A matematika , egy érdekében abban az értelemben, az elmélet a gyűrűk egy al-gyűrű O egy gyűrű Egy olyan, hogy
Az utolsó két feltétel átlagos qu'additivement, O jelentése szabad Abel-csoport által generált egy bázissal a ℚ- vektortérnek A .
Általánosabban, ha A egy algebra egy mezőt K , és R egy gyűrű szerepel K , egy R -rendelési az A egy al-gyűrű A , amely egy teljes R -lattice (azaz, amely kielégíti feltételeket a 2. és 3. ℤ és ℚ helyébe R és K lép .
Íme néhány példa az A algebra R- sorrendjeire :
Amikor az algebra A nem kommutatív , a fogalom érdekében továbbra is fontos, de a jelenség különböző. Például, annak érdekében, a (a) Hurwitz kvaterniócsoport , amely egy maximális annak érdekében, algebra ℚ [ℍ] a quaternions racionális koordinátákat, tartalmaz szigorúan gyűrű ℤ [ℍ] quaternions egész koordinátákkal. Rendszerint vannak maximális megrendelések, de nem maximális megrendelések .
Alapvető tulajdonság, hogy az R- rend minden eleme integrált az R-hez . Amikor a szerves bezárása S az R az A jelentése egy R -rendelési, ebből következik, hogy S az R -rendelési maximális A . De ez nem mindig így van: S nem biztos, hogy gyűrű, és még akkor is, ha igen (ami akkor van, ha A kommutatív), akkor nem lehet R- hálózat.
A prototípus például a algebrai számelmélet a Dedekind , ahol A jelentése egy mező számok K és O jelentése a gyűrű O K annak egész számok . Ez a sorrend maximális, de tartalmaz alrendeléseket, ha K szigorúan contains-t tartalmaz. Például, ha K a Gauss racionálisok ℚ ( i ) mezője , O K a Gauss egész számok ℤ [ i ] gyűrűje, és tartalmazza többek között a ℤ + 2i sub alrendet.
Ahhoz, hogy bármely (teljes) hálózati M a K társítjuk a sorrendben { k ∈ K | kM ⊂ M }. Két hálózatok K azt mondják, hogy ekvivalens, ha transzformáljuk egymástól egy homothety arányú tartozó K (vagy ℚ szigorú ekvivalencia). Bármelyik sorrend egy rács (maga) rendje, és két egyenértékű rács azonos sorrendű.
A maximális megrendelések kérdése a helyi szervek szintjén vizsgálható . Ezt a technikát alkalmazzák az algebrai számelméletben és a moduláris ábrázoláselméletben (en) .