Injekció (matematika)

A térkép f azt mondják, hogy injektív vagy egy injekciót , ha bármely elemét annak érkezési halmaz van legfeljebb egy előzménye az f , ami annyit jelent, hogy két különböző elemeit kiindulási halmaz nem lehet ugyanaz a kép által f .

Ha a kezdő és befejező sorozat f egyaránt megegyezik a számegyenesen ℝ, f injektıv akkor és csak akkor, ha a grafikon metszi a vízszintes vonal legfeljebb egy pontot.

Ha az injekciós alkalmazás szintén surjektív , akkor azt mondják, hogy bijektív .

Formális meghatározás

Az f  : X → Y térkép akkor injektív, ha az összes y ∈ Y esetén legfeljebb egy x ∈ X létezik, így f ( x ) = y , amelyet felírunk:

∀x∈x∀x′∈x(f(x)=f(x′)⇒x=x′){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

Az előző implikáció egyenértékű az ellentmondással  :

∀x∈x∀x′∈x(x≠x′⇒f(x)≠f(x′)){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Konkrét példa

Vegyük egy üdülőhely esetét, ahol turisták egy csoportját egy szállodában kell elszállásolni. Ezeknek a turistáknak a szálloda szobáiban történő elosztásának minden módját képviselheti az X turisták csoportjának alkalmazása az összes szobára, Y (minden turista egy szobához van rendelve).

• A szállásadó azt akarja , hogy az alkalmazás szurjektív legyen , vagyis minden szoba foglalt legyen . Ez csak akkor lehetséges, ha legalább annyi turista van, ahány szoba van.
• A turisták azt akarják, hogy az alkalmazás injekciós jellegű legyen, vagyis mindegyiknek külön szobája van . Ez csak akkor lehetséges, ha a turisták száma nem haladja meg a szobák számát.
• Ezek a korlátozások csak akkor kompatibilisek, ha a turisták száma megegyezik a szobák számával. Ebben az esetben lehetséges lesz a turisták szétosztása úgy, hogy szobánként csak egy legyen, és hogy az összes szoba elfoglalt legyen: az alkalmazás egyszerre lesz injekciós és surjektív; azt mondjuk, hogy bijektív .

Példák és ellenpéldák

Tekintsük az f ( x ) = 2 x  + 1  által definiált f : ℝ → ℝ térképet. Ez a térkép injektív (sőt bijektív), mivel minden tetszőleges x és x ′ valós számra , ha 2 x  + 1 = 2 x ′  + 1, majd 2 x  = 2 x ′ , vagyis x  =  x ′ .

Másrészt, a térkép g  : ℝ → ℝ által meghatározott g ( x ) = x 2 jelentése nem injektıv, mert (például) g (1) = 1 = g (-1).

Másrészt, ha meghatározzuk a térképen h  : ℝ +  → ℝ ugyanazon viszonylatban g , de a meghatározásnak korlátozódik a sor pozitív valós számok , akkor a térkép h van injektív. Az egyik magyarázat az, hogy adott x és x ′ tetszőleges pozitív valós értékek esetén , ha x 2  =  x ′ 2 , akkor | x | = | x ′ |, tehát x  = x ′ .

Tulajdonságok

• Legyen f egy X alkalmazás Y-ban .
  • f injektıv (ha és) csak akkor, ha X jelentése a üres halmaz , vagy ha létezik egy térképet g  :  Y  →  X olyan, hogy g ∘ f megegyezik a térkép identitás a X , azaz a akkor és csak akkor, ha X nem üres vagy f van balra kifordítható .
  • f akkor injekciós, ha (és csak akkor), ha balra leegyszerűsített , azaz hogy az összes leképezéshez g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h g  = h-t von maga után . Más szóval, a injektıv térképek pontosan monomorphisms a kategóriában halmazok .
  • Bármilyen térképadatbázis g a Y a Z  :
    1. ha a g ∘ f összetett térkép injektív, akkor f injektív;
    2. ha f és g injektívek, akkor g ∘ f injektív;
    3. ha f surjektív és ha g ∘ f injektív, akkor g injektív.
  • A következő négy tulajdonság egyenértékű:
    • f injekciós;
    • bármely része egy az X jelentése a inverz kép annak közvetlen kép  : F -1 ( f ( A )) = A  ;
    • minden részére A és B az X , van f ( A  ∩  B ) = f ( A ) ∩  F ( B );
    • bármely része egy a X , a közvetlen kép a komplement az A benne van a komplement a közvetlen kép az A , azaz a f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Bármilyen térkép h  :  Z  →  Y lehet bomlik, mint h  = f ∘ g irányuló megfelelő injekciós F és surjection g . Ez bomlás egyedülálló kivéve egyetlen izomorfizmus , és f lehet választani egyenlő a kanonikus injekciót , a kép H ( Z ) a H , a érkezése beállított Y a h .
• Ha f  :  X  →  Y injektív, akkor Y- nek legalább annyi eleme van, mint X -nek a bíborosok értelmében .
• Ha E ≤ F-vel jelöljük azt a tulajdonságot, hogy „van egy E halmaz injekciója az F halmazba  ”, akkor ≤ egy „  előrendelés  ” (tág értelemben, azaz egy megfelelő osztályon : az összes halmazé), amely „ rendet  ” indukál  a bíborosok osztályán. A reflexivitás és tranzitivitás alatt feldolgozott az előző példákban, és antisymmetry a tárgya a tétel Cantor-Bernstein . Az a tény, hogy ez a sorrend teljes , vagyis hogy két E és F halmaz esetében legalább az E ≤ F vagy F ≤ E összefüggések közül az egyikünk van, Zorn lemma segítségével bizonyított , c 'a kardinális összehasonlíthatósági tétel . Ez az eredmény egyenértékű a választott axiómával .
• Egy morfizmus egy csoport X egy csoport Y injektıv, ha, és csak akkor, ha a mag redukáljuk al- triviális csoport a csoport X .

Sztori

Az "injekció" kifejezést MacLane 1950- ben hozta létre, míg az "injekciós" jelző két évvel később, 1952-ben jelent meg Eilenberg és Steenrod algebrai topológiájának alapjaiban .

Megjegyzések és hivatkozások

1. Lásd például a javított gyakorlatokat a fejezet „Injection, surjection, bijekciót” a Wikiversity .
2. (in) Jeff Miller "  A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert felhasználása (I)  " .