Ptolemaiosz tétele

Az euklideszi geometria , Ptolemaiosz-tétel és annak ellenkezője állam közötti ekvivalencia a cocyclicity 4 pontot és algebrai kapcsolatban bevonva távolságok. A közvetlen következmény Claudius Ptolemyosz görög csillagásznak és matematikusnak tulajdonítható , aki ezt felhasználta trigonometriai táblázatai elkészítéséhez, amelyeket a csillagászattal kapcsolatos számításai során használt .

Államok

Ptolemaiosz-tétel  -  Egy konvex négyszög akkor és csak akkor írható, ha az átló hosszúságának szorzata megegyezik az ellenkező oldalak hosszának szorzatával.

Ez a tétel a következőképpen fordítható le:

Ptolemaiosz-tétel  -  Egy konvex négyszög akkor és csak akkor írhatóNÁL NÉLBVSD{\ displaystyle ABCD}NÁL NÉLVS⋅BD=NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅NÁL NÉLD.{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD.}

Vagy másként megfogalmazva a következőképpen lehet kijelenteni:

Ptolemaiosz-tétel  -  Legyen négy pontot , és található egy síkban. és ugyanabban a körben és ebben a sorrendben helyezkednek el, és csak akkor, ha a köztük lévő távolságok kielégítik a kapcsolatot:NÁL NÉL,B,VS{\ displaystyle A, B, C}D{\ displaystyle D}NÁL NÉL,B,VS{\ displaystyle A, B, C}D{\ displaystyle D}NÁL NÉLVS⋅BD=NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅NÁL NÉLD.{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD.}

Demonstráció

Egyenértékűség

A Ptolemaiosz-tétel közvetlen következménye a szavazategyenlőség esetén az egyenlőtlenség Ptolemaiosz , melynek bizonyítéka felhasználása csak négy pontot , , és ciklikus (ebben a sorrendben) akkor és csak akkor, ha a fordított középre az egyik ilyen pont elküldi a többi három három igazított ponton (ebben a sorrendben). NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}

Közvetlen implikáció geometriai érveléssel

A következő demonstráció Ptolemaioszé.

Vegyünk egy nem keresztezett írható négyszöget . A szögek és egyenlőek, mert ugyanazt az ívet metszik (lásd a beírt szögtételt ); ugyanaz . NÁL NÉLBVSD{\ displaystyle ABCD}BNÁL NÉLVS^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}}}BDVS^{\ displaystyle {\ widehat {BDC}}}NÁL NÉLDB^=NÁL NÉLVSB^{\ displaystyle {\ widehat {ADB}} = {\ widehat {ACB}}}

Szerkesszük a K pontot úgy, hogy és . K∈[NÁL NÉLVS]{\ displaystyle K \ in [AC]}NÁL NÉLBK^=DBVS^{\ displaystyle {\ widehat {ABK}} = {\ widehat {DBC}}}

Akkor van . NÁL NÉLBD^=NÁL NÉLBK^+KBD^=DBVS^+KBD^=KBVS^{\ displaystyle {\ widehat {ABD}} = {\ widehat {ABK}} + {\ widehat {KBD}} = {\ widehat {DBC}} + {\ widehat {KBD}} = {\ widehat {KBC}} }

Így a háromszögek és , ha szöge egyenlő, hasonlóak (középső ábra), valamint a (jobb oldali ábra). NÁL NÉLBK{\ displaystyle ABK}DBVS{\ displaystyle DBC}NÁL NÉLBD{\ displaystyle ABD}KBVS{\ displaystyle KBC}

A következő összefüggéseket kapjuk (lásd: „  Hasonló háromszögek  ”): ésNÁL NÉLKNÁL NÉLB=VSDBD{\ displaystyle {\ frac {AK} {AB}} = {\ frac {CD} {BD}}}VSKBVS=DNÁL NÉLBD{\ displaystyle {\ frac {CK} {BC}} = {\ frac {DA} {BD}}}

honnan ésNÁL NÉLK⋅BD=NÁL NÉLB⋅VSD{\ displaystyle AK \ cdot BD = AB \ cdot CD}VSK⋅BD=BVS⋅DNÁL NÉL{\ displaystyle CK \ cdot BD = BC \ cdot DA}

hozzáadásával jön és építkezés útján . (NÁL NÉLK+VSK)⋅BD=NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅DNÁL NÉL{\ displaystyle (AK + CK) \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot DA}NÁL NÉLK+VSK=NÁL NÉLVS{\ displaystyle AK + CK = AC \,}

A tétel egyenlőségére következtetünk . NÁL NÉLVS⋅BD=NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅DNÁL NÉL{\ displaystyle AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot DA}

Ptolemaiosz második tétele

Ptolemaiosz második tétele  -  Legyen egy nem keresztezett írható négyszög , az oldalak és az átlóak hossza igazolja a kapcsolatot: NÁL NÉLBVSD{\ displaystyle ABCD}

NÁL NÉLVSBD=NÁL NÉLB⋅DNÁL NÉL+BVS⋅VSDNÁL NÉLB⋅BVS+DNÁL NÉL⋅VSD{\ displaystyle {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {AB \ cdot DA + BC \ cdot CD} {AB \ cdot BC + DA \ cdot CD}}}

Valójában az ABC háromszög területét, amelyet egy R sugarú körbe írunk be, az adja meg NÁL NÉL=NÁL NÉLB⋅BVS⋅VSNÁL NÉL4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {AB \ cdot BC \ cdot CA} {4R}}}

Ha a négyszög teljes területét megírjuk a két azonos körvonalú háromszög összegeként , akkor a választott bontás szerint kapjuk meg:

NÁL NÉLtot=NÁL NÉLB⋅BVS⋅VSNÁL NÉL4R+VSD⋅DNÁL NÉL⋅NÁL NÉLVS4R=NÁL NÉLVS⋅(NÁL NÉLB⋅BVS+VSD⋅DNÁL NÉL)4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {tot} = {\ frac {AB \ cdot BC \ cdot CA} {4R}} + {\ frac {CD \ cdot DA \ cdot AC} {4R}} = { \ frac {AC \ cdot (AB \ cdot BC + CD \ cdot DA)} {4R}}}

NÁL NÉLtot=NÁL NÉLB⋅BD⋅DNÁL NÉL4R+BVS⋅VSD⋅DB4R=BD⋅(NÁL NÉLB⋅DNÁL NÉL+BVS⋅VSD)4R{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {tot} = {\ frac {AB \ cdot BD \ cdot DA} {4R}} + {\ frac {BC \ cdot CD \ cdot DB} {4R}} = { \ frac {BD \ cdot (AB \ cdot DA + BC \ cdot CD)} {4R}}}

Az egyenlítéssel a kereszttermék adja meg a meghirdetett relációt.

Ptolemaiosz két egyenlősége adja meg a szorzót és az átló arányát. Szorzás és osztás útján azonnal értesítik az egyes átlókat az oldalak szerint.

NÁL NÉLVS2=NÁL NÉLVS⋅BD⋅NÁL NÉLVSBD=(NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅DNÁL NÉL)⋅(NÁL NÉLB⋅DNÁL NÉL+BVS⋅VSD)NÁL NÉLB⋅BVS+DNÁL NÉL⋅VSD{\ displaystyle AC ^ {2} = AC \ cdot BD \ cdot {\ frac {AC} {BD}} = {\ frac {(AB \ cdot CD + BC \ cdot DA) \ cdot (AB \ cdot DA + BC \ cdot CD)} {AB \ cdot BC + DA \ cdot CD}}} BD2=NÁL NÉLVS⋅BD⋅BDNÁL NÉLVS=(NÁL NÉLB⋅VSD+BVS⋅DNÁL NÉL)⋅(NÁL NÉLB⋅BVS+DNÁL NÉL⋅VSD)NÁL NÉLB⋅DNÁL NÉL+BVS⋅VSD{\ displaystyle BD ^ {2} = AC \ cdot BD \ cdot {\ frac {BD} {AC}} = {\ frac {(AB \ cdot CD + BC \ cdot DA) \ cdot (AB \ cdot BC + DA \ cdot CD)} {AB \ cdot DA + BC \ cdot CD}}}

Használja Ptolemaiosz

Ptolemaiosz ezt a tételt használta trigonometrikus táblák felépítésére. Ehhez egy olyan kört vesz figyelembe, amelynek kerülete 360 ​​fokos, átmérője pedig 120 részre oszlik. Ezután arra törekszik, hogy a kör különféle íveinek tulajdonítsa az ívek által meghúzott húrok hosszát.

Először a 36 °, 60 °, 72 °, 90 °, 120 ° ívek eseteivel foglalkozik, amelyeknél az alapul szolgáló akkord a szabályos ötszög , a szabályos hatszög , a szabályos tízes , a négyzet oldala . , az egyenlő oldalú háromszög , minden írva a körben. Ezek a sokszögek mind felépíthetők egy vonalzóval és egy iránytűvel , valóban meghatározhatjuk az oldaluk hosszát. Ezután azt a tényt használva, hogy egy körbe beírt háromszög téglalap, ha az egyik oldala egyenlő az átmérővel, a Pitagorasz-tétel lehetővé teszi számára, hogy meghatározza az ívekhez kapcsolódó akkordokat, amelyek az előző ívek 180 ° -os kiegészítései.

Ezután ismerve a kör két ívéhez tartozó akkordokat, tételével meghatározza az ívek különbségeit vagy ezeknek az íveknek az összegét. A szemközti ábrán valójában tegyük fel, hogy ismerjük az AB és AC ív által meghúzott húrok hosszát, valamint a kör AD átmérőjét. A BAD és CAD háromszögek, amelyek téglalapok a B-ben és a C-ben, a Pitagorasz-tétel lehetővé teszi a BD és a CD meghatározását. Ezért az összes kék szegmens ismert hosszúságú. Ptolemaiosz tétele lehetővé teszi számunkra a BC vörös szegmens hosszának levezetését. Ptolemaiosz tehát meghatározhatja a 12 ° = 72 ° - 60 ° szöggel társított zsinór hosszát.

Így láthatjuk, hogy a Ptolemaiosz-tétel az ókori matematikában azt a szerepet játszik, amelyet a trigonometria képletei játszanak számunkra (szinuszok és koszinuszok az összeg vagy két szög különbségének).

Ptolemaiosz azt is tudja, hogyan lehet meghatározni a fél íj által meghúzott akkordot. A szemközti ábrán legyen BC az ív, amelynek akkordját ismerjük, és AC legyen a kör átmérője. Az ABC derékszögű háromszögben található Pitagorasz-tétel alapján ismerjük az AB hosszúságot is. Megrajzoljuk a BAC szög felezőjét (AD) úgy, hogy BD = CD. Az egyik folytatja az [AC] E pontot úgy, hogy AE = AB. Az ABD és AED háromszög ekkor izometrikus. Ezért van CD = BD = ED, és az ECD háromszög egyenlő szárú. Magassága (EZ) keresztezi (AC) Z-ben, az [EC] középpontja. De az EC ismert, mert EC = AC - AE = AC - AB, valamint AB és AC ismert. Tehát ZC, az EC fele ismert. Tehát a kívánt CD-akkord ismert, mert az ACD derékszögű háromszögben van . Ismerve a 12 ° -os akkordot, Ptolemaiosz kiegészítheti asztalát, kiszámítva a 6 °, 3 °, 1 ° 30 'és 45' ívekhez tartozó akkordok hosszát. VSD2=NÁL NÉLVS×VSZ{\ displaystyle {\ rm {CD}} ^ {2} = {\ rm {AC}} \ szor {\ rm {CZ}}}

Így nem tudja megszerezni az 1 ° ív alatt álló akkord hosszát. Ezt az értéket interpolációval kapja meg, amely az 1 ° 30 'és 45' ívekre kapott értékekből származik. Ezután levonja a 30 'ív alapjául szolgáló húrot, és végül felépíthet egy táblázatot az ívekről és a visszahúzott húrokról, fél-fele-fele.

Az Almagest hatodik kötetében Ptolemaiosz megadja annak a számnak a hozzávetőleges értékét, amelyet táblázata segítségével megszerezhetett. Ismerve az akkord hosszát, amelyet egy fokos szöget zár be, elegendő ezt a hosszat 360-mal megszorozni, hogy a kör kerülete hosszának hozzávetőleges értékét kapjuk. Megkapja . π{\ displaystyle \ pi}377120≈3,14166...{\ displaystyle {\ frac {377} {120}} \ kb. 3,14166 \ dots}

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Ptolemaiosz egyenlőtlensége
• Casey tétele
• Pythagore-tétel

Külső hivatkozás

A tétel és annak kölcsönös bizonyítéka a "Descartes and Mathematics" oldalon

Hivatkozások

1. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  29.
2. Jean-Paul Colette, Matematikatörténet , t.  Én, Vuibert,1973( ISBN  2-7117-1020-3 ) , p.  93-94
3. (in) Morris Kline, a matematikai gondolkodás az ókori a modern időkig , Oxford University Press ,1972, P.  122-126
4. Ennek oka az, hogy Ptolemaiosz a szexagesimális rendszerben végzi számításait mind szög, mind hosszúság szempontjából, és 60 rész sugara jól illeszkedik ehhez a rendszerhez.
5. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  28.
6. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  30
7. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  31
8. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  34-36
9. Ptolemaiosz, Nicolas Halma fordítása , Matematikai kompozíció , t.  I., 1927 (újrakiadás) ( online olvasás ) , p.  38
10. (in) Lennard Berggren, Jonathan és Peter Borwein Borwein, Pi: A Source Book , Springer ( ISBN  978-0-387-98946-4 és 0-387-98946-3 ) , p.  678

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">