Ergódikus tétel

A dinamikus rendszerekben , és különösen az ergodikus elméletben , sok tételt ergodikus tételnek nevezünk . Lehetővé teszik a mérési elmélet értelmében a mért dinamikus rendszer pályáinak sűrűségének számszerűsítését .

Birkhoff ergodikus tétele

Van:

$(X, \ mathcal {A}, \ mu)$ a korlátozott mért teret .
T : X → X egy mérhető átalakulás megőrzése intézkedés (azaz, hogy minden mérhető halmaz egy de , van ). $\ mu$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu (T ^ {- 1} (A)) = \ mu (A)$

Így :

Az L 1 ( X , μ) bármely funkciója esetén a szekvencia szinte mindenütt konvergál. $f$ $\ balra (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) \ jobbra) _ {n \ geq 1}$
Sőt, ha megjegyezzük (amikor létezik), akkor: limnem→∞1nem∑k=0nem-1f∘Tk(x)=g(x){\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x) = g (x)} $\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = g (x)$
- $g \ circ T = g$ , - szinte mindenhol . $\ mu$
- ${\ displaystyle \ | g \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {1}}$ ( ezért benne van ). $g$ $L ^ 1 (X, \ mu)$
- A függvények sorrendje L 1 ( X , μ) -ben konvergál . $\ balra (\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k \ jobbra) _ {n \ ge1}$ $g$
- Mert minden mérhető halmaz A , mint mi: . Ez ekvivalens módon átfogalmazható, mondván, hogy (szinte mindenhol), vagy a törzs tartalmazza az összes halmazt , amelyre nézve, és jelöli a feltételes elvárást . $\ mu \ bal (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ jobb) = 0$ $\ int_Ag (x) ~ \ mathrm d \ mu (x) = \ int_Af (x) ~ \ mathrm d \ mu (x)$ ${\ displaystyle g = {\ mathsf {E}} (f \ mid {\ mathcal {I}})}$ $\ mathcal I$ $A \ in {\ mathcal A}$ $\ mu \ bal (T ^ {- 1} (A) \ Delta A \ jobb) = 0$ ${\ displaystyle {\ mathsf {E}} (\ cdot \ mid {\ mathcal {I}})}$

Következmény

Ugyanazzal a feltételezések és feltételezve, továbbá, hogy a μ-ergodikus , van: $T$

\ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x) = \ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)

μ-hoz szinte mindenhez .

x

Megjegyzések

Az összeget Birkhoff-átlagnak nevezzük . $\ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ {k} (x)$ $f$
A határértéket, amikor létezik, az orbitális (vagy idő) átlagnak nevezzük . $\ lim \ nolimits_ {n \ to \ infty} \ frac1n \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} f \ circ T ^ k (x)$ $f$
Az integrál a térbeli középértéke . $\ int_Xf (t) ~ \ mathrm d \ mu (t)$ $f$

Tehát a tétel azt mondja, hogy ha egy valószínűségi mérőszám ergodikus, akkor az integrálható függvény szinte minden időátlaga egybeesik a térbeli átlagával. $\ mu$ $T$

A nagy számok erős törvényének néhány megfogalmazása ennek a tételnek speciális esete.

Néhány egyszerű alkalmazás

1. példa

Legyen B nem elhanyagolható mérhető halmaz (μ ( B )> 0). Ha T jelentése μ-ergodikus, akkor szinte minden az , van: $x$ $x$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ operátornév {kártya} (\ {k \ in \ {0, \ ldots, n-1 \} ~ | ~ T ^ {k} (x) \ in B \}) = {\ frac {\ mu (B)} {\ mu (X)}}.}

Az az idő, amelyet az x pályája B-ben tölt, pontosan μ ( B ) / μ ( X ).

2. példa

Az intervallum szinte minden valós értéke esetében a nullák átlagos száma a tizedesjegyben (azaz hol van a tizedjegye , a századik számjegye stb.) Megegyezik . $x$ $[0,1]$ $x$ $x = 0, a_1a_2a_3 ...$ $a_1$ $x$ $a_ {2}$ $x$ $1/10$

Von Neumann ergodikus tétel

Hagy egy kezelőnek egy Hilbert tér , vagy még általánosabban a lineáris izometria (nem feltétlenül szürjektıv ), és a merőleges vetülete a alterét vektorok rögzített által . Tehát, bármilyen vektor a , van: $U$ $H$ $P$ $U$ $x$ $H$

\ lim_ {N \ to \ infty} {1 \ felett N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ nx = Px,

ahol a határ a norm topológiájának értelmében van . Más szóval, a sorozat átlagok felé közeledik az erős topológia a szereplők (en) . $H$ $\ frac1N \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} U ^ n$ $P$

Ez a tétel különösen érvényes az esetben, ha a Hilbert tér van a tér L 2 egy mért tér , és ahol egy olyan üzemben a forma , egy bizonyos endomorphism az , amely megőrzi az intézkedés, és amely lehet tekinteni, mint az állapotváltozás egy dinamikus diszkrét idejű rendszer . Az ergodikus tétel ekkor azt mondja, hogy egy függvény átlagát elég nagy időintervallumban megközelítőleg a függvények ortogonális vetülete adja , amelyek az idő során állandóak maradnak. $H$ $\ scriptstyle (X, \ mathcal A, \ mu)$ $U$ $Uf (x) = f (Tx)$ $T$ $x$ $f$ $f$

Egy másik készítmény, ennek ergodikus tétel az, hogy ha egy erősen folytonos egyparaméteres csoport egység szereplők , akkor az üzemben $U_t$ $H$

\ frac1T \ int_0 ^ T U_t ~ \ mathrm dt

konvergál (az operátorok erős topológiájához), amikor a végtelenségig hajlamos. Valójában ez az eredmény egy félcsoportra terjed ki , amelynek reflexív térben a nem expanzív operátorok erősen folyamatos paramétere van . $T$

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivenni a Wikipedia cikket angolul című „ ergodikus elmélet ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) Mr. Reed (in) és Simon B. , Functional Analysis , San Diego, Academic Press, 1980 ( ISBN 978-0-12585050-6 )
(in) Peter Walters, Bevezetés az ergodikus elmélet , Springer, New York, 1982 ( ISBN 0-387-95152-0 )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Dunford-Schwartz tétel
Tétel egyenlő eloszlás (en)

Külső hivatkozás

(en) George D. Birkhoff , az ergodikus tétel igazolása , Proc. NAS 17 (1931), 656-660