A matematika , különösen az elmélet a csoportok , a szabad termék a két csoport a G és H jelentése egy új csoportot, jelöljük G * H , amely tartalmazza a G és H , mint al-csoportok , az által generált elemek ilyen alcsoportok , és ez a "legáltalánosabb" csoport, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.
Az ingyenes termék a melléktermék , vagyis "összeg" a csoportok kategóriájában , vagyis két morfizmus , G és H azonos K csoportba tartozó adata egyenértékű a G morfizmusával. * H a K .
Ugyanígy definiáljuk a csoportok családjának ( G i ) i∊I ingyenes termékét . Ha minden G i egyenlő ℤ -val , akkor szabad termékük az F I szabad csoport .
Ha G és H két csoport, akkor szabad G ∗ H termékük az a csoport ( az izomorfizmusig egyedülálló ), amelybe a G és H csoportokat injektáljuk ( i : G → G ∗ H és j : H → G ∗ H ) a következő univerzális tulajdonsággal :
Minden csoport K , minden morfizmusok g : G → K és H : H → K , létezik egy egyedülálló morfizmus f : G * H → K amely kiterjeszti mind g és h , azaz úgy, hogy f∘i = g és f∘ j = h .
Más szavakkal, az ingyenes termék a csoportok kategóriájában a társtermék (vagy összeg) , szemben a csoportok családjának közvetlen termékével , amely a kategóriaelmélet egyik példája egy termékre .
Ez a meghatározás kiterjed azzal, hogy a ( G, H ) csoportok bármelyik családjával helyettesítjük .
A G ∗ H egyediségét univerzális tulajdonsága biztosítja. Bemutassuk a létezését . Azt is feltételezhetjük , hogy a G és H jelentése diszjunkt , helyettük szükség esetén G × {1} és H × {2} (vö diszjunkt Union ).
Egy szó a G és H jelentése, majd egy hivatalos terméket s 1 s 2 ... s n , ahol minden egyes s i egy olyan eleme, G vagy H . Mi lehet csökkenteni egy ilyen szót ismétlésével a két művelet, amennyire csak lehetséges:
Bármely így redukált szó a G és a H elemeinek váltakozásával jön létre , például g 1 h 1 g 2 h 2 … g k h k (vagy ismét g 1 h 1 g 2 h 2 … h k -1 g k , vagy h 1 g 1 h 2 g 2 … h k g k , vagy végül h 1 g 1 h 2 g 2 … g k -1 h k ).
A G ∗ H szabad szorzat ezeknek a redukált szavaknak a halmaza, amely az összefűzés, majd a redukció működésével rendelkezik . (Be kell bizonyítanunk, hogy ez a művelet csoporttörvény. A semleges és a szimmetrikus létezését nagyon könnyen be lehet mutatni, de az asszociativitás kissé kevésbé nyilvánvaló. Ennek bemutatására az egyik módszer van der Waerden mestersége .)
Egyértelmű, hogy egy ingyenes termék mindig végtelen, kivéve természetesen a szabad termék egy csoport véges által triviális csoport .
Ha G és H jelentése által leírt generátorok és kapcsolatok
akkor a G ∗ H bemutatása :
Például :
Ahogy az ingyenes termék a csoportok kategóriájának összege, úgy az összevont szabad terméket, amely általánosítja, ebben a kategóriában összevont összegként definiáljuk .
Let G és H két csoport, és F a harmadik csoport, feltéve, morfizmusok φ : F → G és ψ : F → H . Tudjuk építeni a Beolvadó ingyenes termék G * F H A G és H a fenti F a szabad termék G * H által hányadost a kapcsolatok φ ( f ) = ψ ( f ). Egy kicsit több hivatalosan: G * F H a hányadosa a G * H a normális részcsoport generált (in) a φ ( f ) ψ ( f ) -1 , ha f bejárja F (nem megyünk, amíg hivatalossá kanonikus injekció a G és H értékeit G ∗ H-ba , amelyeket asszimilálunk a zárványokba).
Például az SL (2, ℤ) a 4. és 6. rendű két ciklikus csoport összevont szabad terméke a 2. rendű alcsoport fölött.
Meghatározhatjuk a szabad terméket olyan csoportoktól eltérő algebrai struktúrákhoz is, mint például az asszociatív algebrák (egy adott kommutatív gyűrűn ). A szabad valószínűségelméletben (de) a véletlen változók algebráinak ez az ingyenes terméke ugyanazt a szerepet tölti be, a szabad függetlenség (in) meghatározásában , mint a klasszikus valószínűségelméletben a tenzor szorzat (amely megfelel az alatta lévő mért terek szorzatának ), meghatározza a függetlenséget .
Az algebrai topológia , van Kampen tétel elkészíti (bizonyos hipotézisek összekapcsolódás által ívek ), hogy az alapvető csoport egy csokor két hegyes terek az ingyenes termék az alapvető csoportok és általánosabban, hogy az alapvető csoport egy találkozó a két nyitott egy ingyenes termék, amelyet alapvető csoportjaik egyesítettek.
Az elmélet Bass-Serre (en) , akkor látható, hogy bármely csoport, amelynek cselekvési kész stabilizátorok egy tengelyre lehet alakítva véges csoportok szabad amalgámozott termékeket és kiterjesztések HNN . Például, az intézkedés a moduláris csoport egy bizonyos tessallation a hiperbolikus sík lehetővé teszi, hogy kifejezzék ez a csoport formájában ℤ 4 * ℤ 2 ℤ 6 .