A matematika , egy affin közelítés egy közelítése egy funkciót a szomszédságában egy pont segítségével affin függvény . Az affin közelítést elsősorban olyan probléma egyszerűsítésére használják, amelyre megközelítő megoldást lehet találni.
A függvény affin közelítésének megszerzésének két klasszikus módja az interpoláció vagy az 1. sorrendre korlátozott kiterjesztés .
Ha egy f függvényt definiálunk és folytatunk egy [ a , b ] intervallumon keresztül , és amelynek értékét ismerjük a határértékeken, akkor a függvény görbéjét az egyenlet húrjával közelíthetjük meg
.Ha a funkció az osztály C 2 , a értéke közötti különbség a funkció és a affin közelítés interpolációval vezérli egy felső határa a abszolút értéke a második derivált: ha akkor minden x ∈ [ a , b ] mi van
.Ez a megfogalmazás, valamint az egyenlőtlenség továbbra is érvényes az [ a , b ] intervallumon kívül , amennyiben a második derivált növekedése is érvényes . Átadásával a határértéket a b hogy egy , megkapjuk az affin közelítés korlátozott kiterjesztése az alábbiakban.
Affine interpolációt használunk különösen annak meghatározására, a trapéz módszer a numerikus integrálása .
Adott egy valós változó differenciálható f függvénye és egy valós a , az ε függvény, amelyet definiált
ellenőrzött
ε-t hívjuk a többinek . Ez a képlet Taylor-képletének speciális eseteként jelenik meg ( n = 1) : ez az 1. sorrend korlátozott kiterjesztése .
Az affin f közelítését úgy kapjuk meg, hogy ezt a maradékot elhanyagoljuk. A funkció akkor minősül affin közelítése f at egy .
Ezután írási, az x a szomszédságában egy :
A kifejezés a jobb oldali görbe az y ' = f ( a ) + F' ( a ) ( x - a ) a tangens a görbe képviselője az F pontnál ( a , f ( a )) , és a Ezért egyesek ezt a módszert tangens közelítésnek vagy affin tangens közelítésnek nevezik .
Az is lehetséges, hogy használja becslések a vektor függvények egy vektor változó, amelyben f ' ( a ) helyébe egy Jacobi-mátrix . A közelítés megfelel egyenes érintő , vagy egy tangenciális sík vagy egy hipersík érintőjének egyenletének . Ez vonatkozik egy komplex változó függvényeire is .
A Banach szóközök általánosabb esetben írhatunk
ahol D F ( a ) az eltérés az F a a . Itt a lineáris térkép nem más, mint D f ( a ) .
Az érintő affin közelítést különösen Newton módszerében alkalmazzák a differenciálható függvény nulláinak megközelítésére .
PéldaA 3 √ 25 hozzávetőleges értékének meghatározásához a következőket tehetjük:
A Gauss-optika egy geometriai optikai technika, amely paraxiális közelítéssel írja le a fénysugarak viselkedését az optikai rendszerekben , ahol a sugarak és az optikai tengely közötti szög nagyon kicsi. Ebben az esetben a szögektől függő, trigonometrikus függvényekkel kifejezett kifejezések lineárisan közelíthetők. A fókusztávolság, a nagyítás és a fényerő helyes közelítése így elérhető.
A nehéz inga rezgési periódusa függ a hosszától, a gravitáció intenzitásától és a θ 0 rezgés amplitúdójától , de nem a tömegtől. Az ideális esetben az egyszerű inga T periódusát egy végtelen sorozat fejezi ki pontos formájában:
A L hossza és g helyi gravitációs gyorsulás.
Kis rezgések, például a sin θ ≈ θ esetén azonban ennek a lineáris közelítésnek a figyelembevétele lehetővé teszi a következőket:
és ebben a formában már nem függ az amplitúdótól. Az izokronizmus ezen tulajdonsága az időtartam-mérések alapja.