Legendre polinom

A matematikában és az elméleti fizikában a Legendre-polinomok jelentik az ortogonális polinomok sorozatának legegyszerűbb példáját . Ezek olyan megoldások polinom $P n ( x )$ a differenciálegyenlet a Legendre :

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ balra [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} P_ {n} (x) \ jobb] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0}

az adott esetben, amikor a paraméter $n$ egy egész szám . A legendás polinomokat csak $x \in [-1; 1],$ mivel az $x = \pm 1$ pontok ennek a differenciálegyenletnek a szabályos egyespontjai.

Ezek ortogonális polinomok számos alkalmazása mind a matematikában, például a bomlás egy sor funkció Legendre polinomok, és a fizika, ahol a Legendre egyenlet jelenik alatt természetes a felbontás a Laplace egyenlet vagy Helmholtz a gömbi koordináták .

Az ekvivalens definíció elvontabb de fogalmilag érdekes, hogy fontolja meg, hogy a Legendre polinomok a eigenfunctions a endomorphism definiált szerint: ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ balra [(1-x ^ {2 }) {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} x}} \ jobbra}}

a sajátértékhez . ${\ displaystyle -n (n + 1), \ n \ in \ mathbb {N}}$

A Legendre polinomok alkotják a Jacobi $P$ polinomok speciális esetét $( α , β ) n$ amelyeknél az $α$ és $β$ paraméterek nulla: $P n ( x ) = P (0,0) n ( x )$ .

Általános meghatározások és tulajdonságok

A definíció, mint a Legendre-egyenlet megoldása

Legendre egyenletét hívjuk az egyenletnek:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ balra [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x}} \ jobbra] + \ alfa (\ alfa +1) \, y = 0}

általában . Erre a differenciálegyenletre egész sorozat formájában lehet megoldásokat keresni , például a Frobenius módszerrel . Mivel a differenciálegyenlet szabályos egyes számpontok (egyszerű pólusok) esetében elfogadja az $x$ $= \pm 1$ értékeket , ez a sorozat csak $|$ $x$ $|$ $<1$ . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$

Abban a konkrét esetben, amikor $α = n$ természetes egész szám, olyan megoldásokat lehet kapni, amelyek az $x = \pm 1$ pontokban szabályosak , és amelyeknél a sorozat az n fok végén leáll , vagyis polinomok formájában.

Következésképpen a Legendre polinom $P n$ (minden természetes szám $n$ , és az $x \in [-1; +1]$ ) ennélfogva megoldást a differenciálegyenlet:

{\ displaystyle {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ balra [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P_ {n } (x)} {{\ textrm {d}} x}} \ right] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0, \ qquad P_ {n} (1) = 1. }

Ez az egyenlet természetesen kapcsolódik a gömb koordinátákban írt Laplace $Δ f = 0$ egyenlethez , amely különösen az elektrosztatikában fordul elő . Valójában ha a megoldást, hogy nem függ az azimut szöge $φ$ formájában egy termék $F$ $($ $R$ $,$ $θ$ $) =$ $A$ $($ $R$ $)$ $B$ $($ $θ$ $)$ két funkcióit egy egyetlen változó, az egyenlet által ellenőrzött $B$ így nyert formája:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} bal (\ sin \ theta \ , {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} \ theta}} \ jobbra + n (n + 1) \, B = 0}

ahol $n ( n + 1)$ az elválasztási állandó. Az $x = cos θ$ változó változása lehetővé teszi annak ellenőrzését, hogy $B$ követi-e Legendre egyenletét. Az egyetlen fizikailag elfogadható megoldás, vagyis amely nem tér el egymástól $x \to \pm 1-re,$ akkor azok, amelyekben $n$ egész szám, tehát a Legendre-polinom.

Demonstráció

Valóban, gömb koordinátákban $( r , θ , φ )$ a Laplace-egyenletet írjuk:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}} \ bal (r ^ {2} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges r }} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ részben} {\ részleges \ theta}} \ balra (\ sin \ theta {\ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta}} \ jobbra) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ részleges ^ {2} f} {\ részleges \ varphi ^ {2}}} = 0}

Abban az esetben, ha a probléma, hogy az oldat nem függ az azimut szöge $φ$ , és így keres megoldást módszerével szétválasztása változók, az a forma $F ( R , θ ) = A ( R ) B ( θ )$ helyettesítéssel jön:

{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ bal (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ jobbra) B ( \ theta) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ balra (\ sin \ theta {\ frac {dB} {d \ theta}} \ jobbra) A (r) = 0}

vagy tagot tagonként elosztva az $A ( r ) B ( θ ) szorzattal$ :

{\ displaystyle {\ frac {1} {A (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ bal (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ jobbra) = - {\ frac {1} {B (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ balra (\ sin \ theta {\ frac { dB} {d \ theta}} \ jobbra)}

Mivel egyenlőséggel kell rendelkeznünk a két tag között, két különböző változótól függően, az utóbbiak összes lehetséges értékéhez, mindegyiknek egyenlőnek kell lennie egy állandóval, amelyet elválasztási állandónak nevezünk, amelyet meg lehet írni anélkül, hogy az $α ( α + 1) formában$ az $α$ real valósulna meg . Az $x = cos θ$ változó változása lehetővé teszi, hogy a második tagból származó egyenletet Legendre-egyenlet formájában tegyük fel. Azonban a fizika keresünk megoldásokat meghatározott összes lehetséges értékek a szög $θ$ , azaz valójában szabályos $x = \pm 1$ , tehát a $α = n$ , n egész szám, a szögletes része a Laplace-egyenlet tehát jól látható formában.

A definíció mint egy endomorfizmus sajátfüggvénye

Egy még absztrakt módon, lehetőség van arra, hogy meghatározza a Legendre polinomok $P n$ , mint a sajátfüggvények a sajátértékek $- n ( n + 1)$ , a $n$ egész szám, a endomorphism definiált : $\ mathbb {R} [X]$

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ balra [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}

Ez az elvontabb meghatározás különösen a Legendre-polinomok ortogonalitási tulajdonságainak bemutatása szempontjából érdekes.

Generátor funkció

Ezt a polinom-szekvenciát generátor-sorozata alapján is meghatározhatjuk :

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xz + z ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) \, z ^ {nem}}

Ez a kifejezés különösen a fizikában fordul elő, például az elektrosztatikus vagy gravitációs potenciál nagy távolságban történő fejlődésében (multipoláris fejlődés).

Ha figyelembe vesszük, hogy $z$ általában összetett, akkor a Laurent-sorozat együtthatóinak kiszámítása a következőket adja:

{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ ken (1-2xz + z ^ {2}) ^ {- 1/2} \, z ^ {- n-1} \, \ mathrm {d} z}

ahol a körvonal veszi körül az eredetet és az óramutató járásával ellentétes irányba kerül.

Ezzel a generátorfüggvénnyel meg lehet határozni a Legendre polinomokat, például a tágulás együtthatóit.

Egyéb meghatározások

Bonnet megismétlődésének képlete

Ez a képlet gyorsan lehetővé teszi számunkra, hogy a kifejezés az Legendre polinom rend $( n + 1)$ azoktól a megrendelések $n$ és $( n - 1)$ .

Bármely $n \geq 1$ egész szám $esetén$ :

{\ displaystyle (n + 1) \, P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) \, x \, P_ {n} (x) -n \, P_ {n-1} (x) }

ahol $P 0 ( x ) = 1$ és $P 1 ( x ) = x$ . Könnyen kimutatható a generátor funkcióból.

Demonstráció

Azáltal, hogy a $t$ változó tekintetében meghatározzuk a Legendre polinomok definícióját a generátor függvényéből, az átrendeződés után következik:

{\ displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = (1-2xt + t ^ {2}) \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1}.}

Újra felhasználva jön ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n }}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} xP_ {n} (x) t ^ {n} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n + 1} = \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n} -2 \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) xP_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} + \ összeg _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2}.}

A $t$ azonos teljesítményű kifejezések együtthatóinak azonosításával ezután következik:

az $n = 0$ , akár azáltal, hogy a normalizáció állapotban , ez $a P$ $1$ $($ $X$ $) =$ $x$ ; ${\ displaystyle xP_ {0} (x) = P_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle P_ {0} (x) = 1, \ forall x \ in [-1,1]}$
az $n = 1$ , akár ugyanabban az állapotban Szabványügyi mint fent ; ${\ displaystyle 3xP_ {1} (x) -P_ {0} (x) = 2P_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}$
általában $n \geq 1 esetén$ , amely megadja az előző ismétlődési képletet. ${\ displaystyle (2n + 1) xP_ {n} (x) = (n + 1) P_ {n + 1} (x) + nP_ {n-1} (x)}$

Rodrigues Formula

A $P 0 ( x ) = 1$ normalizálási feltételként a $P n ( x )$ polinomot Rodrigues-képlettel fejezhetjük ki:

{\ displaystyle P_ {n} (x) = \ balra ({\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ jobbra) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \! \ balra [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ jobbra}}

A definíciók összegeként

Ezt a polinomot kétféleképpen definiáljuk összegként:

P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{E (n / 2)}} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x ^ {{n-2k}}

(következtetünk ) $P _ {{2n}} (0) = {\ frac {1} {2 ^ {{2n}}}} (- 1) ^ {n} {\ binom {2n} {n}} \,$

P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} {\ binom {n} {k} } ^ {2} (x-1) ^ {{nk}} (x + 1) ^ {{k}}

ahol használtuk:

{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}

Néhány polinom

Az első tizenegy polinom a következő:

$P _ {{0}} (x) = 1 \,$
$P _ {{1}} (x) = x \,$
$P _ {{2}} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {{2}} - 1) \,$
$P _ {{3}} (x) = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {{3}} - 3x) \,$
$P _ {{4}} (x) = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {{4}} - 30x ^ {{2}} + 3) \,$
$P _ {{5}} (x) = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {{5}} - 70x ^ {{3}} + 15x) \,$
$P _ {{6}} (x) = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {{6}} - 315x ^ {{4}} + 105x ^ {{2}} - 5) \,$
$P _ {{7}} (x) = {\ frac {1} {16}} (429x ^ {{7}} - 693x ^ {{5}} + 315x ^ {{3}} - 35x) \,$
$P _ {{8}} (x) = {\ frac {1} {128}} (6435x ^ {{8}} - 12012x ^ {{6}} + 6930x ^ {{4}} - 1260x ^ {{ 2}} + 35) \,$
$P _ {{9}} (x) = {\ frac {1} {128}} (12155x ^ {{9}} - 25740x ^ {{7}} + 18018x ^ {{5}} - 4620x ^ {{ 3}} + 315x) \,$
$P _ {{10}} (x) = {\ frac {1} {256}} (46189x ^ {{10}} - 109395x ^ {{8}} + 90090x ^ {{6}} - 30030x ^ {{ 4}} + 3465x ^ {{2}} - 63) \,$

Tulajdonságok

Fokozat

A polinom $P n$ a fokszáma n .

Alapján

A család lépcsőzetes fokú polinomok családja, ezért a vektortér alapja . $(P_ {n}) _ {{n \ leq N}}$ $\ mathbb {R} _ {N} [X]$

Paritás

A Legendre polinomok követik az n paritását . Kifejezhetjük ezt a tulajdonságot:

P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x). \,

(különösen, és ). $P_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}$ $P _ {{2n + 1}} (0) = 0$

Ortogonalitás

A Legendre polinomok fontos tulajdonsága ortogonalitásuk . Megmutatható minden $m , n$ egész szám esetében, hogy:

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {2 \ felett {2n + 1}} \ delta _ {mn}}

Ezt az összefüggést úgy lehet értelmezni, hogy két függvény dot-szorzatát vezetjük be , amelyet a két függvény szorzatának integráljából határozunk meg korlátozott időközönként:

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}

ahol $W ( x )$ -t „súlyfüggvénynek” nevezzük, $[ a , b ]$ a két függvény ortogonalitásának intervalluma, amely végtelen lehet az integrál konvergenciájának függvényében.

Legendre polinomok esetén az ortogonalitási intervallum [−1, 1], a súlyfüggvény pedig egyszerűen az 1 érték állandó függvénye, ezért lehet írni: ezek a polinomok ortogonálisak a skaláris szorzathoz , amelyet a kapcsolat: $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ $\ mathbb {R} [X]$

{\ displaystyle \ langle P_ {m}, P_ {n} \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {2 \ több mint {2n + 1}} \ delta _ {mn}}

. Demonstráció

A nagyon meghatározása $P n$ mutatja, hogy ez egy sajátvektor a sajátérték $- n ( n + 1)$ a endomorphism:

{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ to u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ balra [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}

Ez az endomorfizmus azonban szimmetrikus az előző skaláris szorzattal szemben, mivel két egymást követő rész integrációjának végrehajtásával jön létre:

{\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {R} [X], \ quad \ langle u (P), Q \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} u (P) (x ) Q (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P '(x) (1-x ^ {2}) Q' (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ balra ((1-x ^ {2 }) Q '(x) \ right) \ mathrm {d} x = \ langle P, u (Q) \ rangle}

Mivel külön sajátértékekkel társított sajátvektorok, a Legendre polinomok családja ortogonális.

Sőt, mivel ez a bázisa , megvan , vagyis: $(P_ {n}) _ {{n \ leq N}}$ $\ mathbb {R} _ {N} [X]$ $P _ {{N + 1}} \ in (\ mathbb {R} _ {N} [X]) ^ {\ bot}$

\ forall Q \ in \ mathbb {R} _ {N} [X], \ int _ {{- 1}} ^ {{1}} P _ {{N + 1}} (x) Q (x) \ , {\ mathrm {d}} x = 0

Alapértelmezett

A norma négyzete L 2-ben ([-1,1]):

\ | P_ {n} \ | ^ {2} = {\ frac {2} {2n + 1}}.

Valójában minden $n > 1$ esetén megállapíthatjuk a kapcsolatot

P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} = (2n + 1) P_ {n}, \,

amiből következtetni (segítségével, hogy minden $K$ , $P k - 1 '$ a fokszáma $k - 2 < k$ tehát merőleges $a P k$ , és elvégzésével integrálás ):

\ langle P_ {n}, (2n + 1) P_ {n} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} - \ langle P '_ {n}, P _ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} .

Mivel $P n P n + 1$ páratlan és minden $k$ esetén $P k (1) = 1$ , így a $(2 n + 1) -re$ kerülünk $||$ $P$ $n$ $||$ $2$ $= 2$ .

Összeadási tétel

Ha $0 \leq ψ 1 <π$ , $0 \leq ψ 2 <π$ , $ψ 1 + ψ 1 <π$ és $ϕ$ bármilyen valós, akkor

P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ összeg \ határok _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi,

ami egyenértékű

P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ összeg \ korlátok _ {{m = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (k- m + 1)} {\ Gamma (k + m + 1)}} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ { 2}) \ cos m \ phi.

Nekünk is van

Q_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ összeg \ korlátok _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi

feltételezve, hogy $0 \leq ψ 1 < ψ 2$ .

Legendre polinomok soros lebontása

Holomorf funkció bomlása

Bármely $f$ függvény , holomorf az ellipszis belsejében -1 és +1 fókusszal, sorozatként írható, amely egységesen konvergál az ellipszis belsejében lévő bármelyik kompaktumra:

f (z) = \ összeg _ {{n = 0}} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} P_ {n} (z)

val vel $\ forall n \ in {\ mathbb {N}}, \ lambda _ {n} \ in {\ mathbb {C}}.$

Bontásával Lipschitzian funkció

Normájával jelöljük a $P$ $n$ polinom hányadosát . ${\ tilde {P_ {n}}}$

Legyen $f$ folytonos térkép a $[-1; 1]$ . Minden természetes $számra$ mi pózolunk

{\ displaystyle c_ {n} (f) = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) {\ tilde {P}} _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x,}

Ezután a szekvencia $( c n ( f ))$ van egy summable négyzet , és lehetővé teszi, hogy tisztázni a merőleges vetülete a $F$ on : $\ mathbb {R} _ {n} [X]$

S_ {n} f = \ összeg _ {{k = 0}} ^ {n} c_ {k} (f) {\ tilde P} _ {k}.

Ezenkívül:

${\ displaystyle \ forall x \ itt: [-1,1], \; S_ {n} f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) f ( y) \, \ mathrm {d} y}$ , a maggal $K_ {n} (x, \; y) = {\ frac {n + 1} {2}} {\ frac {{\ tilde P} _ {{n + 1}} (x) {\ tilde P} _ {n} (y) - {\ tilde P} _ {{n + 1}} (y) {\ tilde P} _ {n} (x)} {xy}};$
${\ displaystyle S_ {n} f (x) -f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) (f (y) -f (x)) \, \ mathrm {d} y.}$

Tegyük fel továbbá, hogy $f$ egy Lipschitz-függvény . Ezután megvan a további tulajdonság:

\ forall x \ in] -1,1 [, \; \ lim _ {{n \ to \ infty}} S_ {n} f (x) = f (x).

más szóval az egyenlőség

f = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (f) {\ tilde P} _ {n}

nemcsak az L 2, hanem a $] -1$ egyszerű konvergenciája szempontjából is igaz $; 1 [$ .

Egy funkció digitális integrálása

A függvény integráljának numerikus kiszámításához a $[-1; 1]$ , az egyik legnépszerűbb módszer a Legendre polinomok tulajdonságain alapuló Gauss-Legendre kvadrátum módszer . Ennek formája:

\ int _ {{- 1}} ^ {1} f (x) \, {\ mathrm {d}} x \ kb \ összeg _ {{i = 1}} ^ {n} w_ {i} f (x_ {én})

val vel:

$(x_ {i}) _ {{i \ leq n}}$ a Legendre $P$ polinom nullák $halmaza$
${\ displaystyle (w_ {i}) _ {i \ leq n}}$ a megfelelő súlyok: $w_ {i} = {\ frac {-2} {(n + 1) P '_ {{n}} (x_ {i}) P _ {{n + 1}} (x_ {i})}}$

Közelebbről, a $n-$ érdekében képlet egzakt bármely polinom foka $2 n - 1$ .

Fizikai alkalmazások

A legendás polinomok, akárcsak a Hermite vagy a Laguerre , a fizika vagy a numerikus számítás különféle ágaiban jelennek meg, mert lehetővé teszik a meghatározott integrálok kiszámítását anélkül, hogy analitikusan kellene értékelni őket, azzal a feltétellel, hogy a változó megfelelő változtatásával egy hely önmagát az integráció intervallumában [−1, 1].

A Legendre polinomok lehetővé teszik a típus függvényeinek sorozatos fejlesztését (ez a képlet közvetlenül a generáló függvényből vezethető le):

{\ frac {1} {\ balra | {\ mathbf {{\ vec {r}}}} - {\ mathbf {{\ vec {r}}}} ^ {\ prime} \ right |}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {{\ prime 2}} - 2rr '\ cos \ gamma}}}} = \ összeg _ {{\ ell = 0}} ^ {{ \ infty}} {\ frac {r ^ {{\ prime \ ell}}} {r ^ {{\ ell +1}}}}} P _ {{\ ell}} (\ cos \ gamma), {\ text {with}} r> r '

ahol R és R ' jelentése a normák a vektorok és a , illetve, és az a szög között. Ilyen fejleményt alkalmaznak például az elektromos dipólus tanulmányozásakor, vagy általánosabban az elektromos vagy gravitációs tér kifejezésében, nagy távolságban a töltés vagy tömeg folyamatos eloszlásától (multipoláris fejlődés). ${\ mathbf {{\ vec {r}}}}$ ${\ mathbf {{\ vec {r}}}} ^ {\ prime}$ $\gamma$

A Legendre-polinomok a Laplace-egyenlet felbontásában is feltűnnek az elektromos V potenciálra egy töltésektől mentes régióban, gömb koordinátákban , axiális szimmetriát mutató probléma esetén ( V ekkor független ϕ-től ), a változók szétválasztásának módszere. Laplace egyenletének megoldása ekkor a következő: $\ nabla ^ {2} V ({\ mathbf {{\ vec {r}}}}) = 0$

\ Phi (r, \ theta) = \ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {{\ infty}} \ balra [A _ {\ ell} r ^ {\ ell} + B _ {\ ell} r ^ {{- (\ ell +1)}} \ jobbra] P _ {\ ell} (\ cos \ theta).

Megjegyzések és hivatkozások

Valójában a differenciálegyenlet kifejlesztésével formába tesszük , és . Következésképpen nyilvánvaló, hogy az $x$ $= 1$ és az $x$ $= -1 pont$ valóban az $f$ $($ $x$ $)$ és a $g$ $($ $x$ $)$ egyik rendű pólusát alkotja . ${\ displaystyle y '' - f (x) \, y '+ g (x) \, y = 0}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x} {1-x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle g (x) = {\ frac {n (n + 1)} {1-x ^ {2}}}}$
Murray R. Spiegel (en) , Fourier-elemzés és alkalmazás a határérték-problémákra: 205 megoldott gyakorlat , Schaum-sorozat ,1987, 200 p. ( ISBN 978-2-7042-1019-0 ) , fejezet. 7. („A Legendre funkciói és alkalmazásai”), p. 138-142.
Az általánosabb eset, amikor a változók szétválasztásával a Laplace-egyenlet $θ$ és $ϕ$ függvényében szögletes részének megoldásait $keressük,$ lehetővé teszi a kapcsolódó Legendre-polinomok bevezetését , amelyek szorosan kapcsolódnak a gömbös harmonikusokhoz .
A táblázatban az első öt összetétel megtalálható (en) Eric W. Weisstein , " Legendre-Gauss kvadratúra " , a mathworld

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

(in) IS Gradshteyn és IM Ryzhik, táblázat integrálok, sorozat, és a termékek (de) , Alan Jeffrey és Daniel Zwillinger (szerk.), Academic Press , 7 -én ed. 2007 ( ISBN 978-0-08047111-2 ) [ online olvasás ] és hibátlan
Georgette Nockere, digitális táblák Legendre polinomok , ARB , 8 th ed., 1949
Joseph Kampé de Fériet , A matematikai fizika funkciói , CNRS , 1957
Tárgy A CAPES 1989