Körülíró sokszög

Az euklideszi geometriában a körülhatároló sokszög (vagy tangens sokszög ) egy konvex sokszög, amely egy beírt kört , azaz a sokszög mindkét oldalát érintő kört tartalmaz . A körülhatároló sokszög kettős sokszöge ciklikus sokszög , amelynek körülhatárolt kör halad át minden csúcsán.

A legegyszerűbb példák a háromszögek és az összes szabályos sokszög. Az érintő sokszögek egy speciális csoportja az érintő négyszögek , például a gyémántok és a sárkányok .

Jellemzések

Egy konvex sokszögnek akkor és csak akkor van beírt köre, ha szögeinek összes felezője egyidejű. Ez a pont akkor a felírt központ közepe.

Létezik egy körülhatároló sokszög, amelynek n oldalának megfelelő hosszúságú a 1 , ..., a n van, és csak akkor, ha a lineáris egyenletrendszer

x1+x2=nál nél1,x2+x3=nál nél2,...,xnem+x1=nál nélnem{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, \ quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, \ quad \ ldots, \ quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}

rendelkezik valós számok megoldásával ( x 1 , ..., x n ). Ha egy ilyen megoldás létezik, akkor X 1 , ..., x n a tangens hossza a sokszög (a hosszak közötti a sokszög csúcsai és a érintési pontok a kör).

Egyediség

A páratlan számú n oldalú sokszögek esetében a létfeltételt kielégítő minden halmaz ( a 1 , ..., a n ) esetében a megfelelő sokszög egyedi. A páros oldalú sokszögeknél végtelen sok van belőlük. Észrevehetjük például, hogy azoknak a négyszögeknek ( n = 4), amelyeknek az összes oldala egyenlő, egy adott kör számára végtelen tangens gyémánt létezik.

A kör sugara

Ha a n oldalán a körülölelő sokszög által adott egy 1 , ..., a n , a sugara a beírt kör egyenlő

r=Ks=2K∑én=1nemnál nélén{\ displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {2K} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}

a K a terület a sokszög és s annak félig kerülete. Mivel bármely háromszög körülírhatatlan, ez a képlet bármely háromszögre vonatkozik.

Egyéb tulajdonságok

• A páratlan oldalszámú érintő sokszög esetében az összes oldala akkor és csak akkor egyenlő , ha az összes szöge egyenlő , és ezért a sokszög szabályos. A páros oldalú érintő sokszög minden oldala akkor és csak akkor egyenlő, ha a váltakozó szögek egyenlőek (vagy az A , C , E , ... szögek egyenlőek, és a B , D , F , ... is).
• Páros számú oldalú érintő sokszögben ( n = 2 p ) a felváltva vett oldalak hossza egyenlő, azaz

∑k=1onál nél2k=∑k=1onál nél2k-1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k-1}}

• Olyan sokszög esetében, amelynek oldalhosszai sorrendben vannak megadva, és a csúcsszögei sorrendben vannak megadva, a körülhatároló sokszögnek lesz a legkisebb területe.
• A körülhatároló sokszög súlypontja, határpontjainak izobarycentere és a beírt kör közepe egybe vannak állítva a sokszög súlypontjával a másik kettő között, és kétszer olyan messzire, mint a beírt kör közepe, mint határpontjainak izobarycenterétől.

Különleges esetek

Érintõ háromszög

Mivel minden háromszögnek van beírt köre, egy háromszöget egy referenciaháromszög tangens háromszögének nevezünk, ha a körülhatároló háromszög érintési pontjai egyben a referenciaháromszög csúcsai is. A referenciaháromszög körülírt köréből ezután az érintő háromszögbe beírt kör lesz.

Körülhatároló négyszög

Körülhatárolt hatszög

Az ABCDEF körülírt hatszögben az AD , BE és CF három átló egyidejű; ez Brianchon-tétel sajátos esete .

Lásd is

• Ciklikus sokszög

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivenni a Wikipedia cikket angolul című „  érintőleges poligon  ” ( lásd a szerzők listáját ) .

1. (in) Owen Byer, Felix Lazebnik és Deirdre Smeltzer, módszerei euklideszi geometria , Association of America Matematikai,2010, 77  p..
2. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium , Springer, 2006, p. 561.
3. Albrecht Hess : „  Az érintőleges négyszögek ösztönzőit tartalmazó körön  ”, Forum Geometricorum , vol.  14,2014, P.  389–396 ( online olvasás ).
4. Claudi Alsina és Roger Nelsen, a matematika ikonjai. Húsz kulcsfontosságú kép feltárása , Amerikai Matematikai Egyesület,2011, 125  p..
5. Michael De Villiers, "  egyenlő szögű gyűrűs és egyenlő oldalú körülírt sokszögek  ", Matematikai Közlöny , n o  95,2011. március, P.  102–107.
6. Tom M. Apostol és Mamikon A. Mnatsakanian , "  Köröket körülvevő figurák  ", American Mathematical Monthly ,2004. december, P.  853–863 ( DOI  10.2307 / 4145094 , online olvasás , hozzáférés : 2016. április 6. )