Egységkezelő

A funkcionális elemzés , egy egységet üzemeltető egy lineáris operátor U egy Hilbert-tér olyan, hogy

U * U = UU * = I

ahol U * a segédje a U és I az identitás operátor . Ez a tulajdonság megfelel:

U egy sűrű kép alkalmazás és
U megőrzi a dot termék ⟨,⟩. Más szóval, az összes vektor x és y a Hilbert-tér, ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ (ami azt jelenti, hogy az U jelentése lineáris ).

Szerint a polarizáció azonosság , akkor cserélje „ U megőrzi a skalár termék” a „ U megőrzi a norma”, így a „ U egy isometry , amely javítások 0”.

Az a tény, hogy az U jelentése izometria biztosítja azt, hogy injektív , és hogy a kép teljes és ezért zárt (sűrűség), amely U jelentése szürjektıv .

Az U −1 = U * reciprok bijekció szintén egység operátor.

Következésképpen az egységes operátorok a Hilbert-tér izomorfizmusaként jelennek meg , vagyis megőrzik annak algebrai és metrikus szerkezetét .

Példák

Az identitásfüggvény triviális módon egységes operátor.
A vektortér C a komplex számok , a szorzás egy komplex szám modulus 1 (azaz számos formájában e i θ a θ ∈ R ) egy egységet üzemeltető. A θ modulo 2π értéke nem befolyásolja a szorzás eredményét, ezért a C egység operátorait egy kör paraméterezi. A megfelelő csoportot , amelynek halmaza az egység kör , U (1) jelöli.
Általánosabban véve az egységes mátrixok nagyon pontosan a véges dimenziójú Hilbert-terek egységes operátorai; következésképpen az egységes operátor fogalma általánosítja az egységes mátrix fogalmát. Az ortogonális mátrixok az egységes mátrixok speciális esete, amelyekre az összes együttható valós. Ők az R n egységes operátorai .
A Fourier operátor (vagyis a Fourier transzformációt végrehajtó operátor ) egység operátor (megfelelő normalizálással). Ez Parseval tételének következménye .

Az egység operátor spektrumát az egység kör tartalmazza. Más szavakkal, a spektrum bármely λ komplex számához | λ | = 1. Ez a spektrális tétel következménye a normál operátorok esetében .