Rice törvénye

Rizs
Valószínűségi sűrűség a ν különböző értékeihez σ = 1. különböző ν értékeihez σ = 0,25.


Eloszlásfüggvény σ = 1,0 értékkel a ν különböző értékeihez . ahol σ = 0,25 a ν különböző értékeire .

Beállítások	${\ displaystyle \ nu \ geq 0 \,}$ ${\ displaystyle \ sigma \ geq 0 \,}$
Támogatás	$x \ -ban [0; \ infty]$
Valószínűségi sűrűség	${\ displaystyle {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ {2})} {2 \ sigma ^ {2 }}} \ jobbra) I_ {0} \ balra ({\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2}}} \ jobbra)}$
Elosztási funkció	${\ displaystyle 1-Q_ {1} \ balra ({\ frac {\ nu} {\ sigma}}, {\ frac {x} {\ sigma}} \ jobbra)}$ hol van Marcum Q-függvénye $Q_ {1}$
Remény	${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {1/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}$
Variancia	${\ displaystyle 2 \ sigma ^ {2} + \ nu ^ {2} - {\ frac {\ pi \ sigma ^ {2}} {2}} L_ {1/2} ^ {2} \ balra ({\ frac {- \ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right)}$
Aszimmetria	(bonyolult)
Normalizált kurtosis	(bonyolult)

A statisztikák és a valószínűségszámítás , a törvény Rice elnevezett Stephen O. Rice (en) (1907-1986) , egy törvény valószínűségi sűrűség (vagyis folyamatos).

A Rayleigh-törvény általánosítása a rádiójel viselkedésének leírására szolgál, amely több úton ( többutason ) terjed, mielőtt egy antenna venné.

Jellemzés

Legyen két független központú Gauss-változó ugyanazzal a $σ 2$ varianciával . Ha figyelembe vesszük, hogy a sík egy pontjának két koordinátáját képviselik, az e ponttól az origóig mért távolság egy Rayleigh-törvényt követ :

{\ displaystyle f (x, \ sigma) = {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {-x ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} }} \ jobb)}

Feltételezve, hogy az eloszlás egy koordinátákkal $(ν cos θ, ν sin θ)$ ( poláris koordináták $(ν, θ)$ ) található pont középpontjában van , a valószínűségi sűrűség:

{\ displaystyle f (x | \ nu, \ sigma) = {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} \ exp \ left ({\ frac {- (x ^ {2} + \ nu ^ { 2})} {2 \ sigma ^ {2}}} \ jobbra) I_ {0} \ balra ({\ frac {x \ nu} {\ sigma ^ {2}}} \ jobbra)}

ahol $I 0 ( z )$ a módosított Bessel-függvény az első fajta és rend 0.

Tulajdonságok

Pillanatok

Az első pillanatok (nem középre helyezve) :

{\ displaystyle \ mu _ {1} = \ sigma {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {1/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = 2 \ sigma ^ {2} + \ nu ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ mu _ {3} = 3 \ sigma ^ {3} {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {3/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}

{\ displaystyle \ mu _ {4} = 8 \ sigma ^ {4} +8 \ sigma ^ {2} \ nu ^ {2} + \ nu ^ {4} \,}

{\ displaystyle \ mu _ {5} = 15 \ sigma ^ {5} {\ sqrt {\ pi / 2}} \, \, L_ {5/2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2})}

{\ displaystyle \ mu _ {6} = 48 \ sigma ^ {6} +72 \ sigma ^ {4} \ nu ^ {2} +18 \ sigma ^ {2} \ nu ^ {4} + \ nu ^ { 6} \,}

{\ displaystyle L _ {\ nu} (x) = L _ {\ nu} ^ {0} (x) = M (- \ nu, 1, x) = \, _ {1} F_ {1} (- \ nu; 1; x)}

ahol $L v ( x )$ egy Laguerre-polinomot jelent .

$Ν = 1/2$ esetre :

{\ displaystyle L_ {1/2} (x) = \, _ {1} F_ {1} \ bal (- {\ frac {1} {2}}; 1; x \ jobb)}

{\ displaystyle = \ mathrm {e} ^ {x / 2} \ bal [\ bal (1-x \ jobb) I_ {0} \ bal ({\ frac {-x} {2}} \ jobb) -xI_ {1} \ balra ({\ frac {-x} {2}} \ jobbra \ jobbra].}

Általában a pillanatokat az adja

{\ displaystyle \ mu _ {k} = s ^ {k} 2 ^ {k / 2} \, \ Gamma (1 \! + \! k / 2) \, L_ {k / 2} (- \ nu ^ {2} / 2 \ sigma ^ {2}), \,}

ahol $s = σ 1/2$ .

Amikor $k$ páros, a pillanatok $σ$ és $ν$ polinomokká válnak .

Kötött eloszlások

A változó a megadott Rice törvény szerint oszlik el, és két változó Gauss- független . $r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}$ ${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rizs} \ bal (\ sigma, \ nu \ jobb)}$ ${\ displaystyle X \ sim N \ bal (\ nu \ cos \ theta, \ sigma ^ {2} \ jobb)}$ ${\ displaystyle Y \ sim N \ bal (\ nu \ sin \ theta, \ sigma ^ {2} \ right)}$
Egy változó megszerzéséhez fontolóra vehetünk egy másik eljárást: ${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rizs} \ bal (\ nu, \ sigma \ jobb)}$

Rajzoljon $P-t$ Poisson-eloszlás szerint, paraméterrel ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ nu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}.}$
Rajzoljon $X-$ et egy $χ 2$ törvény szerint , $2 P + 2$ szabadságfokkal.
Ask $R = a vizeletmintákban a ö \sqrt X$ .

Ha akkor $R$ $2$ nem központosított eloszlással rendelkezik $χ$ $2$ , 2 szabadságfokkal és $ν$ $2$ nem központisági paraméterrel . ${\ displaystyle R \ sim \ mathrm {Rizs} \ bal (1, \ nu \ jobb)}$

Határesetek

Az argumentum nagy értéke esetén a Laguerre-polinom a következõvé válik:

{\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow - \ infty} L _ {\ nu} (x) = {\ frac {| x | ^ {\ nu}} {\ Gamma (1+ \ nu)}}.}

Láthatjuk, hogy amikor $ν$ nagy lesz vagy $σ$ kicsi lesz, akkor az átlag $ν$ és a variancia $σ 2 lesz$ .

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Milton Abramowitz és Irene Stegun (szerk.) Matematikai funkciók kézikönyve , Nemzeti Szabványügyi Iroda, 1964; újranyomtatott Dover Publications, 1965 ( ISBN 0-486-61272-4 ) , 13.5.1

(en) Stephen O. Rice, „A véletlenszerű zaj matematikai elemzése”, Bell System Technical Journal , vol. 1945. 24., p. 46–156
(en) I. Soltani Bozchalooi és Ming Liang, „A sima index-vezérelt megközelítés a hullámparaméter-kiválasztáshoz a jel zajmentesítésében és a hiba észlelésében”, Journal of Sound and Vibration , vol. 308, N o 1-2, 2007, p. 246–267 DOI : 10.1016 / j.jsv.2007.07.038
(en) John G. Proakis, digitális kommunikáció , McGraw-Hill, 2000

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Rice eloszlás ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Külső linkek

( fr ) A SOCR webhely a következő forrásokat biztosítja: interaktív Rice terjesztés , Rice szimuláció, modellillesztés és paraméterbecslés .
(in) Többutas fogadás a szolgáltatáshoz
(en) Komplex Gauss-eloszlás a matematikai aspektushoz
en) MATLAB kód a rizs eloszlásához (valószínűségi sűrűség, átlag, szórás és véletlenszám-generálás)