A Hodge-elmélet a tanulmány, amelynek bemenete tartalmazza az algebrai topológiát , a differenciálalakokat egy sima elosztón . Következésképpen rávilágít a Riemannian és Kähler fajták tanulmányozására, valamint a minták geometriai vizsgálatára . Nevét William Hodge skót matematikustól kapta . A Millenniumi Díj egyik problémája ehhez az elmélethez kapcsolódik: a Hodge-sejtéshez .
Lényegében az elmélet lehetővé teszi egyes fajtákhoz társítani egy Hodge-struktúrát (in), amelyről kiderül, hogy nagyon hatékony eszköz az eredeti fajta tulajdonságainak elemzésére, miközben könnyebben kezelhető, mert lineáris algebra alá tartozik .
Az elmélet számos matematikai probléma középpontjában áll, és különösen az alkalmazott matematikában , a matematikai fizikában és az elméleti fizikában jelenik meg, különösen a mérőeszközök elméleteiben , például az elektromágnesességben .
Az elméletet Hodge állítja 1941 körül a Harmonic integrals kiadásával , ahol eredményei először elemzésen alapulnak. Hermann Weyl , Kunihiko Kodaira , Georges de Rham és André Weil ezt a megközelítést alkalmazzák és fejlesztik tovább. Aztán az 1970-es évek elején Phillip Griffiths és Pierre Deligne adták neki modern, sokkal algebrai szempontját.
Az eredete Hodge elmélete igazi ereje az alkalmazás De Rham azon cohomology a parciális differenciálegyenletek .
A legfontosabb következmény általánosít, Hodge-tétel érvényes: ha M kompakt projektív Kähler-sokaság, akkor
(itt figyelembe lehet venni De Rham vagy Dolbeault kohomológiáját )
Megtaláljuk a Betti számokat
amely a Hodge-számok függvényében írható fel
A kompakt Kähler M elosztó Hodge-számait gyakran a következő formában ábrázolják , Hodge gyémántnak hívják:
Az egyes sorok összegzésével megtaláljuk a Betti-számokat .
Meghatározhatunk egy laplaci operátort a differenciális formákhoz:
A magjához tartozó differenciálformákat harmonikusoknak nevezzük.
Ha M egy kompakt és orientálható differenciálható n -variety, és ha p jelentése egész szám, n ≥ p , majd Hodge bomlási tétel kimondja, hogy bármely p -forma lehet egyedileg beírjuk, mint az összeg a pontos formája (vagy „keresztirányú” ), koexakt formában (vagy "hosszirányban") és harmonikus formában:
Ha a p -formájú zárva van, mi van a rövid Hodge bomlástermékek:
Általában a harmonikus komponens a figyelembe vett domén topológiájától függ.