Homeomorfizmus

A topológia , egy homeomorfizmus van alkalmazásával bijektív folyamatos , egy topologikus tér másik, a inverz bijekciót folyamatos. Ebben az esetben a két topológiai térről azt mondják, hogy homeomorf .

Az az elképzelés homeomorfizmus van a helyes fogalom azt jelenti, hogy két topológiai terek „ugyanaz” másképp szemlélik. Ez az oka annak, homeomorphisms a izomorfizmusokat a kategóriában topologikus terek .

Tulajdonságok

A folyamatos bijekció akkor és csak akkor homeomorfizmus, ha nyitott vagy zárt (akkor mindkettő).
Legyen K kompakt topológiai tér , E külön topológiai tér és f: K → E folyamatos bijekció. Ekkor f homeomorfizmus. Különösen az E egy kompakt.Valójában a K bármely zárt F- je kompakt; például E elválasztjuk, a kép F által F kompakt, még inkább zárt E . Ezért f egy zárt folyamatos bijekció, vagyis az előző ponton átívelő homeomorfizmus.
A folyamatos bijekció nem mindig homeomorfizmus (lásd a topológiák összehasonlítása című cikket ). Például az alkalmazás ${\ displaystyle f: \ left [0,2 \ pi \ right [\ to S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ folyamatos bijekció, de reciproka az $(1, 0)$ pontnál nem folyamatos . Valójában nincs homeomorfizmus az $S$ $1$ kör és a ℝ része között (a kapcsolódás vagy az egyszerű összekapcsolódás érveivel ).

Társított meghatározások

A térkép f : X → Y jelentése egy helyi homeomorfizmus (in) , ha bármely pontján X tartozik egy nyitott V úgy, hogy az f ( V ) van nyitva Y és hogy f ad, a restrikciós , egy homeomorfizmus a V a F ( V ). Egy ilyen alkalmazás folyamatos és nyitott.

Példák

Bármely burkolat helyi homeomorfizmus.
Bármely nyitott X a Y , a befogadás X → Y jelentése egy helyi homeomorfizmus.
A helyi homeomorfizmusok bármelyikének X → Z vegyülete X → Y és Y → Z egy lokális homeomorfizmus.
A lokális homeomorfizmusok bármely disszjunkt uniója ∐ i ∈ I X i → Y X i → Y lokális homeomorfizmus.
Bármilyen hányados X / ~ → Y egy helyi homeomorfizmus X → Y egy kompatibilis és nyitott ekvivalenciareláció ~ egy helyi homeomorfizmus. (Vö. a „ kettős ponttal rendelkező valós vonal ”.)
Bármelyik lokális diffeomorfizmus egyik fajtáról a másikra egy lokális homeomorfizmus.

A topológiai tulajdonság a homeomorfizmusok által invariáns tulajdonság .

Példák

Minden diffeomorfizmus homeomorfizmus.
Az északi pólustól megfosztott Riemann-gömb homeomorf a síkhoz képest: itt a homeomorfizmus a sztereográfiai vetület .
A tórusz dimenzió 1 , és a készülék kör (vagy bármilyen más kör a nem nulla sugár) homeomorfak.

Referencia

Jacques Dixmier , Általános topológia , Párizs, PUF ,tizenkilenc nyolcvan egy, 164 p. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , 2.5 . 31. és 4.2.16 . O. 55.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

A repülőgép homeomorfizmusa egy téren : animáció a GeoGebrán egy gyakorlat kíséretében