Michael kiválasztási tétele

A matematika , a Michael kiválasztási tétel egy tétel a funkcionális elemzés bizonyította 1956-ban Ernest Michael (in) . A következőképpen szól:

Ha X egy paracompact tér majd, minden alsóbbrendű félfolyamatos többfunkciós Γ, az X egy Banach tér E és zárt nemüres konvex értékek , van egy folyamatos „kiválasztás” , azaz, hogy van egy alkalmazó folyamatos f : X → E úgy, hogy az összes X a X , f ( x ) tartozik, Γ ( x ).

Michael bebizonyította az ellenkezőjét is , így ez a tulajdonság jellemzi a parakompakt tereket ( elválasztott terek között ).

Demonstráció

Vagy az a távolság kapcsolatos norma a E . Mi konstrukció indukcióval egy szekvencia folytonos függvények f n kielégítő, minden természetes egész szám n és az összes X a X : d ( F n ( x ), Γ ( x )) <2 - n és d ( f n +1 ( X ), f n ( x )) <3,2 - n –1 . Az alábbi lemma valóban lehetővé teszi az f 0 függvény felépítését állandóan <1 a φ 0 : = Γ távolságból, majd minden n > 0 esetén egy f n függvényt állandóan <2 - n φ n : = távolságból. Γ ∩ B ( f n –1 , 2 - n +1 ) . A egységes határa az f n ezután képez egy folytonos szelekció Γ.

Lemma - Legyen X lehet egy paracompact helyet, V egy normált vektor teret és φ: X → V egy alsó fél folyamatos többfunkciós, nem üres konvex értékeket. Minden r > 0 esetén a B (φ, r ) multifunkciós : x { y ∈ Y | d ( y , φ ( x )) < r } folyamatos választással rendelkezik.

Ez a lemma a következő tétel speciális esete.

Browder kiválasztási tétel

Tétel - Legyen X parakompakt tér, Y pedig topológiai vektortér . Bármely multifunkcionális ψ: X → Y nem üres konvex értékekkel és nyitott inverz értékekkel folyamatosan választható.

Demonstráció

A bármilyen vektor y a Y , hagyja U y jelöli az inverz értéke ψ az Y , azaz a nyitott (esetleg üres) az x olyan, hogy y ∈ ψ ( x ). Legyen ( g y ) y ∈ Y lehet egy partíció a lokálisan véges egység alárendelve a átfedés a X az U y . Tehát a funkció

x \ mapsto \ sum_ {y \ Y} g_y (x) y

a selection folyamatos kiválasztása.

Bartle-Graves tétel

A következménye Michael kiválasztási tétel tétel Bartle (in) - Graves :

Tétel - Bármely folyamatos lineáris szubjektálás az egyik Banach-térből a másikba folyamatos szakaszú .

Megjegyzések és hivatkozások

(in) E. Michael , " Folyamatos szelekciók. Én ” , Ann. Math. , 2 ND sorozat, vol. 63, n o 21956, P. 361-382 ( online olvasás ).
(in) E. Michael , " Kiválasztott kiválasztási tételek " , Amer. Math. Havi , vol. 63, n o 4,1956, P. 233-238 ( online olvasás ).
(a) Charalambos D. Aliprantis és Kim C. Border végtelen dimenziós Elemzés: A stoppos útmutató , Springer ,2007, 3 e . ( 1 st ed. 1994), 704 p. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , olvasható online ) , fejezet. 17.11 („Folyamatos választók”) , p. 587feleslegesen feltételezzük, hogy Y különálló.
(in) Ward Cheney (in) , az alkalmazott matematika elemzése , Springer al. " GTM " ( n ° 208)2001, 448 p. ( ISBN 978-0-387-95279-6 , online olvasás ) , p. 342.
De nem feltétlenül lineáris : vö. További topológiai .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Abszolút expander
Hozzávetőleges kiválasztási tétel
Kuratowski és Ryll-Nardzewski mérhető szelekciós tétel ( fr )

Külső linkek

(en) Heikki Junnila, Az általános topológia második tanfolyama , 2007-8 / 2014, fej. III, 3. §: Az egység partíciói és 4. §: Folyamatos szelekciók

Bibliográfia

(en) Jean-Pierre Aubin és Arrigo Cellina, Differenciális zárványok, meghatározott értékű térképek és életképesség-elmélet , Grundl. der Math. Wiss. , repülés. 264, Springer , 1984
(en) Jean-Pierre Aubin és Hélène Frankowska , meghatározott értékű elemzés , Birkhäuser , 1990 [ olvasható online ]
(en) Klaus Deimling, Többértékű differenciálegyenletek , Walter de Gruyter , 1992 [ online ]
(en) Shouchuan Hu és Nikolas S. Papageorgiou, Többértékű elemzés kézikönyve , vol. Én, Springer, 1997
(en) Dušan Repovš és Pavel V. Semenov, Többértékű leképezések folyamatos kiválasztása , Kluwer , 1998 [ online ]
(en) D. Repovš és PV Semenov , „ Ernest Michael és a folyamatos szelekció elmélete ” , Topol. Appl. , vol. 155, N o 8,2008, P. 755-763, arXiv : 0803.4473