A felhajtóerő az a szilárdság , amelyet egy teljes egészében vagy részben folyadékba ( folyadékba vagy gázba ) helyezett és egy gravitációs mezőnek kitett test valósít meg . Ez az erő abból adódik, hogy a folyadék nyomása növekszik mélységgel vagy magassággal (a gravitáció hatása a folyadékra, lásd a hidrosztatikai cikket ): a nyomás nagyobb egy elmerült tárgy alsó részén, mint annak felső részén. általában függőleges felfelé tolóerő. Ebből a lendületből határozzuk meg a test felhajtóerejét . Ezt a lökést először Archimédész tanulmányozta .
„Bármely testület folyadékba merítve végezzék nyugalmi, teljes mértékben nedvesíti, vagy átlépő szabad felülete, megy egy függőleges erő, irányított alulról felfelé és egyenlő (és szemben) a súlya a mennyiség a kiszorított folyadék. Ezt az erőt hívják Archimédész lökésének . A kiszorított folyadék tömegközéppontjára vonatkozik, amelyet tolóerőnek nevezünk . "
A tétel alkalmazásához az elmerült folyadéknak és az elmerült testnek nyugalomban kell lennie. Azt is lehetővé kell tenni, hogy az elmerült testet merülő folyadékkal helyettesítsék az egyensúly megszakítása nélkül, az ellenpélda egy vízzel töltött kád dugója: ha ezt vízzel helyettesítik, akkor egyértelmű, hogy a kád kiürül, és hogy a kád a folyadék ekkor már nincs nyugalomban. A tétel nem érvényes, mivel olyan esetben vagyunk, amikor a dugót nem teljesen nedvesíti a folyadék, és nem megy át a szabad felületén.
Amint az előző feltételeket betartják, egy egyenletes gravitációs mezőben az észlelt arkhimédészi tolóerőt a következő képlet adja meg:
P→NÁL NÉL=-mfg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A \,}} = - \, m _ {\ rm {f}} \, {\ vec {g}}} vagy:Abban a konkrét esetben, amikor a folyadék ρ sűrűsége is egyenletes, a következők vannak:
P→NÁL NÉL=-ρVg→{\ displaystyle {\ vec {P}} _ {\ rm {A}} = - \, \ rho \, V \, {\ vec {g}}} vagy:Ha figyelembe vesszük az erők intenzitását ( normáit ), akkor a társított vektorok normáinak P A és g figyelembevételével:
Az intenzitás P A az archimedesi tolóerő van kifejezve N , a sűrűség ρ a kg m -3 , a térfogata kiszorított folyadék V a m 3 , és a nehézségi gyorsulás g a m s -2 .
Vegyünk egy folyadékot nyugalomban. Gondolatban korlátozunk bármilyen formájú, bizonyos térfogatot ebben a folyadékban. Ez a térfogat is nyugalomban van: súlya ellenére ez a térfogat nem csökken. Ez tehát azt jelenti, hogy súlyát szigorúan ellensúlyozza egy ellentétes erő, amely a helyén tartja és a külső folyadékból származik. Most ezt a kötetet mindig gondolattal helyettesítjük bármely testtel. Mivel az az erő, amely a folyadékot egyensúlyban tartja, a térfogat felületére ható nyomóerő, feltételezhetjük, hogy ugyanez az erő továbbra is érvényes a víz alá merült testre: mindig ellentétes a kiszorított folyadék tömegével. Archimedes nyomása. Azt a tényt, hogy az erőterek megegyeznek a nyugalmi állapotban lévő homogén folyadékkal és a nyugalmi állapotban lévő folyadékba merülő test esetében, szilárdulási tételnek nevezzük.
Tegyük fel egy kockát a szélén egy van teljesen belemerül a folyékony, felső felülete vízszintes, és található mélységben z 1 > 0 (a pozitív irány az le). Jelölni fogjuk a növekvő z tengelye mentén irányított egységvektort (tehát lefelé irányulva).
Nyugalmi állapotban lévő, összenyomhatatlan folyadék esetén, amelyet egyenletes gravitációs mezőnek vetnek alá , a p abszolút nyomás z mélységben megéri:
vagy:Úgy véljük, egy folyadékoszlop, hasonló egy jobb járda változó magasságú Z , és amelynek bázis felülete állandó, és egyenlő a A. mélységben Z , a hidrosztatikus nyomás megfelel a norma P a tömeg , osztva a bázis egy az a folyékony oszlop: p ( z ) = P / a .
A folyadékoszlop tömegének kifejezése azonban:
vagy:Ezért a p ( z ) = P / A képlet alkalmazásával megkapjuk :
.Az abszolút nyomás tehát
.A szimmetria , a nyomást gyakorolt erők a négy oldalfelületeinek a kocka kioltják egymást kettesével.
A folyadék által a kocka felső felületén ( A = a 2 területű ) kifejtett erő felülről lefelé irányul, és megéri:
.Az erő irányított alulról a felső, által kifejtett folyadékot az alsó felületén (a terület A = a 2 ) a kocka, amely található a mélység z 2 = Z 1 + egy , érdemes:
.A nyomóerők eredője tehát megéri:
vagy:A kapott erő tehát meglehetősen egyenlő a kiszorított folyadék térfogatának ellentétével. Mivel ez az erő negatív, függőlegesen alulról felfelé irányul.
Lehetséges általánosítani az előző bemutatást bármilyen alakú kötetre. Elég, ha a térfogattal határolt felületet végtelennek tekintjük a végtelennek számító végtelen méretű d S elemeknek , amelyeket feltételezünk síknak, majd hozzáadjuk az integrálok számításával az összes felületi elemre kifejtett végtelen kis erőt .
Archimédész tételéből ki lehet következtetni a gradiens tételéből : tegyük fel, hogy egy nem meghatározott V térfogat , amelyet S zárt felület határol, teljes egészében a gravitációs térnek kitett ρ sűrűségű folyadékba merülve , nem feltétlenül egyenletes.
A p nyomás meghatározása szerint a térfogatra kifejtett nyomáserők eredménye:
vagy:A gradiens tétel, majd a hidrosztatika alaptörvénye alapján ez a kifejezés a következõvé válik:
amely ellentétes a kiszorított folyadék térfogatának tömegével.
Merítsük teljesen egy V térfogatú , m tömegû és ρ sûrûségû szilárd anyagot egyenletes sûrûségû ρ f folyadékba , majd engedjük el nyugalmi helyzetbõl. Kezdetben, a fordulatszám nulla, csak két erők hatnak a szilárd: a súlya F p (lefelé), és archimedesi tolóerő F a (felfelé).
F p = ρ V g F a = ρ f V g F p / F a = ρ / ρ fEbben az esetben a sűrűség aránya megegyezik a sűrűségével :
Abban a két esetben, amikor a szilárd anyag nincs egyensúlyban, a későbbi mozgását három erő határozza meg: súlya, az archimédészi tolóerő (a tömeggel szemben) és egy viszkózus F f súrlódási erő (szemben a sebességgel).
Szerint a Newton második törvénye a mozgás , akkor már csak:
F p - F a ± F f = m a (a pozitív irány lent van)ahol a a szilárd anyag gyorsulása.
Mivel a viszkózus súrlódási erő nem állandó, hanem a sebességgel növekszik, a gyorsulás fokozatosan csökken, így a szilárd anyag többé-kevésbé gyorsan eléri a sebességet, amikor az erők eredője nulla.
Tekintsünk egy szilárd V térfogatot és ρ S sűrűséget, amely a ρ L folyadéksűrűség felületén úszik . Ha a szilárd anyag lebeg, az azért van, mert súlyát kiegyensúlyozza Archimédész lendülete:
F a = F p .Az Archimédész-tolóerő (abszolút értékben) megegyezik a kiszorított folyadék térfogatának tömegével (megegyezik a V i térfogatával ), így írhatunk:
ρ L V i g = ρ S V g - (1).A víz alatti térfogat ezért megéri:
V i = ( ρ S / ρ L ) V - (2).Mivel V > V i , ebből következik, hogy ρ S < ρ L .
Alkalmazás egy jéghegy esetéreVegyünk egy tiszta jégdarabot 0 ° C-on , tengervízben lebegve . Legyen ρ S = 0,917 g / cm 3 és ρ L = 1,025 g / cm 3 (mi volna ρ L = 1,000 g / cm 3 a tiszta víz át 3,98 ° C-on ). A jelentésρ Sρ L(azaz a relatív sűrűség ) egyenlő 0,895, úgy, hogy a bemerített térfogata V i jelentése közel 90% -a teljes mennyiség V a jéghegy.
Egy jégkocka olvad egy pohárbanKönnyű ellenőrizni, hogy a tiszta vízen úszó tiszta jégdarab megolvadása a vízszint változása nélkül történik-e. Az elmerült jég térfogata valóban megfelel a jégkocka tömegének megegyezéséhez szükséges folyékony víz térfogatának ( 1. egyenlet ). Olvadással a jégkocka (a tömeg megőrzésével) pontosan ezt a mennyiségű vizet állítja elő, amely "eltömíti a szilárd jég eltűnése által hagyott lyukat". A vízszint változatlan marad. A szemközti ábrán a szaggatott vonalakkal körülhatárolt térfogat a bal oldali üvegben az elmerült jég, a jobb oldali üvegben pedig a jégkocka megolvadásával keletkező folyékony víz térfogata.
A következő számítást is elvégezhetjük: ha például egy 1 cm 3 -es és 0,917 g cm- 3 sűrűségű jégkockát veszünk figyelembe (amely ezért 0,917 g vizet tartalmaz), akkor a bemerített térfogat 0,917 cm 3 ( 2. egyenlet) ) (mint egy jéghegy, nagy része víz alatt van). Amikor a jégkocka megolvad, ez a 0,917 g víz, amelynek sűrűsége most 1 g · cm −3 lesz, pontosan azt a térfogatot foglalja el, amelyet a jégkocka elmerült része foglal el.
Minden úgy történik, mintha az arkhimédészi tolóerő a hajótest közepére , vagyis a kiszorított folyadék térfogatának súlypontjára vonatkozna.
Ez a tulajdonság fontos a számítás a stabilitás a tengeralattjáró a víz alatt, vagy egy Aerostat : Büntetőjogi látni ezeket a gépeket adja át, az szükséges, hogy a központ a hajótest fölött helyezkedik el a súlypont.
Egy hajó esetében viszont a hajótest közepe gyakran a súlypont alatt helyezkedik el, hogy elkerülje a túlzott kiegyenlítő pillanatokat. Ha azonban a hajó dőlése megváltozik ( gördül ), a hajótest közepe oldalirányban jobban mozog, mint a súlypont, ami olyan nyomatékot generál, amely hajlamos visszatérni az edény eredeti dőlésére. A stabilitást ezután a metacentrum helyzete biztosítja, amely a tolóerő variációinak alkalmazási pontja. Ennek a metacentrumnak a súlypont felett kell lennie.
Anekdotikusan észrevehetjük, hogy a tengeralattjáró-tervezőknek egyszerre kétféle egyensúlyt kell biztosítaniuk gépeik számára: az egyensúlyt a merülésben és a felszínen.
A lebegő testekről szóló értekezés , amelyben Archimédész meghatározza a folyadékok statikájának törvényeit - és a folyadékba merülő vagy rajta úszó szilárd testek egyensúlyának feltételeit - valószínűleg Archimedes művei közül a legismertebb, mert mindenki ne feledje a Vitruvius által közölt anekdotát , amely szerint Archimédész megérezte a hidrosztatika alapelvét fürdés közben:
Arkhimédész, a görög tudós, aki élt Syracuse , Szicíliában származó ie 287. AD a 212 BC. Kr. , Számos tudományos, elméleti vagy gyakorlati munkájáról ismert, akár matematikában, akár fizikában . Az úszó testekről szóló értekezés, amely szigorúan tanulmányozza egy test, szilárd vagy folyékony test bemerülését egy kisebb, egyenlő vagy nagyobb sűrűségű folyadékba , megalapozza a folyadékmechanika ágát , amelyet későbben " hidrosztatikusnak " neveznek . Ez a könyv a tétel nevét viselő, a tudós, aki teljes mértékben bizonyított, hogy a XVI th században.
A lebegő testekről szóló értekezés további javaslatokat tartalmaz Archimédész tolóerejével kapcsolatban:
Vitruvius jelentése szerint II. Hieron szirakúzi király (306–214) felkérte fiatal barátját és tudományos tanácsadóját, Archimedest (akkor 22 éves), hogy ellenőrizze, hogy egy aranykorona , amelyet Zeusznak ajánlott fel, teljesen arany volt-e. vagy ha a mester ezüstöt tett volna bele . Az ellenőrzés természetesen nem az volt, hogy károsítsa a koronát. Ennek alakja szintén túl bonyolult volt ahhoz, hogy kiszámíthassák a dísz térfogatát. Archimédész állítólag megtalálta a módját annak ellenőrzésére, hogy a korona valóban arany-e, miközben a nyilvános fürdőben volt, és megfigyelte, hogyan lebegnek benne a tárgyak. Akkor teljesen meztelenül ment volna ki az utcára, és azt kiáltotta: " Eureka !" » (Megtaláltam!), Azóta híressé vált formula.
Az a megfigyelés, hogy Arkhimédész tette a nyilvános fürdő az, hogy az azonos adott térfogatú, testületek nem azonos a súlya, azaz van egy másik tömege egységnyi térfogatú. Manapság a sűrűségről beszélünk . Az ezüst (sűrűsége 10 500 kg m −3 ) kevésbé sűrű, mint az arany (sűrűsége 19 300 kg m −3 ), ezért kisebb a sűrűsége: azonos tömeg eléréséhez nagyobb mennyiségű ezüst kell, mint az arany. Ha az iparos pénzt rejtett a király koronájába, Archimédész arra következtetett, hogy a koronának nagyobbnak kell lennie, mintha kizárólag aranyból készült volna. Így leleplezték az ékszerész megtévesztését.
Hieron király kérdésére válaszolva Archimédész tehát összehasonlítani tudta a korona által kiszorított vízmennyiséget és az azonos tömegű arany mennyiségét. Ha mindkettő azonos mennyiségű vizet mozgat, akkor a sűrűségük megegyezik, és megállapítható, hogy mindkettő ugyanabból a fémből készül. A kísérlet elvégzéséhez elképzelhető, hogy az arany tömegét egy peremig megtöltött (és a dolog jobb megfigyeléséhez kifolyóval ellátott) edénybe merítjük. Ezután egy bizonyos mennyiségű víz kiáramlik a tartályból (összegyűjthető annak mérésére). Ezután eltávolítjuk az aranyat, és kicseréljük a vizsgálandó koronára. Ha a korona teljesen arany, akkor a víz nem fog túlcsordulni. Másrészt, ha a sűrűsége alacsonyabb, ezért a térfogata nagyobb ugyanazon tömeg esetén, akkor további víz folyik túl.
A kiszorított víz mennyisége az ezüst arany arányától függ; mivel az arany körülbelül kétszer olyan sűrű, mint az ezüst, az arany 10 tömeg% -ának ezüsttel való helyettesítése a térfogat 10% -os növekedéséhez vezet. De az arany nagy sűrűsége miatt térfogata nagyon alacsony: 1 kg arany korona térfogata csak valamivel több, mint 50 cm 3, és ha az arany 10% -át ezüsttel helyettesítjük, csak körülbelül 4,34 cm különbség van 3 (a víz mennyisége egy teáskanálban)
A Vitruvius által így leírt módszernek két hátránya van. Az első az, hogy itt nem kerül játékba Archimedes elve. A második probléma az, hogy reális körülmények között az arany sűrűsége és a korona kis térfogata miatt a kiszorított víz mennyisége nagyon kicsi, és annak mérését zavarja a különböző műveletek során elvesző víz. Ezért valószínűtlen, hogy Archimédész érdemi következtetéseket vonhatott le egy ilyen tapasztalatból.
Reálisabb módszer a következő. Egyensúlyt egyensúlyozunk az egyik oldalon a koronával, a másik oldalon a tiszta arannyal, amelynek tömege egyenlő. Ezután a lemért tárgyak teljesen elmerülnek (a mérleg mérlegének hatásának leküzdése érdekében biztosíthatjuk, hogy szigorúan azonosak legyenek, vagy még jobb, ha eltávolítjuk őket, ha vékony huzallal helyettesítjük őket. ). Ha a korona nem tiszta arany, akkor valamivel nagyobb térfogatú, így valamivel nagyobb felfelé irányuló archimédészi erőt produkál, mint ugyanaz a tiszta arany tömeg, és az egyensúly kezdeti egyensúlya megszakad. Itt is kicsi a súlykülönbség; a fent elképzelt körülmények között 5 cm 3 víz, azaz 5 g tömegének felel meg . Ezért olyan egyensúlyra van szükségünk, amely képes egy ilyen variáció kimutatására, ami nehéz, de nem irreális.
Az eszközt valójában hidrosztatikai mérleg néven gyártották .
Az anekdotát olyan címek örökítik meg, mint a La Baignoire d'Archimède. Sven Ortoli és Nicolas Witkowski (1998) egy kis mitológiája a tudományról , vagy Henrik Abril (2012) Archimedes fürdője - Obériou költői antológiája .