Gauss-Codazzi egyenletek
A Riemann-geometria , a Gauss-Codazzi-Mainardi egyenletek alapvető egyenletek keretein belül az elmélet hiperfelületek meríteni egy euklideszi térben , és általánosabban részsokaságok egy Riemann sokrétű . Alkalmazhatók egy ál-Riemann-sokaságba merített hiperfelületek esetére is .
A klasszikus felületgeometriában a Gauss-Codazzi-Mainardi egyenletek pár egyenletből állnak. Az első egyenlet, amelyet néha Gauss- egyenletnek hívnak , a felület belső görbületét (vagy Gauss-görbületét ) a Gauss-térkép deriváltjaihoz kapcsolja , a második alapformán keresztül . Ez az egyenlet a Gauss-féle tétel ( egregium) alapja . A második egyenlet, amelyet néha Codazzi-Mainardi egyenletnek hívnak , a Gauss-térkép második deriváltjainak szerkezeti feltétele. Ez az egyenlet magában foglalja a felület külső görbületét (vagy átlagos görbületét ). Ezek az egyenletek azt mutatják, hogy a második alapforma alkotóelemei és származékai teljes egészében a felületet osztályozzák egy euklideszi transzformációig , amely Pierre-Ossian Bonnet egyik tételének felel meg .
Hivatalos nyilatkozat
Legyen i: M ⊂ P egy n- dimenziós részváltozat, amely egy n + p dimenziójú Riemann-féle P sokaságba merül . Létezik egy természetes felvételét a érintőnyalábbal az M , hogy a P , és a cokernel a normális köteg az M :
0→TxM→TxP|M→Tx⊥M→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}A mutató a következő pontos hatást adja :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Ezt a sorrendet követve a P Levi-Civita kapcsolata ∇ ′ tangenciális komponensre és normál komponensre bomlik. Minden egyes X ∈ T M és a vektor mező Y a M ,
∇x′Y=⊤(∇x′Y)+⊥(∇x′Y).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Is
∇xY=⊤(∇x′Y),α(x,Y)=⊥(∇x′Y).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}Gauss képlete ekkor biztosítja, hogy ∇ X az M Levi-Civita kapcsolata , és α egy szimmetrikus vektor- differenciál forma, amelynek értéke a normál csomagban van.
Közvetlen következménye a Gauss-egyenlet. A X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(x,Y)Z,W⟩=⟨R(x,Y)Z,W⟩+⟨α(x,Z),α(Y,W)⟩-⟨α(Y,Z),α(x,W)⟩{\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}ahol R jelentése a görbületi tenzor P és R jelentése a M .
A Weingarten-egyenlet a Gauss-képlet analógja a kapcsolathoz a normál csomagban. Legyen X ∈ T M és ξ normál vektorok mezője. Ezután elbontjuk a kovariáns származékot a ξ a X a normális és a tangenciális komponens:
∇xξ=⊤(∇xξ)+⊥(∇xξ)=-NÁL NÉLξ(x)+Dx(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Így
-
Weingarten-egyenletek :⟨NÁL NÉLξx,Y⟩=⟨α(x,Y),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X egy metrikus kapcsolat (en) a normál csomagban.
Ezért van néhány kapcsolat: ∇, amelyet az M érintőkötegén határozunk meg ; és D , az M normál kötegére állítva . Ez a két együtt ad egy kapcsolat bármilyen tenzor terméke T M és T ⊥ M . Különösen teljes mértékben meghatározzák az α kovariáns származékát:
(∇~xα)(Y,Z)=Dx(α(Y,Z))-α(∇xY,Z)-α(Y,∇xZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ bal (\ alpha (Y, Z) \ jobb) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alfa (Y, \ nabla _ {X} Z).}A Codazzi-Mainardi egyenlet megadja
⊥(R′(x,Y)Z)=(∇~xα)(Y,Z)-(∇~Yα)(x,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alfa) (X, Z).}
A klasszikus egyenletek megállapítása
A klasszikus differenciálgeometriában a Codazzi-Mainardi egyenleteket általában a második alapvető formával fejezik ki:
ev-fu=eΓ12.1+f(Γ12.2-Γ11.1)-gΓ11.2{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
fv-gu=eΓ22.1+f(Γ22.2-Γ12.1)-gΓ12.2{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
A klasszikus egyenletek igazolása
A paraméterezett felület (in) második származékai kifejezhetők az alapban, valamint a Christoffel-szimbólumokban és a második alapvető formában.
(xu,xv,NEM){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
xuu=Γ11.1xu+Γ11.2xv+eNEM{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
xuv=Γ12.1xu+Γ12.2xv+fNEM{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
xvv=Γ22.1xu+Γ22.2xv+gNEM{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
A Schwarz-tétel szerint a következő részleges származékok ingáznak:
(xuu)v=(xuv)u{\ displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Ha megkülönböztetünk v-t és u-t, megkapjuk:
xuu{\ displaystyle X_ {uu}}xuv{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ11.1)vxu+Γ11.1xuv+(Γ11.2)vxv+Γ11.2xvv+evNEM+eNEMv=(Γ12.1)uxu+Γ12.1xuu+(Γ12.2)uxv+Γ12.2xuv+fuNEM+fNEMu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ jobbra) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ balra (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ jobbra) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ balra (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ jobbra) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Ha ezután a fenti kifejezéseket helyettesítjük a második deriváltakkal, és megegyezünk az N együtthatóival:
fΓ11.1+gΓ11.2+ev=eΓ12.1+fΓ12.2+fu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}a feltételek átrendezésével megtaláljuk az első Codazzi-Mainardi egyenletet.
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy teljes egészében kivett
angol Wikipedia cikk címe
: „ Gauss-egyenletek Codazzi ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
-
Gaspare Mainardi (de) (1856) és Delfino Codazzi (1868-1869) tiszteletére , akik függetlenül megtalálták ezt az eredményt. Vö. (En) Morris Kline (en) , Matematikai gondolkodás az ókortól a modern időkig: 3. kötet , OUP , 1972, 399 p. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , online olvasás ) , p. 885.
-
Ossian Bonnet , „ Emlékirat az adott felületre alkalmazható felületek elméletéről ”, JEP , vol. 25,1867, P. 31-151
-
Terminológia (in) Michael Spivak , (átfogó bevezetés a differenciális geometriához) [ kiskereskedelmi kiadások ], repülés. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">