Természetes frekvencia

Ennek a fizikai cikknek az anyagát ellenőrizni kell (2016. december).

Fejlessze vagy vitassa meg az ellenőrizendő dolgokat . Ha nemrég helyezte el a szalaghirdetést, kérjük, adja meg itt az ellenőrizni kívánt pontokat .

A rendszer természetes frekvenciája az a frekvencia, amelyen ez a rendszer leng, amikor szabad evolúcióban van, vagyis külső gerjesztő erő vagy disszipatív erők (például súrlódás vagy ellenállás) nélkül. Ez a fogalom alapvető a gerjesztés, a rezgés és a rezonancia jelenségeinek megértésében . Széles körben használják a fizika minden területén, és konkrét alkalmazásokat talál az órák , a hangszerek tervezésében és a földrengésmérnöki tervezésben .

Az f 0 természetes frekvenciából következtethetünk a T 0 természetes periódusra és az ω 0 természetes pulzációra :

{\ displaystyle T_ {0} = {\ frac {1} {f_ {0}}} \ \ {\ text {et}} \ \ \ omega _ {0} = 2 \ pi \, f_ {0}}

Általános eset

A természetes frekvencia fogalma a stabil egyensúlyi helyzet körüli rendszer tanulmányozásának rendkívül általános esete. Ha a potenciális energia bármely rendszerét tanulmányozzuk egy paramétertől függően, akkor az energiát stabil helyzet körüli linearizálással azonnal kapunk egy harmonikus oszcillátort : $E_p$ $x$ $x_ {0}$

E(x)=Evs.(x)+Eo(x)=m2(dxdt)2+E(x0)+nál nél(x-x0)2+...,{\ displaystyle E (x) = E_ {c} (x) + E_ {p} (x) = {\ frac {m} {2}} \ bal ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ jobbra) ^ {2} + E (x_ {0}) + a (x-x_ {0}) ^ {2} + ...,} ${\ displaystyle E (x) = E_ {c} (x) + E_ {p} (x) = {\ frac {m} {2}} \ bal ({\ frac {{\ mathrm d} x} {{ \ mathrm d} t}} \ right) ^ {2} + E (x_ {0}) + a (x-x_ {0}) ^ {2} + ...,}$

amelynek az akkor természetes pulzációnak nevezett rezgési lüktetését a (frekvencia adja ) adja meg . Csillapított rendszer esetén a természetes frekvencia megőrzi minden relevanciáját, mert ez az a frekvencia, amelynél a veszteségek minimálisak, akkor rezonanciáról kell beszélni. $\ omega = {\ sqrt {{\ frac {2a} {m}}}}$ $f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi}}$

A " természetes " frekvencia olyan lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásából származik , amelyek esetében az igenmódok természetes alapot szolgáltatnak a rendszer megoldásaihoz. Lineáris rendszer esetén, amely számos paramétertől függ , megmutatható, hogy vannak olyan sajátmódok, amelyek mindegyike egy adott sajátfrekvenciához kapcsolódik. $NEM$ $NEM$

Mechanikai

Tekintsünk egy ingot , amely egy vízszintes tengely körül szabadon ingadozó ingából áll . Az ideális oszcillátor esetében nincs súrlódás. Modellezhetjük az inga egy nem nyújtható huzal végén felfüggesztett és nulla tömegű ponttömeggel (egyszerű inga). A kapott egyenletek matematikai formájukban megegyeznek, és ez a modell elegendő az ingaóra elvének megértéséhez. Ha az inga mozgását a valódi inga esetében tanulmányozzuk, a szögmomentum-tétel:

dLdt=MΔ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} _ {\ Delta}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathrm d} {\ mathbf {L}}} {{\ mathrm d} t}} = {\ mathbf {M}} _ {\ Delta}}

$L$ :az egyensúly szögmomentuma
$M Δ$ : az erők nyomatéka a tengelyhez képest $\Delta$

azzal , amely a tehetetlenségi nyomatéka a szilárd anyagot a tengelyhez képest , annak forgási szögsebessége és $u$ $Δ$ az az egység vektor kollineáris . ${\ mathbf {L}} = I \ omega {\ mathbf {u}} _ {\ Delta}$ $én$ $\Delta$ $\omega$ $\Delta$

Az erők tengelyhez viszonyított nyomatéka súrlódás hiányában a mérleg súlyának pillanatára csökken, megvan: $\Delta$

M=rG∧P=-nál nélmgbűn⁡θuΔ{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {G} \ wedge \ mathbf {P} = -amg \ sin \ theta \ mathbf {u} _ {\ Delta}}

{\ displaystyle {\ mathbf M} = {\ mathbf r} _ {G} \ ék {\ mathbf P} = - amg \ sin \ theta {\ mathbf u} _ {\ Delta}}

Ezután megkapjuk az egyenletet

énθ¨+mgnál nélbűn⁡θ=0{\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + bűn \ theta = 0}

{\ displaystyle I {\ ddot \ theta} + bűn \ theta = 0}

ezért azzal .

{\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0

\ omega _ {0} ^ {2} = m / I

A tanulmány egy anyagi pont felfüggeszthető a végén egy hosszú menetes adás $l$

θ¨+ω02bűn⁡θ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}

ezzel megkapja az egyenletet, amely matematikailag megegyezik azzal, amelyet a mérleg mozgása esetén kap, és ezzel igazolható, hogy a huzal végén felfüggesztett ponttömegre kell redukálni, hogy megértsük az egyenlet elvét. órák inga.

\ omega _ {0} ^ {2} = g / l

Ideális esetben az ingának kis rezgéseire szorítkozunk egyensúlyi helyzete közelében, vagyis ami: $\ sin \ theta \ simeq \ theta$

θ¨+ω02θ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ theta = 0}

Elektronikus

A leggyakoribb példa a kvarcóra . A kvarcóra elvének megértéséhez meg kell vizsgálni annak alapvető elemét: két elektróda közé helyezett kvarccsíkot. A mechanikus nyomásnak kitett kvarccsík feszültség jelenik meg a termináljainál és fordítva (lásd piezoelektromosság ). Kvarc egyenértékű egy áramkörhöz , , Series ( , és csak attól függ a fizikai jellemzői a kvarc) párhuzamosan van elrendezve egy kondenzátor , amely megfelel a által létrehozott kapacitás a két elektróda, amelyek magukba zárják a darab kvarc. Ideális esetben feltételezzük, hogy nincs energiaveszteség, vagyis: $L$ $R$ $C_1$ $L$ $R$ $C_1$ $C_2$ ${\ displaystyle R \ simeq 0}$

Az "ideális" áramkör ekkor egy egyszerű áramkör , ahol az egyenértékű és soros kapacitás igazolja: $L$ $VS$ $VS$ $C_1$ $C_2$

1VS=1VS1+1VS2{\ displaystyle {\ frac {1} {C}} = {\ frac {1} {C_ {1}}} + {\ frac {1} {C_ {2}}}} ${\ displaystyle {\ frac 1C} = {\ frac 1 {C_ {1}}} + {\ frac 1 {C_ {2}}}}$

A helyzetnek megfelelő egyenletet írjuk:

én¨+ω02én=0{\ displaystyle {\ ddot {I}} + \ omega _ {0} ^ {2} I = 0}

{\ displaystyle {\ ddot I} + \ omega _ {0} ^ {2} I = 0}

az intenzitás és

U¨+ω02U=0{\ displaystyle {\ ddot {U}} + \ omega _ {0} ^ {2} U = 0}

{\ displaystyle {\ ddot U} + \ omega _ {0} ^ {2} U = 0}

a terminálok feszültségéhez , $L$ $VS$

ω0=1LVS{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac 1 {{\ sqrt {LC}}}}}

Szintézis

Az ingaóra és a kvarcóra egyenleteinek megoldásai azonos formában vannak:

θ=θ0bűn⁡(ω0t+φ){\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

az "ideális" mechanikus inga és

én=én0bűn⁡(ω0t+φ){\ displaystyle I = I_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle I = I_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

U=U0bűn⁡(ω0t+φ){\ displaystyle U = U_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle U = U_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

áramkörhöz , energiaveszteség nélkül.

L

VS

Az időszak az . A rendszer rezgéseinek természetes frekvenciája nem függ amplitúdójuktól, hanem csak az oszcillátor jellemzőitől (és az inga esetén): $T = 2 \ pi / \ omega _ {0}$ $\ omega_0$ $g$

v0=ω02π{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}} ${\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}}$

Megjegyzések és hivatkozások

IEC 60050 „ Rezgések, jelek és kapcsolódó eszközök. Gyakoriságok. 702-01-07 "természetes frekvencia" " .

Függelékek

Bibliográfia

Nemzetközi Elektrotechnikai Bizottság , Nemzetközi Elektrotechnikai Szójegyzék] (IEC 60050) ,2019( 1 st szerk. 1987) ( olvasott sort ).
Jacques Jouhaneau, Elektromos akusztikai elképzelések, 2. kiadás, 5.1 és 5.2, CNAM, TEC & DOC, 2000

Külső linkek

A rendszer egyik természetes frekvenciájának meghatározása

Kapcsolódó cikkek

Cikkek a természetes frekvencia és a rezonancia kapcsolatáról