Általánosított inverz-Gauss-törvény

Általánosított inverz-Gauss-törvény



Beállítások	${\ displaystyle \ delta \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ gamma \ geq 0,}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$
Támogatás	${\ displaystyle [0, \ infty [}$
Valószínűségi sűrűség	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ right) ^ {\ lambda} {\ frac {1} {2K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} x ^ { \ lambda -1} e ^ {- {\ frac {1} {2}} (\ gamma ^ {2} x + {\ frac {\ delta ^ {2}} {x}})}}$
Remény	${\ displaystyle {\ frac {\ delta K _ {\ lambda +1} (\ delta \ gamma)} {\ gamma \ K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$
Divat	${\ displaystyle {\ frac {(\ lambda -1) + {\ sqrt {(\ lambda -1) ^ {2} + (\ delta \ gamma) ^ {2}}}} {\ gamma ^ {2}} }}$
Variancia	${\ displaystyle \ left ({\ frac {^ {\ delta}} {\ gamma}} \ right) ^ {2} \ left [{\ frac {K _ {^ {\ lambda} +2} (\ delta \ gamma)} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} - \ bal ({\ frac {K _ {\ lambda +1} (\ delta \ gamma)} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} \ right) ^ {2} \ right]}$
Pillanatgeneráló funkció	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma ^ {2} -2t}} \ right) ^ {\ frac {\ lambda} {2}} {\ frac {K _ { \ lambda} ({\ sqrt {\ delta ^ {2} (\ gamma ^ {2} -2t}})} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$
Jellemző funkció	${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {\ gamma ^ {2} -2it}} \ right) ^ {\ frac {^ {\ lambda}} {2}} {\ frac { K _ {\ lambda} ({\ sqrt {\ delta ^ {2} (\ gamma ^ {2} -2it}})} {K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}}}$

A valószínűségelméletben és a statisztikákban az inverz Gauss-általánosított törvény (GIG fordítva az általánosított Gauss-eloszlást angolul) egy valószínűségi eloszlás , amely egy harmadik paraméter bevezetésével folytatja az inverz gauss-eloszlás általánosítását .

Ezt a törvényt használják például a geostatisztikában , a hidrológiában vagy a pénzügyekben . Kezdetben Étienne Halphen statisztikus és hidrológus javasolta, majd a törvényt népszerűsítette Ole Barndorff-Nielsen (in), aki megadta a nevét, valamint Herbert Sichel (in) , a törvényt Sichel's névként is ismerik. törvény .

A jelölés azt jelzi, hogy az X véletlen változó egy általánosított inverz-Gauss-törvényt követ. ${\ displaystyle X \ sim GIG (\ lambda, \ delta, \ gamma)}$

Jellemzés

Az általánosított inverz-Gauss-törvény valószínűségi sűrűségét az alábbiak adják meg:

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle \ left ({\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ right) ^ {\ lambda} {\ frac {1} {2K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} x ^ {\ lambda -1} e ^ {- {\ frac {1} {2}} (\ gamma ^ {2} x + {\ frac {\ delta ^ {2 }} {x}})} és {\ text {si}} x> 0 \\ 0 és {\ text {különben}} \ vég {esetek}}}

hol van a harmadik típusú és paraméter módosított Bessel-függvénye , és a paraméterek igazolják: ${\ displaystyle \ scriptstyle K _ {\ lambda}}$ $\ scriptstyle \ lambda$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ delta \ geq 0 \ ;, \; \ gamma> 0 \; & {\ text {si}} \ lambda> 0 \ ;, \\\ delta> 0 \ ;, \ ; \ gamma> 0 \; & {\ text {si}} \ lambda = 0 \ ;, \\\ delta> 0 \ ;, \; \ gamma \ geq 0 \; & {\ text {si}} \ lambda <0. \ End {esetek}}}

Entrópia

Az általánosított inverz-Gauss-törvény entrópiáját a következők adják:

{\ displaystyle H (f (x)) = \ log \ left ({\ frac {\ delta} {\ gamma}} \ right) + \ log \ left (2K _ {\ lambda} \ left (\ delta \ gamma) \ right) \ right) - (\ lambda -1) {\ frac {\ left [{\ frac {d} {d \ nu}} K _ {\ nu} \ left (\ delta \ gamma \ right) \ right ] _ {\ nu = \ lambda}} {K _ {\ lambda} \ balra (\ delta \ gamma \ jobbra}}} + {\ frac {\ delta \ gamma} {2K _ {\ lambda} \ balra (\ delta \ gamma \ right)}} \ left (K _ {\ lambda +1} \ left (\ delta \ gamma \ right) + K _ {\ lambda -1} \ left (\ delta \ gamma \ right) \ right )}

ahol a derivált a Bessel-függvény sorrendjében módosítva és értékelve . ${\ displaystyle \ left [{\ frac {d} {d \ nu}} K _ {\ nu} \ left (\ delta \ gamma \ right) \ right] _ {\ nu = \ lambda}}$ $\meztelen$ ${\ displaystyle \ nu = \ lambda}$

Kapcsolat más törvényekkel

Ahol a törvény egy inverz Gauss törvény . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda = -1 / 2}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {GIG}} (- 1/2, \ delta, \ gamma)}$
A gamma törvény az általánosított inverz-Gauss-törvény speciális esete . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ delta = 0}$

Hivatkozások

DOI : 10.1061 / (ASCE) 1084-0699 (1999) 4: 3 (189)
(in) Ernst Eberlein és Ernst Hammerstein , " Általánosított hiperbolikus és inverz Gauss-eloszlások: Korlátozó dobozok és a folyamatok közelítése " , Progress in Probability , vol. 58,2004, P. 221–264 ( online olvasás )