EBSB stabilitás
Az EBSB stabilitás a dinamikus rendszerek stabilitásának egy sajátos formája, amelyet automatikus , jelfeldolgozási és konkrétabban az elektrotechnikai területen tanulmányoznak . Az EBSB a Bounded Input / Bounded Output rövidítése: ha egy rendszer EBSB stabil, akkor bármely korlátozott bemenet esetében a rendszer kimenete is.
Időtartomány feltétele
Az invariáns és folytonos idejű lineáris rendszer, amelynek átviteli funkciója racionális és szigorúan megfelelő, akkor stabil és stabil, csak akkor stabil az EBSB, ha impulzusválasza teljesen integrálható, azaz ha létezik normája :
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
L1=∫-∞∞|h(t)|dt=‖h‖1<∞.{\ displaystyle L ^ {1} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ balra | h (t) \ jobbra | dt} = \ | h \ | _ {1} <\ infty.}
Diszkrét idő alatt a rendszer akkor és csak akkor stabil az EBSB-nél, ha az impulzusválasz abszolút összegezhető, azaz ha létezik normája :
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
ℓ1=∑nem=-∞∞|h(nem)|=‖h‖1<∞.{\ displaystyle \ ell ^ {1} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ balra | h (n) \ jobbra |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty .}
Demonstráció
Diszkrét időben kínálják, de ugyanazok az érvek érvényesek a folyamatos időben is.
Szükséges állapot
A korlátozott bemenetnek megfelel a kielégítő
kimenetx(nem)=jel(h(-nem)){\ displaystyle x (n) = \ kezelőnév {jel} (h (-n))}y(nem) {\ displaystyle y (n) \}
y(nem)=h(nem)∗x(nem) {\ displaystyle y (n) = h (n) * x (n) \}hol van a konvolúciós termék, azaz :
∗{\ displaystyle *}
y(nem)=∑k=-∞∞h(k)x(nem-k).{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (nk)}.}Különösen y(0)=∑k=-∞∞h(k)x(-k)=∑k=-∞∞|h(k)|.{\ displaystyle y (0) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (k) x (-k)} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {| h (k) |}.}
Tehát mivel határolt.
‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(0) {\ displaystyle y (0) \}
Megfelelő állapot
Vegyünk egy korlátozott bemenetet, vagyis feltételezzük . Ezután a kijárat kielégít
‖x‖∞<∞{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} <\ infty}‖h‖1<∞{\ displaystyle \ | h \ | _ {1} <\ infty}y(nem) {\ displaystyle y (n) \}
|y(nem)|=|∑k=-∞∞h(nem-k)x(k)|≤∑k=-∞∞|h(nem-k)||x(k)|{\ displaystyle \ left | y (n) \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {h (nk) x (k)} \ right | \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ bal | h (nk) \ jobb | \ bal | x (k) \ jobb |}}}(
háromszög egyenlőtlenség alapján )
≤∑k=-∞∞|h(nem-k)|‖x‖∞=‖x‖∞∑k=-∞∞|h(nem-k)|=‖x‖∞‖h‖1.{\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ bal | h (nk) \ jobb | \ | x \ | _ {\ infty}} = \ | x \ | _ { \ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (nk) \ right |} = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} .}Tehát szintén korlátos.
|y(nem)|{\ displaystyle \ bal | y (n) \ jobb |}
Frekvenciatartomány-feltétel
Folyamatos jel
Legyen egy invariáns, folytonos idejű lineáris rendszer, amelynek átviteli függvénye feltételezhetően racionális . A pólusok ( a nevező bonyolult gyökerei ) és a konvergencia abszcisszájának megadásával megmutatjuk, hogy a rendszer csak akkor stabil EBSB .
H(o) {\ displaystyle H (p) \}oén {\ displaystyle p_ {i} \}σ {\ displaystyle \ sigma \}σ=maxÚjra(oén) {\ displaystyle \ sigma = \ max \ kezelőnév {Re} (p_ {i}) \}σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}
Bizonyíték
Mivel a Laplace-transzformáció az impulzusválasz ,
H(o) {\ displaystyle H (p) \} h(t) {\ displaystyle h (t) \}
H(o)=∫0∞e-oth(t)dt{\ displaystyle H (p) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- pt} h (t) dt}és a konvergencia területe a félsík .
Újra(o)>σ {\ displaystyle \ kezelőnév {Re} (p)> \ sigma \}
Ha a rendszer stabil EBSB, akkor benne van és konvergencia van azóta
h(t) {\ displaystyle h (t) \}L1{\ displaystyle L ^ {1}}o=0 {\ displaystyle p = 0 \}
|H(0)|=|∫0∞h(t)dt|≤∫0∞|h(t)|dt{\ displaystyle | H (0) | = \ balra | \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) dt \ jobbra | \ leq \ int _ {0} ^ {\ infty} | h (t) | dt}ami feltételezés szerint véges mennyiség. Ebből kifolyólagσ<0 .{\ displaystyle \ sigma <0 \.}
Tegyük fel . Mivel a racionalitás hipotézise szerint formájú
σ<0 {\ displaystyle \ sigma <0 \}H(o) {\ displaystyle H (p) \}
H(o)=∑énvs.éno-oén,{\ displaystyle H (p) = \ sum _ {i} {\ frac {c_ {i}} {p-p_ {i}}},}feltételezve, hogy az egyszerűség kedvéért a pólusok egyszerűek. Az inverz Laplace-transzformáció ad
H(o) {\ displaystyle H (p) \}
h(t)=∑énvs.éneoént{\ displaystyle h (t) = \ sum _ {i} c_ {i} e ^ {p_ {i} t}}ez van, és a rendszer stabil EBSB.
L1{\ displaystyle L ^ {1}}
Diszkrét jel
Legyen egy invariáns, diszkrét idővel rendelkező lineáris rendszer, amelynek az átviteli függvénye feltételezhetően racionális. A pólusok és a pólusmodulok maximumaként definiált konvergencia modulusok figyelembevételével megmutatjuk, hogy a rendszer akkor és csak akkor stabil az EBSB-nél .
H(z) {\ displaystyle H (z) \}zén {\ displaystyle z_ {i} \}ρ {\ displaystyle \ rho \} ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}
Bizonyíték
Mivel a Z transzformáció az impulzusválasz ,
H(z) {\ displaystyle H (z) \} h(nem) {\ displaystyle h (n) \}
H(z)=∑k=0∞h(k)z-k{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) z ^ {- k}}és a konvergencia tartománya egy kör külső része, azaz .
|z|>ρ {\ displaystyle | z |> \ rho \}
Ha a rendszer stabil EBSB, akkor benne van és konvergencia van azóta
h(nem) {\ displaystyle h (n) \}ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}z=1 {\ displaystyle z = 1 \}
|H(1)|=|∑k=0∞h(k)|≤∑k=0∞|h(k)|{\ displaystyle | H (1) | = \ balra | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} h (k) \ jobbra | \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} | h k) |}ami feltételezés szerint véges mennyiség. Ebből kifolyólagρ<1 .{\ displaystyle \ rho <1 \.}
Tegyük fel . Mivel a racionalitás hipotézise szerint formájú
ρ<1 {\ displaystyle \ rho <1 \}H(z) {\ displaystyle H (z) \}
H(z)=∑éndén1-zénz-1,{\ displaystyle H (z) = \ sum _ {i} {\ frac {d_ {i}} {1-z_ {i} z ^ {- 1}}},}feltételezve, hogy az egyszerűség kedvéért a pólusok egyszerűek. Az z átalakítás inverze megadja
H(z) {\ displaystyle H (z) \}
h(nem)=∑éndénzénnem{\ displaystyle h (n) = \ sum _ {i} d_ {i} z_ {i} ^ {n}}ez van, és a rendszer stabil EBSB.
ℓ1{\ displaystyle \ ell ^ {1}}
Stabilitási kritériumok
Annak megállapításához, hogy egy blokkdiagrammal ábrázolt fizikai rendszer stabil-e vagy sem, használhat több módszert vagy több kritériumot. Kétféle feltétel létezik:
Ezeket a kritériumokat csak annak meghatározására használják, hogy a rendszer stabil-e vagy sem, de nem jelzik a stabilitás mértékét, vagyis azt, hogy a rendszer többé-kevésbé stabil-e. A stabilitás e híres fokának értékelése érdekében más eszközöket kell használni, például a fázistartalékot és a margónyereséget vagy a minőségi tényezőt .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Az szempontjából ez azt jelenti, hogy közvetlen kifejezés nélkül véges dimenziós rendszerekre szorítkozunk. Például egy tiszta nyereségből (ill. Egy tiszta differenciátorból) álló rendszer impulzus-válaszra a Dirac-eloszlást (vagy annak származékát) jelenti, amely nem függvény.
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">