Levy törvénye

Lévy terjesztés
Valószínűségi sűrűség a c különböző értékeihez .
Eloszlásfüggvény a c különböző értékeihez .
Beállítások	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs.>0{\ displaystyle c> 0 \,}
Támogatás	x∈]μ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
Valószínűségi sűrűség	vs.2π⋅1(x-μ)3/2e-vs.2(x-μ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
Elosztási funkció	erfvs. vs.2(x-μ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
Remény	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Középső	vs./2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} mert μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Divat	vs.3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} mert μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Variancia	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Aszimmetria	nem meghatározott
Normalizált kurtosis	nem meghatározott
Entrópia	1+3γ+ln⁡(16.πvs.2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
Pillanatgeneráló funkció	nem meghatározott
Jellemző funkció	eénμt--2énvs.t{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}

A valószínűségszámítás és a statisztika , Lévy-törvény , melynek névadója a matematikus Paul Lévy , egy folyamatos törvénye valószínűség . A fizika , pontosabban spektroszkópia , a nevét viseli a van der Waals profilját, és leírja a profil egyes spektrális vonalak .

Ez a törvény két paramétertől függ: egy pozíció paramétertől, amely elmozdítja a támaszt , és egy skála paramétertől . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs.{\ displaystyle c}

Ha X követ Lévy, megjegyzés: . x∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}

A Cauchy-féle törvény , valamint a normális gyakorlat , ez az egyik a három stabilnak konvolúcióval és hogy van egy analitikusan kifejezhető sűrűségfüggvénye .

Jellemzők

Valószínűségi sűrűség

A Lévy-törvény valószínűségi sűrűségét az alábbiak adják meg:

f(x;μ,vs.)={vs.2π1(x-μ)3/2e-vs.2(x-μ) ha x>μ0 ha nem{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} és {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 és {\ text {különben }} \ end {esetek}}}

ahol a pozíció paraméter és a skála paraméter . Mint minden stabil törvénynek , a törvénynek is van egy formája, amelyet a változó változásától kapott sűrűség határoz meg : a kifejezésben . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs.>0{\ displaystyle c> 0}f(x;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=x-μvs.{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(x;μ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}

Lévy törvényének nehéz farka van , a következő képlettel kifejezve:

f(x;μ,vs.)∼x→∞vs.2π 1x3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}

Ezt a tulajdonságot szemlélteti a sűrűség ábrázolása egy napló-napló referenciaértéken .

Elosztási funkció

A Lévy-törvény eloszlásfüggvényét az adja:

F(x;μ,vs.)={erfc(vs./2(x-μ)) ha x>μ0 ha nem{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ right] & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 és {\ text {különben}} \ end {esetek}}}

ahol az erfc a komplementer hibafüggvény .

Jellemző funkció

A karakterisztikus függvénye a Lévy-törvény:

φ(t;μ,vs.)=eénμt--2énvs.t.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Ezt a jellegzetes függvényt a stabil törvények klasszikusabb formájába írhatjuk:

φ(t;μ,vs.)=eénμt-|vs.t|1/2 (1-én jel(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {jel}} (t))}. }

Pillanatok

Mert az n edik idő Levy törvény formálisan adja meg: μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}

mnem =def vs.2π∫0∞e-vs./2xxnemx3/2dx.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Ez az integrál minden n > 0 esetén eltér , ezért Lévy törvényének momentumai nincsenek meghatározva. A pillanatok generátorfüggvényét formálisan adja meg:

M(t;vs.) =def vs.2π∫0∞e-vs./2x+txx3/2dx.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Az integrál eltér egymástól, és így minden nulla körüli intervallumban nincs meghatározva, így a pillanatgeneráló függvény nincs meghatározva. t>0{\ displaystyle t> 0}

Kapcsolat más törvényekkel

• Ha akkorx∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}kx+b∼Levy(kμ+b,kvs.){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
• Ha akkor ( inverz-gamma törvény )x∼Levy(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}x∼Inv-Gamma(12,vs.2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
• Lévy törvénye az V. típusú Pearson-függvény speciális esete .
• Ha ( normális eloszlás ) akkorY∼Normál(μ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Y-μ)-2∼Levy(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
• Ha akkorx∼Normál(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(x-μ)-2∼Levy(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
• Ha akkor ( stabil törvény )x∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}x∼Stabil(1/2,1,vs.,μ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Stabil}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
• Ha akkor ( inverz törvény-χ² skála megváltozott)x∼Levy(0,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}x∼Scale-inv-χ2(1,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
• Ha akkor ( normális eloszlás hajtva )x∼Levy(μ,vs.){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(x-μ)-12∼ÖsszecsukvaNormál(0,1/vs.){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Referencia

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  Lévy eloszlás  ” ( lásd a szerzők listáját ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">