A matematikai morfológia egy elmélet és technikai matematikai és számítógépes szerkezeti elemzés, amely összekapcsolódik az algebrával , a rács elméletével , a topológiával és a valószínűségekkel .
A matematikai morfológia fejlődését a képfeldolgozási problémák ihlették , ez a terület képezi fő alkalmazási területét. Különösen eszközöket kínál a képek szűrésére, szegmentálására , számszerűsítésére és modellezésére. Jelfeldolgozásban is használható , például egy mérés (fizikai, biológiai) időbeli változásainak szűrésére.
A matematikai morfológia egyik alapgondolata egy halmaz vizsgálata vagy kezelése egy másik halmaz felhasználásával, úgynevezett strukturáló elemként , amely próbaként szolgál. A strukturáló elem minden helyzeténél megnézzük, hogy érinti-e, vagy benne van-e a kezdeti halmazban. A választól függően létrehozunk egy kimeneti halmazt. Így viszonylag intuitív alapvető operátorokat kapunk.
A morfológiai operátorokban gyakran előforduló tulajdonságok a következők:
Ez különösen az információ elvesztését vonja maga után; megfelelő használat esetén ezek az operátorok lehetővé teszik bizonyos kritériumoknak, például a szélességnek vagy a térfogatnak nem megfelelő szerkezetek kiküszöbölését.
A matematikai morfológiát a halmazok és a véletlenszerű függvények is érdeklik.
A matematikai morfológia fő alkalmazási területe a képfeldolgozás. Különösen szűrési, szegmentálási és számszerűsítési eszközöket biztosít. 1964-es megjelenése óta egyre nagyobb sikereknek örvend, és most hozzájárul minden képkezelő vendéglátóegységének kitöltéséhez.
A matematikai morfológiát 1964-ben találta ki Georges Matheron és Jean Serra az Ecole des Mines de Paris laboratóriumaiban . Fejlesztését mindig is erősen az ipari alkalmazások motiválták. Kezdetben a bányászat problémáinak megválaszolása volt a kérdés, de nagyon gyorsan alkalmazási területei diverzifikálódtak: a biológia, az orvosi képalkotás, az anyagtudomány, az ipari látás, a multimédia, a távérzékelés és a geofizika néhány példa azokra a területekre, amelyeken a matematikai a morfológia fontos hozzájárulást tett.
A matematikai morfológia továbbra is aktív kutatási terület. Ezt bizonyítja a témával kapcsolatos számos tudományos publikáció, valamint a matematikai morfológiáról szóló két-három évente megrendezésre kerülő nemzetközi szimpóziumok.
Néhány példa a jelenlegi kutatási témákra:
A matematikai morfológia a rácselmélet absztrakt keretein belül fejleszthető . Itt azonban egy praktikusabb előadást fogadnak el, amelynek célja a képfeldolgozó eszközök potenciális felhasználója, nem pedig matematikus.
Vegyük figyelembe a kétdimenziós bináris képek támogatására gyakran használt modellt, annak ellenére, hogy az ebben a szakaszban bemutatott minden érvényben marad , ahol szigorúan pozitív egész szám szerepel. Legyen egy részhalmaza , az úgynevezett strukturáló elem . Ha a (z) egyik eleme , akkor a következők fordított halmazát jelöljük :
A strukturáló elem bizonyos módon a helyi modell vagy szonda szerepét játssza. Mindenhol a feldolgozandó képen van, és minden helyzetben megvizsgáljuk annak kapcsolatát a halmaznak tekintett bináris képpel. Ezek a kapcsolatok lehetnek például a „benne van a halmazban” típusúak, vagy például „befolyásolják a halmazt”.
A négyzet alakú burkolatoknál a leggyakrabban használt strukturáló elemek a kereszt, amely az origót és a négy legközelebbi pontot alkotja, valamint a négyzet, amely az origót és a nyolc legközelebbi pontot alkotja. Ez a két strukturáló elem megfelel egy pixel szomszédságának vagy a kép összekapcsolhatóságának két lehetséges meghatározásának. A hexagonális csempézés , az alapvető eleme a középre hatszög.
Bemutatjuk egy halmaz szimmetriáját is, megjegyezve :
Ha szimmetrikus, akkor megvan .
Tágulás és erózióLegyen egy részhalmaza . A strukturáló elemmel való morfológiai dilatációt Minkowski összegeként határozzuk meg :
Egy másik intuitívabb megfogalmazás:
A morfológiai tágulás általában nem reverzibilis. A művelet, amely valamilyen módon megpróbálja a dilatáció fordítottját eredményezni, a morfológiai erózió :
A tágulás és az erózió a matematikai morfológia alapvető operátorai. Szinte az összes többi meghatározható ezek felhasználásával, függvényösszetételek és beállítási műveletek segítségével.
Eredeti kép (fekete: az objektum; fehérben: a háttér).
Kiterjesztés 3x3-as négyszöggel: a fekete és a szürke pixel a kapott halmaz része.
3x3 négyzetnyi erózió: a kapott halmaz csak fekete pixeleket tartalmaz.
A tágulás kiterjedt átalakulás, ha B tartalmazza az eredetet: Az erózió kiterjedt, ha B tartalmazza az eredetet: A terjeszkedés és az erózió fokozza az átalakulásokat (például az egyesülés és a metszéspont): A tágulás és az erózió nem idempotens átalakulás: Másrészt a dilatáció és az erózió igazolja az iterativitás tulajdonságát , amely lehetővé teszi dilatációk vagy eróziók létrehozását homotetikus strukturáló elemekkel: A dilatáció folyamatos átalakulás , az erózió pedig egy felső félfolyamatos feldolgozás . Ez a tulajdonság közvetlenül a kereszteződés tulajdonságából következik Minkowski kivonásában.
A tágulás az unió és az erózió a kereszteződés tekintetében eloszlási szempontból oszlik meg : Legyen homotetikus strukturáló elemek családja és a viszony homotetikája . A dilatáció és az erózió kompatibilitása a dilatációval írva:
A tágulás, az unióhoz hasonlóan, megőrzi az összekapcsoltságot . A tágulás nem olyan átalakulás, amely megőrzi a homotómiát . Valójában összekapcsolja a szétválasztott elemeket és kitölti a lyukakat. Az erózió nem olyan átalakulás, amely megőrzi a homotómiát . Ez azért van, mert elválasztja a kapcsolódó részeket, és eltávolítja az elemeket, ha kicsik. Az erózió, akárcsak a kereszteződés, nem őrzi meg az összekapcsoltságot .
Nyitás és zárásAz erózióval járó morfológiai dilatáció összetétele ugyanazon strukturáló elem általánosságban nem az identitást hozza létre, hanem két másik morfológiai operátort, a morfológiai nyitást: és morfológiai záródás: A nyílás geometrikusan jellemezhető: az összes benne lévő egységét adja . Így a strukturáló elem alakja lehetővé teszi az azt tartalmazó struktúrák kiválasztását.
A zárás a nyitás kettőse: egy halmaz kiegészítésének lezárása megegyezik e halmaz nyitásának kiegészítésével.
Meg kell jegyezni, hogy ha a strukturáló elem nem szimmetrikus, akkor a szimmetrikus elemet kell használni a második operátor számára (nyitás esetén tágulás és zárás esetén erózió).
Nyitó és záró tulajdonságokEredeti kép
Zárás 3 × 3 négyzettel: a fekete és a szürke képpontok a kapott halmaz részét képezik
Megnyitás 3 × 3 négyzettel: a kapott halmaz csak fekete pixeleket tartalmaz
Két strukturáló elemet is felvehetünk, és meghatározhatjuk a transzformációkat. Ha azt kérdezzük minden ponton , hogy kívül esik a beállított és belső megkapjuk a mindent vagy semmit transzformáció ( hit vagy miss transzformáció angolul): ahol a halmaz komplementerét jelöli . Ez az átalakítás lehetővé teszi a pixelek bizonyos pontos konfigurációinak detektálását. A leggyakrabban használt konfigurációk között lesz:
Ha az átalakítás eredményét hozzáadjuk a kezdeti halmazhoz, akkor sűrűsödést kapunk : a kezdeti halmaz eredményének eltávolításával elvékonyodást kapunk :
Alkalmazások: csontváz, skiz, domború borítékA szürkeárnyalatos kép az in függvényében modellezhető . Legyen egy függvény, amely ehhez a halmazhoz tartozik. Ezután:
A függvények nyitása és zárása a beállított esethez hasonlóan történik:
A morfológiai nyitás és zárás már érdekes eszköz a képek szűrésére. Ugyanakkor módosíthatják az objektumok körvonalát, ami egy tulajdonság nem kívánatos. Az üzemeltetők rekonstrukcióval és általában a később bevezetett szintezéssel lehetővé teszik ennek a hátránynak a leküzdését.
A vastagodás és a ritkítás általában nem növeli a kezelőket. Ezért a funkciók (a gyakorlatban a szürkeárnyalatos képek) alkalmazása nem triviális. Számos kiterjesztést javasoltak az irodalomban.
Az élfelismerés fontos feladat a képfeldolgozásban. A matematikai morfológia nemlineáris éldetektálási eszközöket kínál, például morfológiai gradienst és Laplaciust.
A morfológiai gradienst , amelyet feltalálója neve alapján Beucher-gradiensnek is neveznek, a következő határozza meg:
Bizonyos szempontból megfelel az euklideszi gradiens modulus morfológiai változatának .
A morfológiai Laplacian hasonló módon épül fel:
hol van a személyazonosság-kezelő.
Az előző szakaszokban definiált összes operátort egy euklideszi keretrendszer határozta meg, nevezetesen, hogy a képdefiníciós tér referenciaként szolgál az operátorok számára. Ebben a részben ismét felvesszük a két alapvető operátort, amelyek az erózió és a dilatáció, de a megnevezett referenciatér egy alterében maradnak . Az euklideszi transzformációk így geodéziai transzformációkká válnak (ezeket feltételes transzformációknak is nevezik).
A geodézia a föld alakjának és méreteinek mérésének tudománya. Így a geodéziai távolság megfelel a legrövidebb útnak az egyik pontról a másikra való haladásra, miközben a földgömb felszínén marad. Ennek az útnak a hossza az euklideszi távolságtól eltérően nem egyenes szakasznak felel meg, hanem egy geodéziai ív hosszának . A geodéziai ív meghatározása magában foglalja az ív általi összekapcsolódás fogalmát . Azt mondják, hogy egy topológiai teret ívek kötnek össze, ha bármely pontpárját egy olyan út köti össze, amelynek tartása benne van .
A geodéziai távolság ugyanazokat az axiómákat használja, mint az euklideszi távolság, csak az út különbözik.
Vagy négy pont .
A kép bal oldalán a különböző euklideszi távolságokkal társított jobb szegmensek vannak ábrázolva. A jobb oldalon a három geodéziai ív csatlakozik és látható . Észrevesszük, hogy a pontnak nincs geodéziai útja, mert egy olyan komponenshez tartozik, amely elszakad attól a ponttól, amely a másik három pontot tartalmazza.
A geodéziai távolság kielégíti a távolság axiómáit. Valójában:
Ezekhez az axiómákhoz hozzá kell adnunk egy negyediket is. Ha nincs geodéziai út, akkor:Ugyanezekhez a pontokhoz összehasonlítható a geodéziai távolságok és az euklideszi távolságok. Mindig nagyobb vagy egyenlő geodéziai távolságunk lesz az euklideszi távolsággal, azzal a lehetőséggel, hogy véges euklideszi távolság és végtelen geodéziai távolság legyen:Ideiglenesen meg kell jegyezni, hogy két pont összekapcsolásához több egyenértékű geodéziai ív lehet, míg az euklideszi út egyedülálló.
Geodéziai strukturáló elemAz izotróp strukturáló elem középpontja és mérete a zárt lemez , amelyet a következők határoznak meg:A geodéziai lemezt a beállított referenciaértékhez viszonyítva határozzuk meg, ha az euklideszi távolságot a geodéziai távolságra cseréljük . Ezután:
A szemközti ábra szemlélteti az euklideszi strukturáló elem és a geodéziai strukturáló elem közötti különbséget. Ezen az ábrán a lemezt különböző pozíciókba helyezték . Az euklideszi lemez az x pozíciótól függetlenül ugyanaz marad. Másrészt a geodéziai lemez alakját megváltoztatja vagy eltűnhet a helyzetétől függően. A kezdeti lemezből csak a geodéziai távolság ellenőrzéséhez marad meg. Így a lemez azon pontjai, amelyek nem közösek, figyelmen kívül maradnak (pozíciók ). Ha a lemez közepe nem tartozik , akkor a geodéziai lemez nem létezik ( ).
Az átalakítandó halmaz mellett, amelyet (jelölőnek) hívunk , be kell vezetni a geodéziai referencia halmazt .
Geodéziai tágulásA dilatáció euklideszi definíciójából indulunk ki azzal, hogy az euklideszi gömböt geodéziai gombbal helyettesítjük. Ezután írhatunk: Ezután megismételjük ezt az alapvető műveleti időt: A következő ábrák egy hatszög által végzett geodéziai kiterjesztés hatását szemléltetik. A halmaz összekapcsolt összetevője csak akkor tágulhat, ha metszi , különben eltűnik. A dilatáció leáll, ha elérjük a határokat .
Referencia készlet X (sárga és piros) és M jelölő (piros és kék)
Geodéziai kiterjesztés (hatszögméret 15) M-től X-ig
Geodéziai kiterjesztés (hatszög 40-es méret) M-ről X-re
Az egész úgy viselkedik, mint egy maszk , amelyben módosítani lehet, és úgy viselkedik, mint egy marker, amely lehetővé teszi a beillesztését a csatlakoztatott komponensbe .
Geodéziai erózióUgyanígy vezetjük be a geodéziai eróziót azáltal, hogy az eróziót meghatározó kifejezésben az euklideszi gömböt geodetikus gömbbel helyettesítjük. Ezért írhatunk:Mivel az alkalmazott strukturáló elem szimmetrikus, kettősség van az erózió és a geodéziai dilatáció között. Ez a kettősség van kifejezve egy kicsit másképp, mint az euklideszi esetben, mert ez a kiegészítő képest , hogy kell figyelembe venni. Ezt a kettősségi viszonyt ezután megírják a szimmetrikus különbség operátorral :Az ábrák a geodéziai erózió egy szerelvényre gyakorolt hatását szemléltetik, szemben egy hatszögletű szerkezeti elem alkalmazásával.
X referencia készlet (sárga és piros) és M jelölő (piros)
Geodéziai erózió (hatszögméret 15) M-től X-ig
Észrevesszük, hogy azok a részek , amelyek teljesen beletartoznak és nincsenek közös határok, erodálódnak, mint az euklideszi esetben. Ha vannak közös határok, ezeket nem érinti az erózió.
Az egyik halmaz rekonstrukciója a másikból a geodéziai terjeszkedés egyik fő alkalmazása. Ezért két halmazból indulunk ki; az elsőt a jelzett markerek halmazának hívjuk , a másodikat a referenciahalmaznak vagy maszknak . Definíció szerint a rekonstrukció egy végtelen geodéziai kiterjesztés, a markerek tekintetében . Le van írva: Ha az összes csatlakoztatott, jelölőket tartalmazó alkatrészt behatolják, a kép már nem lesz módosítható. Ez képezi az eljárás leállításának tesztjét . A következő ábrák a jelzők rekonstrukcióját szemléltetik .
X referencia készlet (sárga és piros) és M jelölő (piros)
X rekonstrukciója M markerekből
A rekonstrukció tehát a markerek algebrai lezárásának felel meg .
Szerelvények rekonstrukciós alkalmazásaiItt csak a legfontosabbakat említjük.
Eróziós rekonstrukcióAz eróziós rekonstrukció során a markerek az euklideszi erodák lesznek, és az euklideszi tágulást felváltja a markerek geodéziai tágulása az egészhez viszonyítva . Le van írva:Ezt az eróziós rekonstrukciót a következő ábrák szemléltetik, és összehasonlítják az azonos strukturáló elemet használó geodéziai nyílással.
Állítsa be az X1 (sárga és piros) és a hatszögletű erózió 11-es méretét (M1 = piros)
X1 rekonstrukciója az M1-ből
X1 geodéziai rekesze (piros: hatszög méretű 11)
Egyes elemzési alkalmazásoknál meg kell szüntetni azokat a csatlakoztatott komponenseket, amelyek keresztezik a látómező szélét . Ehhez el kell különíteni őket úgy, hogy rekonstruáljuk őket a mező szélének összes pixeléből álló , feljegyzett és kivont jelölőből . Az eljárás tehát a következő lesz:A készlet csak csatlakoztatott alkatrészeket tartalmaz, amelyek teljesen benne vannak . Ezt a következő ábrák szemléltetik.
Állítsa be az X2 (sárga) és a dZ mező szélét (piros)
Az X2 kapcsolódó elemei rekonstruálva, metszve a mező szélét (piros)
Az X2 kapcsolódó komponensei teljes mértékben szerepelnek a Z mezőben
A rekonstrukciót olyan művelet során használják, amelyet gyakran használnak a képfeldolgozásban: lyukak bedugása . Az előző alkalmazáshoz hasonlóan a marker is . Az algoritmus a következő:A következő ábrák szemléltetik a műveletek sorrendjét.
Állítsa be az X3 (sárga) és a dZ mező szélét (piros)
Kiegészítve az X3 (sárga) halmazgal és a dZ (piros) mező szélével
X3 komplementjének rekonstrukciója dZ-ből
X3 furatok bedugása
Vegyünk egy , a következő ábrán bemutatott készletet . A végső erózió egy domború strukturáló elem erózióinak sorozata során jelenik meg . Összekapcsolt összetevők egyesülésével jönnek létre, amelyek azonnal nagyobb méretű erózió során eltűnnek.
Legyen egy elemi digitális erózió, és annak sorrendje i. A végső eróziót, amelyet levezetnek és megjegyeznek , ezután a nyílások közötti "maradékként" definiálják az előző erózió rekonstrukciójával:A végső erózió megfelel ezeknek a rekonstrukcióknak az egyesülésével, 1-től imaxig változik, ha az erózióból semmi nem marad.
Ezeket a végső erodálódásokat a távolságfüggvény maximumaiból is meg lehet szerezni, az alábbiakban bemutatott funkciók geodéziai módszerével. A beállított tartományban maradva a végső erózió az objektumok domború részeinek jelölését szolgálja, és felhasználható konvex részecskék aggregátumainak szegmentálására.
Ami a beállított esetet illeti, lesz egy referenciafüggvényünk és egy olyan függvényünk, amely átalakul . A két alapvető operátor továbbra is a geodéziai terjeszkedés és a geodéziai erózió.
A funkciók geodéziai kiterjesztéseAz elemi geodéziai bővítése sub fejezik ki hasonló módon használt készletek.
A függvények esetében ezek az elemek laposak és domború izotróp elemek lesznek . Valójában:Bármely méretű geodéziai kiterjesztéshez:
Értelmezés az R1-R-ben definiált f (x) függvényrőlA szürkeárnyalatos képek a . Az operátorok viselkedésének látásának megkönnyítése érdekében a programban definiált függvényt fogjuk használni . Vagy egy ugyanabban a térben definiált függvény is . Példánkban az egyetlen lehetőség egy „lapos strukturáló elem”, amely középre állított „egyenes szegmensből” áll.
A következő ábrák a méret geodéziai bővülésének esetét szemléltetik .
F (x) függvény (sárga és piros) és jelölők m1 (x) (piros)
Az m1 (x) (piros) jelölők 20-as kiterjesztése az f (x) (sárga és piros) függvény alatt
Észrevesszük, hogy a kitágult markerek mindig a funkció alatt maradnak . Egy lapos fontos alkotóelem , rész , amely továbbra is megközelíthetetlen bővítése. Ezek domború részek, beleértve a maximumokat is .
Vegye figyelembe, hogy a jelölőket általában úgy választják meg, hogy:
Geodéziai erózió a funkciókhozDefiníció szerint az elemi geodéziai eróziót a következők adják:Ami a geodéziai tágulást illeti, iterációval fogunk megtenni:A függvények geodéziai erózióját a függvények geodéziai terjeszkedéséből a kettősség is levezeti. Nevezzük "a kép által támogatott maximális szürke szintnek". Ezután:
Ezt a kifejezést használják fel bármilyen geodéziai erózió felépítésére is.
Értelmezés az R1-R-ben meghatározott függvényrőlAz ábrák a funkció geodéziai eróziójának viselkedését szemléltetik .
F (x) (sárga) és m2 (x) funkció (sárga és piros)
15. méret: m2 (x) (sárga és piros) jelölők eróziója az f (x) (sárga) függvényen
Vegye figyelembe, hogy az erodált függvény megőrzi a maradványokat a függvény konkáv részeiben . Ez az eredmény szimmetrikus a geodéziai tágulással kapott eredményhez.
A funkciók rekonstrukciójaAhogy a halmazoknál tettük, lehetséges a függvények geodetikus rekonstrukciója egy másik függvény vonatkozásában. Két esetet kell megfontolni.
Az első ábra illusztrálja a kapott eredmény abban az esetben, a rekonstrukció a keretében a függvény , és a második szám, a rekonstrukció a fölött a függvény .
Az m1 (x) (piros) jelölők rekonstrukciója az f (x) (sárga és piros) függvény alatt
M2 (x) (sárga és piros) jelölők rekonstrukciója az f (x) (sárga) függvényen
A kép regionális maximumai a kép azon pontjai, amelyekből csak lefelé vezető utak vannak. Vagy kép. Ebből a képből felépítünk egy képet a jelölőkről , levonva belőle egy szürke szintet . ezért lesz:Aztán, mi végre egy rekonstrukció alatt és különbség , megkapjuk a regionális maxima . Tehát van:
A függvény minimumaA függvény regionális minimumainak keresésére ugyanazt az elvet alkalmazzák. Először alkotjuk a jelölők képét:Aztán, mi végre egy rekonstrukció a és különbség , megkapjuk a regionális minimumok . Tehát van:
Kiterjesztett maximumok és minimumokA függvény maximumainak és minimumainak megkeresése nagyon jó eredményeket ad, ha a kép nem zajos. Zaj jelenlétében a kiterjesztett maximumok és minimumok fogalma , más néven Hmax és Hmin , lehetővé teszi a képből csak a jelentős extrémák kivonását. Az algoritmus hasonló a maximumok és minimumok algoritmusához . Csak a jelölők felépítése különbözik kissé. Valójában ahelyett, hogy a képet egy szürke (kevesebb vagy több) szinttel lefordítanánk, h több vagy kevesebb szürke szint fordítását hajtjuk végre. Ezután a Hmax és Hmin értékeket a következőképpen írjuk fel.
A következő ábrák szemléltetik a Hmax felépítését egy függvény esetében .
F (x) függvény (sárga és piros) és jelölők m (-h) (piros)
Funkció (fx) (sárga és piros) és f (x) (piros) Hmax
Például az eredmény egy zajos szürke színű csempézés képén látható. A burkolat regionális maximumai a zaj miatt használhatatlanok. Másrészt a Hmax lehetővé teszi az egyes térkő lemezeinek vizualizálását.
Zajos csempézés képe (szürkeárnyalatos)
Zajos térburkolatú Maxima
A zajos burkolat Hmax (h = 30)
A Hmax morfológiai szűrése 1-es méretű nyílással, majd 10-es méretű zárással.
A szignifikáns maximumok keresése javítható a kapott bináris kép szűrésével, amint az a következő ábrán látható. A „Hmin” -eket analóg módon állítják elő és dolgozzák fel.
A szürkeárnyalatos kép szegmentálása a képközeg partíciójának előállításából áll, úgy, hogy a partíció régiói megfeleljenek a képen lévő objektumoknak.
A morfológiai szűrők értékes segítséget jelentenek a szegmentálási folyamatban. Különösen a szintezés teszi lehetővé a képek szűrését a fontos kontúrok megőrzése mellett, ami egyszerűsíti a tényleges szegmentálási műveletet. Bizonyos esetekben a nehéz szűrés önmagában megfelelő pontszámot eredményezhet. De a képszegmentálás leghíresebb morfológiai eszköze a vízválasztó vonal .
Számos algoritmus létezik a vízválasztó szerinti szegmentálásra. Az alapgondolat a kép áradatának szimulálása, amelyet topográfiai domborműnek tekintenek, ahol a szürke szint megfelel a magasságnak. A partíció régiói közötti határok ekkor általában a gerincvonalakra helyezkednek el. Jellemzően ezt az operátort alkalmazzuk a kép gradiensére (euklideszi gradiensnorma vagy morfológiai gradiens), amelyet szegmentálni kívánunk, következésképpen a határokat kiemelt módon helyezzük el a magas gradiens vonalain.
Számos osztási számítási algoritmus lineáris komplexitással rendelkezik, a kép pixelszámától függően, ami a leggyorsabb szegmentálási módszerek közé sorolja őket.
Eredetileg a matematikai morfológiát a biológiai anyagok képeinek vagy képeinek feldolgozására és elemzésére tervezték, hogy paraméterekként vagy funkcióként számszerűsített információkat nyerjenek ki . Itt csak az űrben definiált 2D képekre és az alterekre korlátozódunk. Ebben az esetben a teret pontrács képviseli. Két esetet veszünk figyelembe: a négyzet alakú rácsot ( négyzet alakú burkolat ) és a háromszög alakú rácsot ( hatszögletű burkolat ). A paramétereket illetően tudjuk, hogy ezek az Euler-Poincaré karakterisztikából vagy a különböző terek összekapcsolhatóságának számából nyerhetők, amelyekre a tér vonatkozik .
X halmaz négyzetburkolata
Állítsa be az X és a környezeti konfigurációt az N1 megszerzéséhez (négyzet alakú csempézés)
Állítsa be az X és a környezeti konfigurációkat az N2 megszerzéséhez (négyzet alakú csempézés)
Ez a hely megfelel a pixelekhez társított pontok hálózatának.A bináris képen megegyezik az 1 pixelek számával.
R 1 tér : N 1 ( X )A vonalak, hogy fel lehet használni a megfelelnek vonalban pixel. Ezen vágási vonalak szegmenseinek végei (a kimeneten) megfelelnek az 1 0 típusú pixelátmeneteknek. A kapcsolódó bináris képet egy minden vagy semmi transzformációval kapjuk. Gyakorlati szempontból ez azt jelenti, hogy minden pixelnél ellenőrizzük a szomszédsági konfigurációt . A konfiguráció 1. elemei az egészre , a 0-k pedig a kiegészítő elemre vonatkoznak . Ezért lesz:A csoport számára: A méréshez:
A különböző burkolatok strukturáló elemei:
(A többi 60 ° és 120 ° tájolást a konfiguráció elforgatásával kapjuk.)
(A másik 45 °, 90 °, 135 ° tájolást a konfiguráció elforgatásával kapjuk.)
R 2 tér : N 2 ( X )Emlékezzünk vissza, amely megfelel a csatlakoztatott alkatrészek számának, levonva a bennük lévő furatok számát .
Ennek a számnak a háromszög alakú burkolással történő meghatározásához az Euler relációt használjuk : A csúcsok számát (pixelek az 1-ben) ábrázoló hatszögletű tessellációban, c az 1-1 típusú oldalak számát (egy forgásig) és f a három csúcsú háromszögek számát 1-ben. Elemi számítás az összes kombinációk a következő eredményt adják:Készletekhez: és A méréshez:
A különböző burkolatok strukturáló elemei:
és .
és .
Ami a kapcsolódási számokat illeti, az alapvető metrikus paramétereknek igazolniuk kell Hugo Hadwiger feltételeit . A halmaznak helyhez kötött véletlen halmaznak kell lennie, amely a konvexek véges egyesüléséből áll. Az intézkedésnek a következő tulajdonságokkal kell rendelkeznie:
A metrikus paraméter a feljegyzett halmaz teljes hossza , amelyet a képpont és a pixel mérete alapján számolnak . Valójában:
Az R 2-benEzek a metrikus paraméterek a következők:
A képpont és a pixel területe alapján számítják ki . Valójában:
Ennek a kerületnek a megszerzéséhez a Cauchy relációt ( integrált geometria ) fogjuk használni, amely összekapcsolja a halmaz átmérőjének variációját annak kerületével:A pixel méretű. Meg kell jegyezni, hogy ennek a körnek a becslése statisztikai szempontból bír. A csatlakozás számát több irányban kell megbecsülni.
A Cauchy-kapcsolat illusztrációja
Crofton kapcsolatának illusztrációja
Meunier kapcsolatának illusztrációja
Az integrált geometria hozzáférést biztosít a beállításokhoz az alsó területek közötti kapcsolat számai alapján.
A tudományos vizsgálatokra szánt képeket gyakran olyan mikroszkópból nyerik, amelynek területe kisebb, mint az elemezni kívánt elem. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az elemzés lokális , szemben a globális elemzéssel, ahol az egész teljesen látható.
A korábban definiált globális paramétereket átalakítani kell a tér egységére csökkentett helyi paraméterekké .
Az R 0 tér helyi paramétereiA sztereológiai paraméterek átlagos paraméterek. Ráadásul nem sok van belőlük. Könnyen belátható, hogy nem elégségesek a szerkezet meglehetősen teljes leírására. Ha valaki elfogadja a sztereológiai szempont elveszítését, a matematikai morfológia sok további kvantitatív információ megszerzését teszi lehetővé. Ez a számszerűsítés gyakran a képtranszformációkhoz társított méretparamétertől függ . A számszerűsítés rendezési művelethez vezet , amelynek számlálása vagy mérése részecskeméret-függvényhez vezet . Az egyik halmaz szétszóródása a másikban szintén fontos tudnivaló. A sztereológia csak olyan származtatott paramétert nyújt, amely nem felel meg a kérdés megválaszolásának.
A rendezési módszernek ellenőriznie kell a következő szabályokat:
Megkülönböztetünk méreteket számban és méretben .
Ez a fajta elemzés csak akkor lehetséges, ha az elemzendő halmaz teljesen diszjunkt objektumok gyűjteményéből áll. Minden objektumot elkülönítenek, majd méretkritérium (terület, kerület, Féret átmérő stb.) Szerint mérnek . A mérés eredménye lehetővé teszi az objektum méretosztályba sorolását.
Az imént említett mérések elvégzéséhez szükséges, hogy az objektum teljes mértékben szerepeljen a mérési mezőben. Ezért meg kell szüntetnünk azokat, akik elvágják a mező szélét. Láttuk, hogy ez matematikai morfológiával könnyen elérhető. Azonban minél nagyobb az objektum mérete, annál valószínűbb, hogy egy objektumot megszüntet. Ez elfogultságot fog bevezetni a részecskeméret elemzésében. A probléma megoldásához tudni kell annak valószínűségét, hogy egy objektumot be kell vonni a mezőbe . Láttuk azonban, hogy megadja a pontok halmazát, ahol teljesen benne van .
Ez az érvelés átírható a problémánk megoldására azzal, hogy a téglalap alakú maszkot meg akarja rombolni . Könnyen belátható, hogy pontosan ugyanazt az eredményt kapjuk, ha kicseréljük a minimálisan körülírt téglalapra , amelynek az iránya megegyezik . A befogadási valószínűség ezután könnyen kiszámítható:Ebben a kifejezésben a mező (Z index) vagy téglalap (R index) vízszintes és függőleges oldalát jelöli. Ezután az elfogultságot úgy korrigálják, hogy a méretosztályt nem 1-vel, hanem eggyel növelik . Ezt a korrekciós módszert Lantuéjoul javasolta .
Részecskeméret-elemzés kétdimenziós strukturáló elemmel történő megnyitássalAz 1. ábra tárgyainak komplementer közegét nem lehet kezelni ezzel a módszerrel, mivel az egyes objektumok fogalmának már nincs jelentése. Matheron axiómái azonban igazak, ha a nyitást konvex strukturáló elemmel végzik . Egy konvex strukturáló elem lehetővé teszi egy azonos természetű család felépítését, amelynek minden tagját méret homotetikai arány vezeti le az 1. méretű elemből . Ez a fajta granulometria mérés szerint granulometria, mivel a nyílásnak nincsenek jó topológiai tulajdonságai (egy tárgyat ketté lehet osztani nyitással). A (z) -ban definiált képnél csak a nyitott halmaz területét használják.
Boolean körlemezek halmaza (X = BD)
5 képpontos hatszögletű rekesz BD-n és erodált maszk (cián)
20 pixeles hatszögletű rekesz BD-n és erodált maszk (cián)
A helyi elemzés során a mérési maszkot figyelembe kell venni, ezért erodált maszkban kell működnie, így: Van egy speciális eset, amikor a részecskeméretet szám alapján lehet meghatározni. Akkor van, amikor a halmaz diszjunkt konvex objektumokból áll. Ebben az esetben:
A részecskeméret elemzése lineáris strukturáló elemmel történő megnyitássalA lineáris strukturáló elemet hagyományosan megjegyzik . A szabályok ugyanúgy vonatkoznak, mint a kétdimenziós nyílásra, de itt mindig kiszámolható a mérték és a szám szerinti granulometria, mivel a halmaz egy vonal által történő metszése mindig meghatározza a vonalak egy részét. A megfelelő szemcseméreteket a következő kifejezések adják meg a mérett szemcseméretek és a szemcseméretek száma szerint:
A P ( l ) függvény
Valójában nem szükséges átmenni a nyíláson, hogy megkapjuk ezeket a szemcseméreteket, hanem meg lehet állni a funkciót adó eróziónál . Ezt a funkciót a következők határozzák meg:
Ennek a funkciónak számos figyelemre méltó tulajdonsága van:
Logikai készlet halszemekkel (X = BP)
10 pixel lineáris eróziója a BP-n és az erodált maszkon (cián)]
20 pixel lineáris eróziója a BP-n és az erodált maszkon (cián)
Az előző kapcsolatok szerint azonnal megvan: és
Tegyük fel, hogy a halmaz átlátszó, a kiegészítő pedig átlátszatlan. A hozzá tartozó ponttól meghatározhatunk egy tartományt , amely az x összes látható y pontjából áll. az x ponttal társított '' '2-es dimenziós csillag' '' 'lesz.
Ha ugyanazt a műveletet megismételjük az összes pontra , meghatározhatunk egy átlagos csillagban, amelyet a területe jellemez. Le van írva:Tekintsük a felület mentén orientált elemet . Ez az elem a csillaghoz tartozik, és feltételes valószínűséggel az arány: A definíciót felhasználva és feltételezve, hogy a közeg izotróp, a következők: Ugyanezzel az érveléssel lehet élni . A csillagot a következők határozzák meg: Ami izotrop esetben: A csillag egy átlagos térfogatot határoz meg a mértékben és az átlagos mértéket. Ha a diszjunkt konvexek uniója, akkor a csillag átlagos konvex halmazt képvisel. Mivel a csillag alapján mérhető , a csillag sztereológiai tulajdonságokkal rendelkezik.
A diszperzió tanulmányozása legalább egy halmazt és annak kiegészítését feltételezi, mindkettő nem üres. A meghatározott sztereológiai paraméterek csak egyetlen halmazra vonatkoznak, valamint a részecskeméret-elemzésre is. A matematikai morfológiában van egy olyan funkció, amely hatékonyan lehetővé teszi az egyik halmaz diszperziós állapotának tesztelését a másikban. Ezt a függvényt hívjuk '' 'kovariancia függvénynek' ''. Megfelel a h két távoli pontjából álló strukturáló elem erodálódásának. Mivel az erózió Minkowski kivonásából épül fel, könnyű h-vel megkapni az erózió eredményét, mivel ez a strukturáló elem csak 2 h-től távol eső pontot tartalmaz. Ehhez egyszerűen fordítsa le a képet, és vegye le a lefordított kereszteződést.
Ezért lesz:
Egyszerű kovarianciaA kovarianciát főleg a helyi esetben alkalmazzák. Ebben az esetben a kovariancia függvényt egy Z mérési maszkban definiáljuk:
Kovariancia tulajdonságokMint a funkciót , a funkció számos tulajdonságait. Így:
Példaként határeseteket veszünk:
A választott példában a kovariancia csökkenése az aszimptotikus értékig folytatódik. Mivel az elemzést csak mezőn hajtották végre, az elméleti és a kísérleti aszimptota közötti összhang nem tökéletes. Az enyhe áthaladás a minimumon kismértékű taszító hatást mutat a lemezek között.
A szerkezet periodikus aspektusa a kovariancia görbe oszcillációit eredményezi. Az első minimum egy lamella átlagos vastagságának felel meg, az első maximum pedig a lamella-komplementer pár átlagos vastagságának.
A kovariancia értelmezése bonyolultabb, de megbecsülhetjük a klaszterek közötti átlagos távolságomat.
H (10 pixel) erózió logikai lemezkészleten (X: sárga és piros, h erózió: piros, maszk erózió: cián)
Kovariancia a logikai lemezkészleten
H (24 pixel) erózió egy lamellás halmazon (X: sárga és piros, h erózió: piros, maszk erózió: cián)
Kovariancia a lamelláris szerelvényen
H (24 pixel) erózió a fürtök halmazán (X: sárga és piros, h erózió: piros, a maszk eróziója: cián)
Kovariancia a klaszterek halmazán
A sztereológiai paraméterek kevések, és a méret részecskeméretfüggvényekkel történő jellemzése csak lineáris részecskeméretekre vonatkozik. Ugyanez az érvelés érvényesülhet a kovariancia funkcióval kapcsolatban is.
Ha elfogadjuk az űrben maradást, a többi szemcseméret, az alak és az anizotrópia tanulmányozása lehetővé teszi a morfológiai információk kiegészítését. Ezekkel a módszerekkel nagyszámú paraméter és több eloszlás birtokában vagyunk, de másrészt a jellemzés olvashatósága már nem nyilvánvaló.
Egy másik sokkal szintetikusabb megközelítés a valószínűségi modellek. A véletlenszerű halmazok jellemzésére szolgálnak. Természetesen nem minden valós halmaz leírható ilyen modellekkel. Először is, ezeknek a halmazoknak térben állónak kell lenniük a könnyű modellezés érdekében.
Ahhoz, hogy megfigyelhessünk egy morfológiát, szükséges, hogy egy halmaz ne töltse ki az összes teret. Legalább két közegű közegünk lesz: az egész és annak kiegészítése . Az ezt a halmazt alkotó objektumok lehetnek pontok, egyenesek vagy bármely részhalmaz. Az így kapott készlet tehát egy topológiailag zárt, RACS (RAndom Closed Set) elnevezésű, véletlenszerű készlet, amelyet Matheron , Serra, Stoyan és Jeulin könyveiben jól leírtak . Ez a korlátozás fontos a jó tulajdonságok fenntartása érdekében, de a gyakorlatban nem túl zavaró. Így a RACS a dilatációs eróziós művelet után RACS marad ... A modell megválasztása bizonyos mértékű a priori tudástól függ . Anyagok vagy rendszerek esetében a morfológiailag észlelhető fázisok száma az első elem. Ezért két fő kategóriánk lesz:
A RACS-t az események valószínűségével lehet jellemezni, amelyek megfelelnek a morfológiai méréseknek, például annak a valószínűsége, hogy egy kompaktot beépítenek egy halmazba vagy annak komplementjébe. Ez az a szerep, amelyet Choquet képességeinek tulajdonítanak, és amelyet az alábbiak határoznak meg:
Megadhatjuk annak valószínűségéből is, hogy a és a kereszteződés üres:
Ugyanúgy, ahogy egy disztribúciós függvény egy véletlen változót határoz meg, Choquet bármilyen kompaktumra való képességének ismerete lehetővé teszi a valószínűségi modell teljes meghatározását. Nyilvánvaló, hogy nem minden lehetséges kompakt tesztelhető. Meg leszünk elégedve a legegyszerűbbel.
A RACS tulajdonságaiA RACS számos tulajdonságot ellenőrizhet, vagy nem.
Végtelen oszthatóságA RACS végtelenül osztható, ha egyenértékű n azonos jellegû független RACS egyesülésével. Az altérrel végtelenül osztható modell metszéspontja megőrzi a létrehozott modell jellegét. Ez egy sztereologikus jellegzetesség. Egy ilyen RACS és egy adott kompakt esetében a Choquet kapacitás a forma kifejezője:
val vel:
StabilitásA végtelenül osztható RACS egyesüléssel stabil, ha a függvény kielégíti az egyenletet:
val vel
SzámíthatóságA RACS a kiszámíthatóság tulajdonsága, ha bizonyos tömörítéseknél Choquet kapacitásai kifejezett képletekkel rendelkeznek. Ez lehetővé teszi annak ellenőrzését, hogy egy valós struktúra megfelel-e az RACS megvalósításának szimuláció nélkül. Ha a Choquet kapacitás nem számítható ki, akkor a modell paramétereihez kapcsolódó jellemző mennyiségeket használhatunk.
A Poisson-pont folyamataAz összes valószínűségi modell kiindulópontja egy véletlenszerű pontfolyamat. Olyan folyamatra van szükség, amelyben egy részhalmazba eső pontok száma független a beeső számoktól . A Poisson-terjesztési folyamat kielégíti ezt a feltételt. Annak a valószínűségét, hogy egy Poisson-sűrűség-folyamat n pontja egy halmazhoz tartozik, a következő adja:
A véletlenszerű partíciós modellek olyan halmazok, amelyek a teret több zárt és korlátozott részhalmazra osztják, osztályoknak hívják. Az összes részhalmaz egyesülése kitölti az összes helyet . A fő pontszámmodellek a következők: a Voronoi-pontszám , a Johnson Mehl-pontszám , a Poisson-mozaik és a holt levelek . Ha ezek a modellek egy Poisson-folyamatból származnak, felépítésük és tulajdonságaik nagyon eltérőek. Az utolsó Boole Matheron többfázisú modellje után kerül bemutatásra .
Voronoi pontszámaPartíció vagy Voronoi diagram elkészítéséhez pontokat állítunk fel a Poisson-sűrűség törvényének engedelmeskedő folyamatnak megfelelően . Minden pontnak megvan a megfelelő befolyási zónája, amelyet a következők határoznak meg:
A távolság a
Ez a hatászóna egy konvex sokszög és egy konvex poliéder .
A modell egyszerűsége sok szerzőt arra késztetett, hogy a sejtes vagy szemcsés szerkezetek leírására használják. De a Voronoi-pontszám nem osztható végtelenül, mivel a Voronoi-pontszám nem generál Voronoi-pontszámot . Ezenfelül nem ismerjük a partíció Choquet-kapacitásának a szokásos tömörítésekre vonatkozó analitikai kifejeződését. A valós szerkezet síkmetszetének összehasonlításához a Voronoi-modellel néhány jellemzőt Miles foglal össze, a Poisson-sűrűség függvényében .
A Voronoi partíció esetén hasonló összefüggések vannak a függvény és a Poisson-sűrűség segítségével .
Ezen túlmenően, a sűrűsége a partíciót és funkciók „csillag” , , és csatlakozik a sűrűsége a Poisson folyamat a következő feltételeket:
Ezeket a csillagfüggvényeket a függvény pillanataitól számítjuk , (egy szegmens szemcsébe történő beépítésének valószínűsége ).
Nekünk van :
A Johnson-Mehl modell szintén Poisson-pontfolyamaton alapszik. A modell azonban szekvenciális (az idő függvénye). Minden szekvencia két elemi folyamatból áll:
Azonban nem minden létrehozott csíra vezet szükségszerűen "gabonához". Ha a csíra egy már kialakult kernben jelenik meg, akkor eltűnik. Az építkezés akkor áll le, amikor a szemcsék kiegészítője teljesen eltűnt. A partíciót alkotó szemcséknek hiperbolikus és hiperboloid határai vannak . Ezért nem mindig domborúak, de ismerjük azok jellemzőit, különös tekintettel a szomszédok számának eloszlásfüggvényére.
Johnson Mehl modelljének elkészítése (néhány lépés)
Johnson Mehl modelljének elkészítése (néhány lépés)
Johnson Mehl modelljének elkészítése (néhány lépés)
Johnson Mehl modelljének elkészítése (végeredmény)
A Voronoi partícióhoz hasonlóan a Johnson-Mehl modell sem rendelkezik sztereológiai tulajdonságokkal. Abban az esetben, ha állandó, vannak összefüggések a függvénnyel kapcsolatban :
A tér Poisson-folyamat szerinti felosztását Poisson-vonalak végzik. A Poisson-vonalak a következőképpen épülnek fel. Legyen egy orientációs vonal a sík kezdőpontja között és azon keresztül. Ezen a vonalon végzünk egy Poisson sűrűségű folyamatot . Ezen pontok mindegyikén merőleges Poisson-vonalat állítunk fel . Izotróp mozaik adatkészlet esetén állandó, és az értékét egy egységes valószínűségi törvény szerint választják meg.
Ezután a teret véletlenszerű sokszögek végtelenségére osztják, az úgynevezett Poisson-sokszögekre.
A tér hasonló felépítése a Poisson-poliéder végtelenében megosztott térhez vezet. A szög ekkor 0 és szteradián között van. A Poisson-vonalakat a sűrűség szerint merőleges Poisson-síkok helyettesítik .
A Voronoi-modellel ellentétben a Poisson-mozaik sztereológiai tulajdonságokkal rendelkezik. Először is, a paramétermodell az átlagos poliédert átlagos térfogata , átlagos területe és átlagos görbületi integrálja alapján jellemezheti . Valóban megvannak a kapcsolataink:
Másrészt egy Poisson-mozaik a paraméterben , amelyet metsz egy sík, Poisson-t generál a paraméter mozaikjában :
A Poisson-mozaik adatsort ritkán használják a tér partíciójának modellezésére. Másrészt lehetővé teszi véletlenszerű szemcsék előállítását a többfázisú modellekhez.
A végső particionálási módot ebben a szakaszban nem tárgyaljuk, a holt levelek modelljét látjuk részletesebben a következő szakaszban.
Többfázisú RACSNagyon fontos csoport a többfázisú véletlenszerű zárt halmazok. Három csoportba sorolhatók.
Ez a Boole-diagramnak is nevezett modell a következőképpen épül fel. A Poisson-sűrűség folyamatának minden pontján elhelyezünk egy elsődleges szemcsét. A Boole-diagram ezeknek az elsődleges szemeknek az egyesülése (bal oldali ábra).
Boole Matheron (sárga) készlet (30 csíra, 20-as méretű lemez)
Boole Matheron (sárga), (változó méretű lemezek) készlet
Poissonian Grain Boole Matheron készlet (sárga)
Ehhez a halmazhoz létrehoztunk egy pontfolyamatot, és minden pontot lecseréltünk egy egyedi méretű (elsődleges szemcsés) dodecagonra. A második ábra Boole Matheron modelljét mutatja, amely változó méretű lemezekkel készült. Az utolsó ábrán a modell elsődleges szemcséi Poisson sokszögek, amelyeket partícióból sorsolással nyerünk, ahogyan azt az előző szakaszban bemutattuk.
TulajdonságokA Boole Matheron modell nagyon jó tulajdonságokkal rendelkezik. Végtelenül osztható, stabil és kiszámítható. Valóban, ha ez a logikai diagram elsődleges magja, akkor megvan a kapcsolat:
a kompakt által tágított halmaz Lebesgue-mértékének elvárása .
Choquet kapacitása még mindig írható:
a komplementer eróziója a kompakt által . A Boole Matheron modell Chooth-kapacitással (vagy a kiegészítő funkcióval) történő teszteléséhez elegendő megbecsülni egy vagy több kompaktcsalád erodált tartalmát . Minden családot a homotetikus kompaktok halmaza határoz meg. A Boole Matheron modellt a Poisson-sűrűség és az elsődleges szemcse fogja meghatározni, amelyet egy forma és egy méreteloszlás jellemez.
Ha az elsődleges gabona konvex és egyszerű geometriájú, a Boole-modell Matheron lesz kiszámítható által sztereológiai paraméterei átlagos szemcseméret : . Gömbszemcsék esetében a sztereológiai paraméterek a részecskeméret-eloszlás 3., 2. és 1. pillanatától számíthatók . Valójában vannak kapcsolataink:
Végül, mivel a Boole Matheron modellek uniója mindig Boole Matheron modell, számos megoldás áll rendelkezésre egy valós szerkezet modellezésének megközelítéséhez.
Néhány tömörítés különösen érdekes egy Boole Matheron modell teszteléséhez. Ezek az egyenlő oldalú háromszög csúcsaival meghatározott pontok , szegmensek , az r méretű hatszögek , a kétpont és egyes modellek esetében a pontok hármasa . A konvex tömörítéseknél és a kiegészítő halmaz tartalmának meghívásával a következő összefüggések vannak:
A bipont esetében a kovariancia helyett a kovariogram geometriai középértékét használjuk . A kovariogram a kovarianciához kapcsolódik a következő kifejezéssel:
A halszemek esetében:
Ha van gömbszemcsénk, a geometriai kovariogram az eloszlás függvénye. Az elsődleges gabona maximális méretének megadásával:
A lehullott levélminta szekvenciális logikai séma. A modell egyfázisú változata Jeulin-nak köszönhető. A felépítés a következő. Az elsődleges szemcséket Poisson-sűrűségű folyamat generálja . A logikai sémától eltérően a szemcsék átfedhetik egymást. Az idősebbek eltűnhetnek az újabbak alatt. A folyamat t idő után leállítható. Ha az adathordozó nincs teljesen lefedve, akkor a folyamat kissé logikai sémának tűnik. Stacionáriusig is folytathatjuk. Ezután a partíció teljesen lefedi a támaszt.
A „kétfázisú elhalt levél” modell esetében az 1. és 2. fázis elsődleges szemcséi egymás után jelennek meg a megfelelő sűrűséggel és . A folyamatot stacionárius állapotig ismételjük. Kétfázisú szerkezet marad, ahol a két fázis egymásba ágyazódik.
Kétfázisú lehullott levélmodell felépítése kék és sárga korongokkal
Kétfázisú lehullott levélmodell elkészítése kék és sárga korongokkal
Ezek a modellek végtelenül oszthatók, ezért egyenértékű modelleket generálnak az alterekben. A kiszámíthatóság nem olyan erős, mint a logikai séma esetében. A Choquet kapacitások csak a h-tól távoli bi pontra és a h-tól távoli pontok hármasára számíthatók . A bi pont tesztelésekor az alábbiak által definiált függvényt használjuk :
a tartalmát az 1. fázis és , hogy a 2. fázis és
Szemléltetésképpen néhány megvalósítást mutatunk be kör alakú lemezekkel vagy Poisson-sokszögekkel, mint elsődleges szemcsékkel.
Kétfázisú lehullott levélminta kék és sárga korongokkal
Kétfázisú lehullott levél minta kék és sárga halszemekkel
A többfázisú Poisson-partíció felépítéséhez egyfázisú partíciót kell felépítenünk, és véletlenszerűen hozzá kell rendelnünk az osztályokat egy adott fázishoz. A modell paraméterei (Miles) az egyes fázisok tartalma és a Poisson partíciót jellemzik. A kétfázisú Poisson partíció esetében az egyfázisú rendszer tulajdonságai megmaradnak.
Az analitikai törvények ismertek , és
Boole Matheron vagy holt levél modellben az elsődleges szemcsék átfedhetnek. A Stienen-modell felépítéséhez mindig egy pontsűrűségű Poisson-folyamattal indulunk . De minden pontot felvált a legnagyobb gömb, amelyet a megfelelő Voronoi cella tartalmaz. Ilyen körülmények között a gömbök nem fedik egymást, hanem megérinthetik egymást (bal oldali ábra). A gömbök méretének egy tényezővel történő csökkentésével általánosították .
Stienen modell alfa = 1 (piros) és a hozzá tartozó Voronoi partíció (kék szegély)
Stienen modell alfa <1 és a hozzá tartozó Voronoi partícióval (kék szegély)
A kezdeti modell ( ) esetében a gömbök tartalma állandó, mivel:
Ezenkívül a gömbök eloszlása ismert, mivel közvetlenül kapcsolódik a Poisson-folyamat legközelebbi szomszédjainak távolságainak eloszlásához. Valójában:
A gömbök ugyanis már nem érintkeznek (14. ábra). Számos integrációval kiszámítható egy pontpár korrelációs függvénye az r távolság függvényében. Végül ehhez a modellhez csak a kovariancia komplex kifejezése van.