Cső (matematika)

A geometria , a cső egy orientált és paraméterezett felülete a , általánosítása hengerek és tori . Legyen c, egy görbe térben és . A cső sugarú r körül c a felület által súrolt sugarú kör r rajzolni a merőleges síkban , hogy c . Szigorúan véve a cső nem merült felszín. Az alábbiakban definiált paraméterezés csak kis r értékek beágyazása . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ $r> 0$

Beállítás

Tegyük fel, hogy az ív c nincs inflexiós pont , és paraméterezhető a görbe vonalú abszcissza . A normál sík a sebességvektorral merőleges vektorsík , vagyis a vektor által létrehozott sík: $c (s)$ ${\ displaystyle \ tau = c '}$

a normál egység , az egyedi egység vektor pozitívan kollináris , ${\ displaystyle \ nu (s)}$ ${\ displaystyle \ tau '(s)}$
és a binormál . ${\ displaystyle b (s) = \ tau (s) \ ék \ nu (s)}$

Az r sugarú euklideszi kört, amelynek középpontja a normál síkban van megrajzolva, egyszerűen a következő paraméterezzük : $c (s)$

{\ displaystyle u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Változtatásával s , kapunk egy paraméterezése a cső sugarú r körül c :

{\ displaystyle X (u, s) = u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Ha a c görbe görbületi sugara folyamatosan kisebb, mint r , akkor a kapott paraméterezés szabályos. Ez még beágyazás is .

Példák

Nem tehetünk róla, hogy megemlítjük a következő két alapvető példát:

Ha c a paraméterezése egy affin vonal , id, a V egységnyi vektor , akkor a cső sugara r körül c a henger sugarú r és szimmetriatengelye a vonal . Sajnos ebben a példában a gyorsulás nulla, és a fenti beállítás érvénytelen. ${\ displaystyle c (s) = sV + c (0)}$ $R ^ {3}$ ${\ displaystyle c (\ mathbb {R})}$
Ha c a sugár körének paraméterezése , id ahol V és W ortogonális egységvektorok, akkor a c körüli r sugarú henger egy tórusz , forgásszimmetriatengelyű . A beállítások a következők: ${\ displaystyle R> r}$ ${\ displaystyle c (s) = P + R \ cos sV + R \ sin sW}$ ${\ displaystyle P + R \ cdot V \ ék W}$

{\ displaystyle X (s, v) = P + (R \ cos sr \ cos v \ sin s) V + (R \ sin s + r \ cos v \ cos s) W + r \ sin vV \ ék W}

Egy másik példa a körözött helikoidé .

A cső fogalmát nem szabad elvont matematikai ábrának tekinteni. Ez csak számos valós tárgy idealizált paraméterezett ábrázolása, például fluoreszkáló csövek, gumik vagy kígyó. A felületen keresztüli áramlási sebesség kiszámításakor a hidraulika területén " áramcsövről " beszélünk . "

Metrikus tulajdonságok

A csövek metrikus tulajdonságait az alábbi táblázat foglalja össze:

Metrikus tulajdonság	Eredmény
Első alapvető forma	${\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = \ balra [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Terület forma	${\ displaystyle \ omega = rC \ mathrm {d} s \ ék \ mathrm {d} v}$
A második alapvető forma	${\ displaystyle \ left [- \ kappa \ cos vC + r \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Fő görbék	${\ displaystyle - {\ frac {\ kappa} {C}} \ cos (v)}$ és $\ frac {1} {r}$

A számítás részletei

A c görbét feltételezzük, hogy az ívhossz alapján paraméterezzük. A csövek metrikus kérdéseinek megközelítéséhez fontos megjegyezni a Frenet keretek levezetésének törvényeit :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ tau '\\\ nu' \\ b '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & - \ theta \\ 0 & \ theta & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ tau \\\ nu \\ b \ end {pmatrix}}}

hol a görbület és a csavar . Ezek a származtatott törvények közvetlenül beavatkoznak az első származékok kiszámításába az s és v paraméterekhez képest , amelyek szükségesek az első alapvető forma kifejezéséhez : $\kappa$ $\ theta$ ${\ displaystyle X (s, v)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges X} {\ részleges s}} = (1-r \ kappa \ cos v) \ tau (s) -r \ theta \ sin v \ nu (s) + r \ theta \ cos vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges X} {\ részleges v}} = - r \ sin v \ nu (s) + r \ cos vb (s)}

Ezután megkérdezzük:

{\ displaystyle C (s, v) = 1-r \ kappa (s) \ cos v}

Azt feltételezzük, hogy ez a mennyiség szigorúan pozitív (ez a feltétele annak, X lehet beágyazás ). Az első alapvető forma a következő:

{\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = {\ bal \ | {\ frac {\ részleges X} {\ részleges s}} \ jobb \ |} ^ {2} \ mathrm {d} s ^ { 2} +2 \ bal \ langle {\ frac {\ részleges X} {\ részleges s}} {\ Bigg |} {\ frac {\ részleges X} {\ részleges v}} \ jobb \ rangle \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + {\ bal \ | {\ frac {\ részleges X} {\ részleges v}} \ jobb \ |} ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2} = \ balra [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}

A térfogatú formában a felszínen X írva:

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ balra [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ jobbra] \ cdot r ^ {2} - \ balra [r ^ {2} \ theta \ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} s \ ék \ mathrm {d} v = rC \ mathrm {d} s \ ék \ mathrm {d} v}

Az integrációval a felület A területét azonnal levezetjük : ${\ displaystyle \ {X (s, v) \} _ {v \ in S ^ {1}, s \ in [0, L]}}$

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r (1-r \ kappa (s) \ cos v) \ mathrm {d} v \ mathrm { d} s = 2 \ pi rL}

A második alapforma kiszámításához meg kell ismerni a normál egységvektort és az X ( s , v ) második parciális deriváltjait s és v vonatkozásában :

{\ displaystyle \ Gamma (s, v) = - \ cos v \ nu (s) - \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} X} {\ részleges v ^ {2}}} = - r \ cos v \ nu (s) -r \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ részleges ^ {2} X} {\ részleges s \ részleges v}} = r \ kappa (s) \ sin v \ tau (s) -r \ theta (ok) \ cos v \ nu (s) -r \ theta (s) \ sin (v) b (s)}

;

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ részben ^ {2} X} {\ részleges u ^ {2}}} & = r \ balra [\ kappa (s) \ theta (k) \ sin v - \ kappa '(s) \ cos v \ right] \ tau (s) \\ & + \ left [\ kappa (s) C (s, v) -r \ theta' (s) \ sin vr \ theta ( s) ^ {2} \ cos (v) \ right] \ nu (s) + r \ left [\ theta '(s) \ cos v- \ theta (s) ^ {2} \ sin v \ right] b s \ end {igazítva}}}

Az X második alapvető formája tehát meg van írva:

{\ displaystyle \ left [- \ kappa (s) \ cos vC (s, v) + r \ theta (s) ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta (s) ) \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}

A fő görbületek a szimmetrikus endomorfizmus sajátértékei :

{\ displaystyle S (s, v) = {\ kezdődik {pmatrix} C (s, v) ^ {2} + r ^ {2} \ theta (s, v) ^ {2} & r ^ {2} \ theta (s, v) \\ r ^ {2} \ theta (s, v) & r ^ {2} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} - \ kappa (s) C (s, v) \ cos v + r \ theta ^ {2} & r \ theta (s) \\ r \ theta (s) & r \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac { - \ kappa (s) \ cos v} {C (s, v)}} & 0 \\ {\ frac {\ theta (s) \ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos vr & 1 / r \ end {pmatrix}}}

Ezért ezek:

{\ displaystyle - {\ frac {\ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos v}

és

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}

Megjegyzések

Lásd pl. François Rothen, Általános fizika: a természettudományok és az élettudományok fizikája , Lausanne / Párizs, Pr. Polytechniques és egyetemek Romandie-ban,1999, 862 p. ( ISBN 2-88074-396-6 , online olvasás ) , „14. Általános információk a folyadékmechanikáról”, p. 312