Chapman-Kolmogorov-egyenlet

A valószínűségelméletben , pontosabban a markovi sztochasztikus folyamatok elméletében a Chapman-Kolmogorov-egyenlet egyenlőség, amely a sztochasztikus folyamat pályájának különböző pontjainak együttes törvényeit kapcsolja össze. Ezt az egyenletet Sidney Chapman brit matematikus és Andrej Kolmogorov orosz matematikus függetlenül bizonyította .

Tegyük fel, hogy az { f i } véletlenszerű változók sorozata, vagyis sztochasztikus folyamat. Is

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}

az f 1 ... f n változók együttes eloszlásának sűrűsége . Ezután felírjuk a Chapman - Kolmogorov egyenletet

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n-1}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n-1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) \, df_ {n}}

ami nem más, mint az utolsó marginális törvény kiszámítása .

Ne feledje, hogy a véletlenszerű változók időbeli sorrendjét nem kell feltételeznünk.

Alkalmazás Markov-láncokra

Amikor a tekintett sztochasztikus folyamat Markovianus , a Chapman-Kolmogorov-egyenlet kapcsolatossá válik az átmeneti törvények között. A Markov-láncok keretében feltételezzük, hogy i 1 <... < i n , és a Markov tulajdonságnak köszönhetően

{\ displaystyle p_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n}} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) = p_ {i_ {1}} (f_ {1}) p_ {i_ { 2}; i_ {1}} (f_ {2} \ f f_ {1}) \ cdots p_ {i_ {n}; i_ {n-1}} (f_ {n} \ f f {{1}}) ,}

ahol a feltételes valószínűségek az idők közötti átmenet valószínűségei . Így a Chapman - Kolmogorov egyenlet válik ${\ displaystyle p_ {i; j} (f_ {i} \ f f {{j})}$ ${\ displaystyle i> j}$

{\ displaystyle p_ {i_ {3}; i_ {1}} (f_ {3} \ f f {{1}) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} p_ {i_ {3}; i_ {2}} (f_ {3} \ f f {{2}) p_ {i_ {2}; i_ {1}} (f_ {2} \ f f {{1}) \, df_ {2}.}

Amikor a Markov-lánc állapottérének valószínűségi törvénye diszkrét, és a lánc homogén, a Chapman-Kolmogorov-egyenlet kifejezhető a mátrixok (esetleg végtelen dimenziók) szorzataként , a következő módon:

{\ displaystyle P (t + s) = P (t) P (s) \,}

ahol P ( t ) az átmeneti mátrix, azaz ha X t a folyamat állapota t időpontban , akkor az állapottér bármely i és j pontpárja esetén

{\ displaystyle P_ {ij} (t) = P (X_ {t} = j \ X közepe {0} = i). \,}

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivett angol Wikipedia cikket „ Chapman - Kolmogorov egyenlet ” ( lásd a szerzők listája ) .

Kapcsolódó cikkek

Fokker-Planck- egyenlet (Kolmogorov-egyenlet)
Kolmogorov-egyenlet hátra
Markov lánc
Mesteregyenlet (fizika)
Wolfgang Döblin