyezzük . Pólya 1919-ben sejtette ezt , amelyet Colin Brian Haselgrove 1958-ban cáfolt . Minoru Tanaka 1980-ban találta a legkisebb ellenpéldát n : L (906 150 257) = 1. Még L ( n ) > 0,061867 √ n is van az n egész számok végtelenig . Nem ismert, hogy az L előjelváltozásainak száma véges-e, és jó okkal: a Riemann-hipotézis és a Riemann-zéta függvény összes nullájának egyszerűsége eredményezné.
L(nem)=∑k=1nemλ(k){\ displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}
∀nem>1,L(nem)⩽0{\ displaystyle \ összes n> 1, \; L (n) \ leqslant 0}
Egy másik sejtés (néha helytelenül tulajdonított Pál Turán ): ha meghatározzuk , majd úgy tűnt, valószínű, hogy M ( n ) ≥ 0 az n elég nagy, ami szintén cáfolták 1958-ban Haselgrove. Ez a tulajdonság, ha igaz lett volna, - mint azt Turán Pál kimutatta - a Riemann-hipotézis valóságtartalmát eredményezte volna.
M(nem)=∑k=1nemλ(k)k{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}![{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf64a534df61aceda5c2a53986303242d459d8c3)
Chowla sejtés
A sejtés Sarvadaman Chowla kimondja, hogy az egész nem negatív számok mind különböző és nemnegatív egészek és a mi:
k{\ displaystyle k}
bén{\ displaystyle b_ {i}}
k{\ displaystyle k}
nál nélén{\ displaystyle a_ {i}}
nál nélénbj-nál néljbén≠0{\ displaystyle a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ not = 0}
1≤én<j≤k{\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}![{\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac845570b060e53af400e8ee2ade6c7dd844546)
∑1≤nem≤xλ(nál nél1nem+b1)⋅⋅⋅λ(nál nélknem+bk)=o(x){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = ökör)}![{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = ökör)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a3b69e08d40d073ed7cd2e3362c518bdd0e26d)
mikor ,
x→∞{\ displaystyle x \ to \ infty}![{\ displaystyle x \ to \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda2caf97ec29f30d5f0c0cd7135393361efc020)
ahol a Landau szimbólumot jelöli .
o{\ displaystyle o}![o](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d)
A sejtés igaz, mivel egyenértékű a prímszám-tétellel ; nyitva áll .
k=1{\ displaystyle k = 1}
k≥2{\ displaystyle k \ geq 2}![{\ displaystyle k \ geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c797a67c0a51167d373c013a9a020f4568a11754)
2015-ben Kaisa Matomäki , Maksym Radziwill és Terence Tao némi előrelépést ért el, amikor a találgatások átlagos változatáról van szó. 2016-ban Terence Tao bemutatta az eset sejtésének logaritmikus változatát . Hasonló sejtés fogalmazódik meg ugyanígy, a Liouville-függvény helyébe a Möbius-függvényt.
k=2{\ displaystyle k = 2}![k = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d)
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ Liouville funkció ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
Suite A008836 A OEIS-ben .
-
(en) Eric W. Weisstein , „ Pólya sejtés ” a MathWorld- on .
-
(en) CB Haselgrove , „ Pólya sejtéseinek ellenállása ” , Mathematika , vol. 5,1958, P. 141-145 ( DOI 10.1112 / S0025579300001480 ).
-
(en) Peter Borwein , Ron Ferguson és Michael J. Mossinghoff , „ Jelváltozások a Liouville-függvény összegében ” , Math. Comp. , vol. 77, n o 263,2008, P. 1681-1694 ( online olvasás ).
-
K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao : Egy átlagolt formájában Chowla's sejtés, Algebra és Számelmélet, Vol 9, 2015, pp 2167-2196, arXiv
-
T. Tao: A logaritmikusan átlagolt Chowla és Elliott sejtések kétpontos összefüggésekre, Matematikai Fórum, Pi (2016), Vol. 4, 36 oldal doi: 10.1017 / fmp.2016.6.