Teleszkópos összeg

Az elemzés során a teleszkópos összeg kifejezés informálisan kijelöl egy összeget, amelynek feltételei fokozatosan törlik egymást:

(nál nél1-nál nél0)+(nál nél2-nál nél1)+...+(nál nélnem-nál nélnem-1)=nál nélnem-nál nél0{\ displaystyle (a_ {1} -a_ {0}) + (a_ {2} -a_ {1}) + ... + (a_ {n} -a_ {n-1}) = a_ {n} - a_ {0}}

A megfogalmazás egy felhajtott távcső képéből származik.

Ezen egyszerűsítés végrehajtása során általában a "teleszkópos leegyszerűsítéssel" kifejezést használják.

Teleszkópos képlet és teleszkópos sorozatok

Ha egy számszerű sorrendben , a megfelelő teleszkópos sorozat az általános kifejezés sorozat . A teleszkópos képlet ezután beírjuk(nál nélnem){\ displaystyle (a_ {n})} nál nélnem+1-nál nélnem{\ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}}

∑k=0nem-1(nál nélk+1-nál nélk)=∑k=1nem(nál nélk-nál nélk-1)=nál nélnem-nál nél0.{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ bal (a_ {k + 1} -a_ {k} \ jobb) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ bal ( a_ {k} -a_ {k-1} \ jobbra) = a_ {n} -a_ {0}.}

A teleszkópos sorok konvergenciája tehát egyenértékű a szekvencia konvergenciájával . Σ(nál nélnem+1-nál nélnem){\ displaystyle \ Sigma (a_ {n + 1} -a_ {n})} (nál nélnem){\ displaystyle (a_ {n})}

Láthatjuk ezt a képletet, egy diszkrét változata a képlet az integráció . ∫nál nélbf′(x)dx=f(b)-f(nál nél){\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) dx = f (b) -f (a)}

Példák alkalmazásokra

• Talán a legismertebb példa a geometriai sorok képlete  : megvan

(1-x)∑k=0nemxk=(1-x)(1+x+x2+⋯+xnem)=(1-x)+(x-x2)+(x2-x3)+⋯+(xnem-xnem+1)=1-xnem+1{\ displaystyle {\ begin {aligned} (1-x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} & = (1-x) (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n}) \\ & = (1-x) + (xx ^ {2}) + (x ^ {2} -x ^ {3}) + \ dotsb + (x ^ {n} - x ^ {n + 1}) \\ & = 1-x ^ {n + 1} \ end {igazítva}}} vagy formailag (1-x)∑k=0nemxk=∑k=0nem(xk-xk+1)=1-xnem+1.{\ displaystyle (1-x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (x ^ {k} -x ^ {k + 1}) = 1-x ^ {n + 1}.}

• A képletek és nyert teleszkóp után írásban .∑k=1nemk×k!=(nem+1)!-1{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k \ szorzat k! = (n + 1)! - 1}∑k=1nemk(k+1)!=1-1(nem+1)!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {k} {(k + 1)!}} = 1 - {\ frac {1} {(n + 1)!}}}k=k+1-1{\ displaystyle k = k + 1-1}
• A figyelemre méltó kapcsolat teleszkópos úton érhető el.13+23+...+nem3=(1+2 ...+nem)2{\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + ... + n ^ {3} = (1 + 2 ... + n) ^ {2}}

Valóban, ha , akkor nál nélnem=(0+1+2+...+nem)2=nem2(nem+1)24{\ displaystyle a_ {n} = (0 + 1 + 2 + ... + n) ^ {2} = {\ frac {n ^ {2} (n + 1) ^ {2}} {4}}}

nál nélk-nál nélk-1=k2(k+1)2-k2(k-1)24=k24k4=k3.{\ displaystyle a_ {k} -a_ {k-1} = {\ frac {k ^ {2} (k + 1) ^ {2} -k ^ {2} (k-1) ^ {2}} { 4}} = k ^ {2} {\ frac {4k} {4}} = k ^ {3}.}

Következtethetünk

∑k=1nemk3=∑k=1nem(nál nélk-nál nélk-1)=nál nélnem-nál nél0=(1+2+...+nem)2.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {3} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k-1}) = a_ {n } -a_ {0} = (1 + 2 + ... + n) ^ {2}.}

• Általánosabban, az összegeket az első hatáskörét p -ths egészeknem{\ displaystyle n} lehet kiszámítani lépésről lépésre a kiújulás képletű ( Pascal 1655) :, egy általános képletű mutatja magát a teleszkópos és a binomiális képlet . Valóban, teleszkópos: . És a pár képlete alapján, ezért a képlet meghirdetésre került.Snemk=∑k=0nemko{\ displaystyle S_ {n} ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p}}Snemo=(nem+1)o+1-∑q=0o-1(o+1q)Snemq{\ displaystyle S_ {n} ^ {p} = (n + 1) ^ {p + 1} - \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} {\ binom {p + 1} {q}} S_ {n} ^ {q}}
  ∑k=0nem((k+1)o+1-ko+1)=(nem+1)o+1{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = (n + 1) ^ {p + 1}}
  ∑k=0nem((k+1)o+1-ko+1)=∑k=0nem∑q=0o(o+1q)kq=∑q=0o(o+1q)∑k=0nemkq=Snemo+∑q=0o-1(o+1q)Snemq{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ((k + 1) ^ {p + 1} -k ^ {p + 1}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ összeg _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} {q}} k ^ {q} = \ összeg _ {q = 0} ^ {p} {\ binom {p + 1} { q}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {q} = S_ {n} ^ {p} + \ sum _ {q = 0} ^ {p-1} {\ binom {p + 1} {q}} S_ {n} ^ {q}}
• Az egyszerű elemekre bontás néha lehetővé teszi az átírást teleszkópos formában; például mivel

1x(x+1)=1x-1x+1,{\ displaystyle {\ frac {1} {x (x + 1)}} = {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {x + 1}},} van (ha ): -α∉NEM{\ displaystyle - \ alpha \ notin \ mathbb {N}}∑k=0∞1(k+α)(k+α+1)=∑k=0∞(1k+α-1k+α+1)=(1α-1α+1)+(1α+1-1α+2)+⋯=1α+(-1α+1+1α+1)+(-1α+2+1α+2)+⋯=1α.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(k + \ alpha) (k + \ alpha +1)}} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ balra ({\ frac {1} {k + \ alpha}} - {\ frac {1} {k + \ alpha +1}} \ jobbra) \\ & = \ balra ({\ frac {1} {\ alpha}} - {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ jobbra) + \ balra ({\ frac {1} {\ alpha +1}} - {\ frac {1} {\ alpha +2}} \ right) + \ cdots \\ & = {\ frac {1} {\ alpha}} + \ left (- {\ frac {1} {\ alpha +1}} + {\ frac {1} {\ alpha +1}} \ jobb) + \ bal (- {\ frac {1} {\ alpha +2}} + {\ frac {1} {\ alpha +2}} \ jobbra) + \ cdots = {\ frac {1} {\ alpha}}. \ end {aligned}}}

• Számos trigonometrikus sorozat elismeri a reprezentációt, mint különbséget, amely lehetővé teszi a teleszkópos mozgást:

∑k=1nembűn⁡(k)=∑k=1nem12bűn⁡(12)(2bűn⁡(12)bűn⁡(k))=12bűn⁡(12)∑k=1nem(kötözősaláta⁡(2k-12)-kötözősaláta⁡(2k+12))=12bűn⁡(12)(kötözősaláta⁡(12)-kötözősaláta⁡(2nem+12)).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sin \ left (k \ right) & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {2 \ sin \ bal ({\ frac {1} {2}} \ jobbra)}} balra (2 \ sin \ balra ({\ frac {1} {2}} \ jobbra) \ sin \ balra (k \ right) \ right) \\ & = {\ frac {1} {2 \ sin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)}} sum _ {k = 1} ^ {n} \ bal (\ cos \ bal ({\ frac {2k-1} {2}} \ jobb) - \ cos \ bal ({\ frac {2k + 1} {2}} \ jobb) \ jobb) \\ & = {\ frac {1} {2 \ sin \ balra ({\ frac {1} {2}} \ jobbra)}} balra (\ cos \ balra ({\ frac {1} {2}} \ jobbra) - \ cos \ balra ({\ frac {2n + 1} {2}} \ jobbra \ jobbra). \ end {igazítva}}}

• Általánosabban, a következő kifejezések zárt összegek és az  :VSnem=∑k=0nemkötözősaláta⁡(kθ+φ){\ displaystyle C_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta + \ varphi)}Snem=∑k=0nembűn⁡(kθ+φ){\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sin (k \ theta + \ varphi)}θ≠0mod2π{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}VSnem=bűn⁡((nem+1)θ2)bűn⁡θ2kötözősaláta⁡(nemθ2+φ), Snem=bűn⁡((nem+1)θ2)bűn⁡θ2bűn⁡(nemθ2+φ){\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2} }}} \ cos \ bal (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right), \ S_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}}} \ sin \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right )}megszerezhető szorzással , linearizálással, majd teleszkóppal.bűn⁡θ2{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}
• Sorozatok esetében azonban nem szabad figyelmen kívül hagyni a konvergencia kérdéseket; másképp következtethetnénk például arra

1+1+1+⋯=(2-1)+(3-2)+(4-3)+⋯=-1+(2-2)+(3-3)+⋯=-1{\ displaystyle {\ begin {aligned} 1 + 1 + 1 + \ cdots & = (2-1) + (3-2) + (4-3) + \ cdots \\ & = - 1+ (2-2 ) + (3-3) + \ cdots \\ & = - 1 \ vége {igazítva}}} (de az így elért eredmények nem mindig értelmetlenné válnak; megtekinthetjük a cikk eltérő témájú sorozatait ).

Alkalmazás az idézésre részenként

Nyilatkozat és bemutató

Ha és vannak szekvenciák , az összegzési formula által részből van írva: (nál nélnem){\ displaystyle (a_ {n})}(bnem){\ displaystyle (b_ {n})}

∑k=0nem-1(nál nélk+1-nál nélk)bk=(nál nélnembnem-nál nél0b0)-∑k=0nem-1nál nélk+1(bk+1-bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ bal (a_ {k + 1} -a_ {k} \ jobb) b_ {k} = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0}) - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k + 1} \ bal (b_ {k + 1} -b_ {k} \ jobb)}

Valójában egyrészt távcsővel,

∑k=0nem-1(nál nélk+1bk+1-nál nélkbk)=(nál nélnembnem-nál nél0b0){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ bal (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ jobb) = (a_ {n} b_ {n} -a_ {0} b_ {0})}

És másrészt:

∑k=0nem-1(nál nélk+1bk+1-nál nélkbk)=∑k=0nem-1(nál nélk+1(bk+1-bk)+(nál nélk+1-nál nélk)bk){\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ bal (a_ {k + 1} b_ {k + 1} -a_ {k} b_ {k} \ jobb) = \ összeg _ {k = 0} ^ {n-1} \ balra (a_ {k + 1} (b_ {k + 1} -b_ {k}) + (a_ {k + 1} -a_ {k}) b_ {k} \ jobb)}

Példa az alkalmazásra

(x-1)∑k=0nem-1kxk=∑k=0nem-1k(xk+1-xk)=formulenemxnem-∑k=0nem-1xk+1=nemxnem-xnem+1-xx-1{\ displaystyle (x-1) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} k (x ^ {k + 1 } -x ^ {k}) {\ overset {formula} {=}} nx ^ {n} - \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} x ^ {k + 1} = nx ^ {n } - {\ frac {x ^ {n + 1} -x} {x-1}}}, amiből merítünk:

∑k=0nem-1kxk=(nem-1)xnem+1-nemxnem+x(x-1)2{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} kx ^ {k} = {\ frac {(n-1) x ^ {n + 1} -nx ^ {n} + x} {( x-1) ^ {2}}}}

Végtelen termékek

Ugyanez a technika vonatkozik a végtelen termékekre is, amelyek általános kifejezése a forma . A teleszkópos képlet ezután beírjuk nál nélnem+1nál nélnem{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}}}

∏k=0nem-1nál nélk+1nál nélk=∏k=1nemnál nélknál nélk-1=nál nélnemnál nél0.{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {a_ {k + 1}} {a_ {k}}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {k}} {a_ {k-1}}} = {\ frac {a_ {n}} {a_ {0}}}.}

Így bemutathatjuk Morrie törvényét  : megjegyezve , hogy pózolva , 2kötözősaláta⁡nál nél=bűn⁡2nál nélbűn⁡nál nél{\ displaystyle 2 \ cos a = {\ frac {\ sin 2a} {\ sin a}}}nál nélnem=bűn⁡(2nemα){\ displaystyle a_ {n} = \ sin (2 ^ {n} \ alfa)}

2nem⋅∏k=0nem-1kötözősaláta⁡(2kα)=bűn⁡(2nemα)bűn⁡(α).{\ displaystyle 2 ^ {n} \ cdot \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {k} \ alpha) = {\ frac {\ sin (2 ^ {n} \ alfa )} {\ sin (\ alpha)}}.}

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „  teleszkóp sorozat  ” ( lásd a szerzők listáját ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">