Ortogonális speciális csoport
A matematika , a speciális ortogonális csoport egy kvadratikus alak q egy alcsoportja annak ortogonális csoport O ( q ). Ez alkotja az elemeket, amelyek meghatározó +1, feltételezve, hogy a kvadratikus alak nem degenerált, és, hogy a jellemző a a bázis mező eltér 2. Ez az alcsoport, jelöljük SO ( q ), tehát a normális , és még az index 2 (más szóval, a készítmény az O ( q ) követi a jel szabályt : a vegyület két elem van SO ( q ), ha és csak akkor, ha ezek az elemek mind a SO ( q ) vagy mindkét annak komplementer ).
N- dimenziós valóságokon általában , és ritkábban , a jelölés második paramétere ennek a csoportnak az alapmezeje. Azt is mondta, hogy ez a csoport a mátrixok fordulatok és n méretei. A reflexiók (egy hipersík- vektor vonatkozásában) példák a -1-re meghatározó ortogonális transzformációkra; páros számú ilyen transzformáció vegyülete egy forgatás.
SO(nem){\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}SO(nem,R){\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R})}SO{\ displaystyle \ mathrm {SO}}
Az n dimenzióval rendelkező vektortéren a lineáris térképek (a mátrixokkal azonosíthatók) maguk is teret képeznek dimenziókkal, de ezek között a csoportnak csak szabadságfokai vannak. Ezért a két dimenzióban történő elfordulást egyetlen szám fejezi ki, míg a 3 dimenziós elforgatáshoz 3 számot kell használnunk (lásd: „ Euler-szögek ”).
nem2{\ displaystyle n ^ {2}}SO(nem){\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}nem(nem-1)/2{\ displaystyle n (n-1) / 2}
Az euklideszi sík ortogonális speciális csoportja
A speciális csoport ortogonális , azaz a csoport , a csoport a sík vektor forgatások , homeomorf hogy az egység kör .
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}SO(2){\ displaystyle \ mathrm {SO} (2)}
Matricálisan azt írják:
SO(2)={(kötözősalátaθ-bűnθbűnθkötözősalátaθ)|0≤θ<2π}{\ displaystyle SO (2) = \ bal \ {\ bal. {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} \ right | 0 \ leq \ theta <2 \ pi \ right \}}.
Demonstráció
Bármilyen endomorphism a lehet mátrixa képviseli
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
(nál nélbvs.d)∈M2(R){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in \ mathrm {M} _ {2} (\ mathbb {R})}.
Ez a mátrix ortogonális akkor és csak akkor két oszlop van ortogonális egység vektorok , azaz:
nál nél2+vs.2=1{\ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = 1}, És ,
b2+d2=1{\ displaystyle b ^ {2} + d ^ {2} = 1}nál nélb+vs.d=0{\ displaystyle ab + cd = 0}ami megegyezik
nál nél2+vs.2=1{\ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = 1}és .
(b,d)=±(-vs.,nál nél){\ displaystyle (b, d) = \ pm (-c, a)}Annak érdekében, hogy ez a mátrix ne csak, hanem , de annak meghatározójának is meg kell egyeznie 1-vel, vagyis . Ezért rendelkezünk:
O(2){\ displaystyle \ mathrm {O} (2)}SO(2){\ displaystyle \ mathrm {SO} (2)}(b,d)=+(-vs.,nál nél){\ displaystyle (b, d) = + (- c, a)}
SO(2)={(nál nél-vs.vs.nál nél)|nál nél,vs.∈R,nál nél2+vs.2=1}={(kötözősalátaθ-bűnθbűnθkötözősalátaθ)|0≤θ<2π}{\ displaystyle SO (2) = \ balra \ {\ balra. {\ elején {pmatrix} egy & -c \\ c & a \ vége {pmatrix}} \ jobbra | a, c \ benne \ mathbb {R}, \ quad a ^ {2} + c ^ {2} = 1 \ jobb \} = \ bal \ {\ bal. {\ Kezdés: {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} \ right | 0 \ leq \ theta <2 \ pi \ right \}}.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">