Belső tér (topológia)
A matematika , a belső (rövidítve int ) egy fogalom topológia felvisszük egy részét egy topologikus tér .
Hadd X egy topologikus tér és egy része X . Úgynevezett belül Abban az legnagyobb nyitott az X szerepel egy . Van: az A-ban foglalt minden nyitott találkozója . Vagy egy kis, fent említett kör segítségével, vagy az int rövidítéssel ellátott előtag-jelöléssel jegyzik meg :
A fedélzeten lévő fajta belsejét más módon is meghatározzuk .
Általános topológia
Belső pont
Hadd X egy topologikus tér és egy része X .
Egy pont x az X tartozik belsejében A akkor és csak akkor, ha egy olyan környéken az x .
Az elemek belsejében A nevezik „pontok belül egy ”.
A pontok nem belsejéből egy a pont tapadó hogy X \ A (a komplement az A az X ).
Tulajdonságok
- Egy alkatrész akkor és csak akkor nyitott, ha megegyezik a belsejével.
- Idempotencia : a belső tér belső része megegyezik a belső térrel.
- Növekedés a befogadáshoz : ha A része B-nek, akkor int ( A ) az int ( B ) része.
- A belső tér komplementere megegyezik a komplementer tapadásával .
- Kompatibilitás véges termékek : ha A ⊂ X és B ⊂ Y , majd, a belső A × B a terméket térben X × Y jelentése int ( A ) × int ( B ).
- Ha U egy altér X (felruházva az indukált topológia ), és F egy részét X , a belső F ∩ U ezen altér tartalmaz int ( F ) ∩ U (néha szigorúan, mint a példában X = ℝ és F = U = {0}). Akkor egyenlő, ha U nyitott X-ben .
- A kereszteződés belseje szerepel a belső terek kereszteződésében, de a befogadás szigorú lehet (egy véges kereszteződés esetében azonban egyenlőek vagyunk).
- A belső terek szakszervezete szerepel az unió belsejében, de a felvétel szigorú lehet, még egy véges unió esetében is.
- Egy megszámlálható halmaz a zárt egy Baire térben , az unió belső terekkel sűrű a belső az unió.Legyen U egy nem üres nyitás, amely a zárt F n uniójában szerepel . A térben Baire U (felruházva az indukált topológia), a belső int ( F n ) ∩ U egyik zárt is F n ∩ U nemüres, így U megfelel az unió a int ( F n ).
Példák
- Bármely X topológiai térben az üres halmaz és az X nyitott, ezért egyenlő a belső terükkel.
- A diszkrét térben minden rész hasonlóképpen a saját belseje.
- Egy metrikus teret , egy pont egy belül van egy része egy , ha vannak r > 0, hogy a nyitott labdát központ egy , és sugara r tartalmazza A .
- Az euklideszi tér R a valós számok látva a szokásos topológia:
- a [0, 1] szegmensen belül van a nyitott intervallum] 0, 1 [;
- A belső tér a beállított Q a racionális számok üres;
- a ] –∞ , 0] ⋃ [0, + ∞ [= R értéke R , míg a két belső egység egyesülése R *;
- az intervallumok sorrendje] –∞ , 1 / ( n +1) [(nyitott és ezért egyenlő a belső terükkel ) metszéspontjára van] –∞ , 0], amelynek belső tere] –∞ , 0 [.
- A komplex számok terében a { z ∈ C / | halmaz belseje z | ≥ 1} a { z ∈ C / | halmaz z | > 1}.
- Bármely euklideszi térben a véges halmaz belseje az üres halmaz.
- A durva topológiával ellátott térben, ahol csak a teljes tér és az üres készlet nyitott, minden szigorú rész üres belső tér.
Az alkatrész belseje a figyelembe vett topológiától függ. Abban az esetben, R :
- a szokásos topológiával int ([0, 1]) =] 0,1 [;
- a diszkrét topológiával int ([0, 1]) = [0, 1];
- a durva topológia alapján az int ([0, 1]) az üres halmaz.
Fajtadopológia
A belső tér a topológiai sokrétű éllel M dimenzió n a pontok halmaza a M , amelyek (a M ) negyedekben homeomorf hogy R n . A komplementer M hívják szélén M .
Ha M jelentése kompakt és elmerül a R n , a meghatározása a belső egybeesik a meghatározása az általános topológia.