Ramanujan-Nagell egyenlet

A matematika , pontosabban a szám elmélet , a Ramanujan-Nagell egyenlet egy egyenlete egy tökéletes négyzet , hogy a hatalom a két mínusz hét. Ez egy példa egy exponenciális Diophantine egyenlet , egy egyenletet kell megoldani egészek, ahol az egyik a változók közül hatványként jelenik meg. Ezt Srinivasa Ramanujanról nevezték el , aki sejtette, hogy csak öt egész megoldása van, és Trygve Nagellről , aki bebizonyította a sejtést.

Egyenlet és megoldás

Az egyenlet az

{\ displaystyle 2 ^ {n} -7 = x ^ {2}}

és az egyetlen megoldás a természetes számok n és X jelentése n = 3, 4, 5, 7 és 15.

Ezt a megoldást Srinivasa Ramanujan indiai matematikus sejtette 1913 -ban, Wilhelm Ljunggren norvég matematikus 1943-ban önállóan javasolta , és 1948-ban Trygve Nagell norvég matematikus bizonyította . A fenti n értéknek megfelelő x értékek a következők:

x = 1, 3, 5, 11 és 181.

Mersenne háromszögszámai

A 2 b - 1 ( Mersenne-szám ) alakú háromszög alakú összes szám megtalálásának problémája egyenértékű a Ramanujan-Nagell-egyenlettel:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 2 ^ {b} -1 = {\ frac {y (y + 1)} {2}} \ Longleftrightarrow & \ 2 ^ {b + 3} -8 = 4y ^ {2 } + 4y \\\ Longleftrightarrow & \ 2 ^ {b + 3} -7 = (2y + 1) ^ {2}. \ Vége {igazítva}}}

A b értéke ebben az egyenletben csak a Ramanujan-Nagell egyenletben szereplő n - 3 értéke , és a megfelelő háromszög alakú Mersenne-számok (más néven Ramanujan-Nagell-számok ):

{\ displaystyle {\ frac {y (y + 1)} {2}} = {\ frac {(x-1) (x + 1)} {8}}}

az X = 1, 3, 5, 11 és 181, ami 0, 1, 3, 15 és 4095 (folytatása A076046 a OEIS-ben ).

Ramanujan-Nagell típusú egyenletek

A forma egyenlete

{\ displaystyle x ^ {2} + D = AB ^ {n}}

a D , A , B rögzített és ismeretlen X , n azt mondják, hogy a Ramanujan-Nagell típusú . Carl Siegel eredménye arra utal, hogy a megoldások száma minden esetben véges. Az A = 1, B = 2 egyenletnek legfeljebb két megoldása van, kivéve, ha D = 7. A D értékeinek végtelen értéke létezik, amelyekre csak két megoldás létezik.

Lebesgue-Nagell típusú egyenletek

A forma egyenlete

{\ displaystyle x ^ {2} + D = Ay ^ {n}}

a D , A rögzített és ismeretlen x , y , n azt mondják, hogy az a Lebesgue-Nagell típusú . Ezeket az egyenleteket Victor-Amédée Lebesgue nevéről nevezték el , aki bebizonyította, hogy az egyenlet

{\ displaystyle x ^ {2} + 1 = y ^ {n}}

nincs nem-triviális megoldás, ha n egy prímszám .

Shorey és Tijdeman eredményei azt sugallják, hogy a megoldások száma minden esetben véges. Bugeaud, Mignotte és Siksek megoldották az ilyen típusú egyenleteket A = 1 és 1 ≤ D ≤ 100- mal . Különösen a Ramanujan-Nagell egyenlet következő általánosítása

{\ displaystyle y ^ {n} -7 = x ^ {2}}

csak akkor van egész megoldása, ha x = 1, 3, 5, 11 vagy 181.

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben a „ Ramanujan - Nagell egyenlet ” című angol Wikipedia cikkből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(a) S. Ramanujan, " kérdés 464 " , J. Indián Math. Soc. , vol. 5,1913, P. 130.
(nem) W. Ljunggren , " Oppgave nr 2 " , Norsk Mat. Tidsskr. , vol. 25,1943, P. 29..
(nem) T. Nagell, " Løsning till oppgave nr 2 " , Norsk Mat. Tidsskr. , vol. 30,1948, P. 62-64.
(in) T. Nagell, " A Diophantine-egyenlet x 2 + 7 = 2 n " , Ark. Árboc. , vol. 30,1961, P. 185-187 ( DOI 10.1007 / BF02592006 ).
(en) N. Saradha és Anitha Srinivasan , Diophantine Equations , Narosa,2008, 308 p. ( ISBN 978-81-7319-898-4 ) , "Általánosított Lebesgue-Ramanujan-Nagell egyenletek" , p. 207–223 : p. 208 .
Saradha és Srinivasan 2008 , p. 207.
M. Lebesgue: " Az x m = y 2 + 1 egyenlet egész számokban való lehetetlenségéről ", Nouv. Ann. Math. , 1 st sorozat, vol. 9,1850, P. 178-181 ( online olvasás ).
Pascal Boyer, a számok és kísérőik kis társa , Párizs / 58-Clamecy, Calvage és Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , V. Diophantine egyenletek, fej. 3.1 („Lebesgue-egyenlet”), p. 487.
(in) TN Shorey és R. Tijdeman , Exponenciális Diophantine egyenletek , repülés. 87, Cambridge / London / New York stb., Cambridge University Press ,1986, 240 p. ( ISBN 0-521-26826-5 , zbMATH 0606.10011 ) , p. 137-138.
Saradha és Srinivasan 2008 , p. 211.
(in) Yann Bugeaud, Mauritius Mignotte és Samir Siksek, "Az exponenciális Diophantine-egyenletek klasszikus és moduláris megközelítései II. A Lebesgue-Nagell-egyenlet ” , Compos. Math. , vol. 142,2006, P. 31–62 ( DOI 10.1112 / S0010437X05001739 , online olvasás ).

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Ramanujan téri egyenlete ” , a MathWorld- on
(en) G. Myerson: „ Lehet-e N 2 + N - 2 a 2 hatalma? » , A mathforum.org oldalon ,2002