Sugár (matematika)
A matematikában a nyaláb olyan eszköz, amely lehetővé teszi a helyileg meghatározott és a topológiai tér nyílásaihoz kapcsolódó adatok szisztematikus követését . Az adatok kisebb nyílásokra korlátozhatók, és a nyitásnak megfelelő adatok egyenértékűek az eredeti nyitást átfogó kisebb nyílásoknak megfelelő kompatibilis adatok halmazával. Például az ilyen adatok folyamatos vagy sima valós függvények gyűrűiből állhatnak, amelyeket az egyes nyitottaknál definiálnak.
A geometria , valamint a máshol algebrai geometria a differenciál geometria , a gerenda fogalom általánosítása a teljes szakaszok egy vektor köteg . Ebben az összefüggésben a csomag alapja egy algebrai változat vagy egy differenciálfajta .
A gerendákat Jean Leray vezette be az algebrai topológiába, amikor fogságban volt a második világháború alatt. Különösen Henri Cartan , Jean-Pierre Serre és Alexandre Grothendieck (akiknek köszönhetjük a prefeam kifejezést) ösztönzésére a gerendák ezután számottevő jelentőséget kaptak a matematika számos területén, ahol a adott probléma, a helyi megoldástól a globális megoldásig. Az ilyen szakasz akadályai tanulmányozhatók a gerendák kohomológiájának felhasználásával .
Előgerendák
Előszó meghatározása -
Legyen X topológiai tér és kategória. A prefeam tárgyak a X az adatok:
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- bármely nyitott U a X , egy tárgy nevű tárgya szakaszok a vonatkozó U (vagy a fenti a U );F(U)∈VS{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ itt: {\ mathcal {C}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- az U- ban foglalt bármely nyitott V esetében morfizmus , amelyet U -ról V- re restrikciós morfizmusnak nevezünk ;ρVU:F(U)→F(V){\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {F}} (V)}
![{\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {F}} (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1506721792e70286eb1eb8f150f7851ed90029e8)
mint például :
-
ρUU=idF(U){\ displaystyle \ rho _ {UU} = \ kezelőnév {id} _ {{\ mathcal {F}} (U)}}
bármely nyitott U esetén ;
-
ρWU=ρWV∘ρVU{\ displaystyle \ rho _ {WU} = \ rho _ {WV} \ circ \ rho _ {VU}}
a nyitott W ⊂ V ⊂ U összes zárványára .
F(x){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}
globális szakaszok objektumának nevezzük .
Ezzel egyenértékűen meghatározhatjuk a prefeamot, mint az X nyílásainak kategóriáját (inklúziókkal mint morfizmusokkal) ellentmondásos funkcióként .
F:U↦F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}}: U \ mapsto {\ mathcal {F}} (U)}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![\ mathcal C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
A legelterjedtebb előkeveréseknek konkrét kategóriákban vannak értékei (halmazok, csoportok, gyűrűk, vektorterek, algebrák, modulok, topológiai terek, topológiai csoportok stb. Kategóriái). Ebben az esetben az összes nyitott V ⊂ U esetében megjegyezzük:
∀s∈F(U)ρVU(s): =s|V{\ displaystyle \ összes s \ itt: {\ mathcal {F}} (U) \ quad \ rho _ {VU} (s): = s | _ {V}}![{\ displaystyle \ összes s \ itt: {\ mathcal {F}} (U) \ quad \ rho _ {VU} (s): = s | _ {V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12c3c1f854be2b98e6784f4590f0d100a0ed7cc)
és egy elem nevezzük szakasza a fenti U . Mi helyett írunk .
s∈F(U){\ displaystyle s \ itt: {\ mathcal {F}} (U)}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
Γ(U,F){\ displaystyle \ Gamma \ bal (U, {\ mathcal {F}} \ jobb)}
F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}![{\ mathcal F} (U)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8089afc31cc951f7745f3ecfa80118767b291de9)
Példák
- A prefeam alapvető példája, ahol a korlátozási morfizmusok a funkciók szokásos korlátozásai. Különösen X differenciálcsatornán (ill. Analitikus sokaságon) bármely nyitott U ⊂ X esetében az U- tól a komplexek felé határozatlanul megkülönböztethető funkciók halmaza (ill. A komplex értékekkel rendelkező analitikai függvények halmaza ) gyűrű. Ezek a gyűrűk a függvények szokásos korlátozásainak figyelembevételével képezik az X gyűrűk előcsomópontját .VS∞(U,VS){\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, \ mathbb {C})}
O(U){\ displaystyle {\ mathcal {O}} (U)}![{\ displaystyle {\ mathcal {O}} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5569fb1106ea2f1d95c5b42192dd819077f4bd3)
- Azt is fontolóra a készlet a disztribúció az eltérés sokrétű X (ill. A készlet a hyperfunctions az igazi analitikus sokrétű X ), ha ez sokrétű található véges dimenzióban és paracompact (például, ha az a kérdés, hogy egy nem üres nyílt of ); ez a halmaz egy abeli csoport. Az X elõzetes eloszlásait (ill. A hiperfunkciókat) úgy kapjuk meg, hogy figyelembe vesszük ezen eloszlások (illetõleg ezek a hiperfunkciók) korlátait az X megnyitásához .D′(x){\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime} \ bal (X \ jobb)}
B(x){\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ bal (X \ jobb)}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![\ mathbb {R} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
- A komplex síkban közönséges, lineáris és holomorf együtthatókkal rendelkező differenciálegyenletet adunk meg, ahol a nyílásokon lévő megoldások terei, elkerülve az egyenlet egyes pontjait, az l 'egyenlet nagyságrendjével megegyező dimenziójú vektorterek előterét képezik.
Az előgerendák fenti példái gerendák (lásd alább ).
Csomagolás előtti és kötegelt morfizmusok
Pre-gerendák egy sor X lehet úgy, mint tárgyak egy kategória , amelynek nyilak meghatározása a következő.
Meghatározása egy előre kéve morfizmus és a kévék morfizmus - Mivel két előre gerendák és a ugyanabban topologikus tér X , a pre-gerenda morfizmus van az adott egy család morfizmusok bármely nyitott U , oly módon, hogy minden szakasz s az a U van:
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
f:F→G{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {G}}}
f(U):F(U)→G(U){\ displaystyle f (U): {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {G}} (U)}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
f(V)(s|V)=f(U)(s)|V{\ displaystyle f (V) (s | _ {V}) = f (U) (s) | _ {V}}![f (V) (s | _ {V}) = f (U) (s) | _ {V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ea303b9d406216bbfb4e643776b509a3ec0d95)
.
A sugár morfizmusa (lásd alább ) a sugár előtti morfizmus két sugár között.
Rostok és baktériumok
Legyen egy elővezeték az X-re olyan értékekkel, amely megengedi az induktív határértékeket. A szál ( EGA , 0.3.1.6) (angol terminológia: „szár”, rúd ) az egy ponton X az X jelentése definíció tárgya induktív határértékF{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Fx=lim→U∋xF(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x} = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U)}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x} = \ varinjlim _ {U \ ni x} {\ mathcal {F}} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f924624c640734bf17dde558421fc266b68448)
,
az x-et tartalmazó összes nyílás határértéke , ezen nyílások sorrend-kapcsolata az inklúzió , az átmeneti morfizmusok pedig a restrikciós morfizmusok .
V⊂U{\ displaystyle V \ U részhalmaz
ρVU:F(U)→F(V){\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {F}} (V)}![{\ displaystyle \ rho _ {VU}: {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {F}} (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1506721792e70286eb1eb8f150f7851ed90029e8)
Ha egy konkrét létesítmény, a kanonikus kép egy részén s az is a csíra az s pontban x , megjegyezte s x .
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
Fx{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {x}}![{\ mathcal F} _ {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d72460f7036cb595f6158fd0e9e125a595cf2a)
Jegyzet. Egyes szerzők felhívták a csíra az egy ponton x úgynevezett felett szál az ezen a ponton.
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
Kötegek
A nyaláb meghatározása
Az X differenciálcsatorna függvényeinek példájával . Ezeknek a funkcióknak a korlátlanul megkülönböztethető tulajdonsága helyi . Ezért lehetséges, hogy a definíciós tartományuk metszéspontjaiban egybeeső függvényeket (beleértve azt is, ha ez a rész üres) globális függvénybe illeszteni . Ugyanez vonatkozna a folyamatos vagy általánosabban osztályfüggvényekre . Ugyanez igaz, bár kevésbé nyilvánvaló, a véges dimenziós parakompakt differenciálcsatornán történő eloszlásokra, vagy a végesdimenziós parakompakt tényleges analitikus elosztók analitikai funkcióira vagy hiperfunkcióira. Ezt a tulajdonságot szeretnénk itt általánosítani az előrepülés fogalmából.
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
VSm{\ displaystyle C ^ {m}}![C ^ {{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05dbb27482bdfc04f6f0b98c594bd4626487bc2c)
Készletköteg
Meghatározás
Feltétel egy előre köteg állítja, hogy egy köteg -
A pre- köteg készletek az X hívják köteg , amikor még nyitott V a X , unió egy család nyílások , és bármilyen családi szakaszainak nyílt , ellenőrzés:
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
{Vén}én{\ displaystyle \ {V_ {i} \} _ {I}}
{sén}én{\ displaystyle \ {s_ {i} \} _ {I}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
Vén{\ displaystyle V_ {i}}![V_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f300b83673e961a9d48f3862216b167f94e5668c)
sén|Vén∩Vj=sj|Vén∩Vj{\ displaystyle s_ {i} | _ {V_ {i} \ cap V_ {j}} = s_ {j} | _ {V_ {i} \ cap V_ {j}}}![s_ {i} | _ {{V_ {i} \ cap V_ {j}}} = s_ {j} | _ {{V_ {i} \ cap V_ {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca844bb279e3549f69fdba7e39c071daec0166d6)
van egy egységes szakaszt s az az V. olyan, hogy: .
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
s|Vén=sén{\ displaystyle s | _ {V_ {i}} = s_ {i}}![s | _ {{V_ {i}}} = s_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13077b36493a69ced9e23bffb00b67a046b4dcb5)
jegyzet
Mivel az üres család az üres nyitott terület átfedése , a fenti feltétel azt eredményezi, hogy egy szingulett.
F(∅){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ lakkozás)}![{\ mathcal F} (\ lakkozás)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3cec6554dc734954d8244898697dabdfe3523a)
Egyéb esetek
Ugyanígy definiáljuk az X topológiai téren a csoportok kötegét (ill. Az abeli csoportokból, gyűrűkből stb.), Mint olyan előköteget, amelynek X bázisa van a csoportok kategóriájában (ill. Abeli csoportok közül gyűrűk stb.), Amelyek megfelelnek a fenti feltételnek.
Csomag kategória értékeivel
Általános meghatározás
Vizsgáljuk meg egy X köteg esetét, általános értékekkel, kategóriában ( EGA , 0.3.1):
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![\ mathcal C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
A sugár általános meghatározása -
Az X fölötti előnyalábot egy kategória értékével gerendának nevezzük, ha a következő feltétel teljesül:
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}![\ mathcal C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
Bármilyen tárgy T a , egy köteg készletek.
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
U↦HomVS(T,F(U)){\ displaystyle U \ mapsto \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} \ bal (T, {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb) \ jobb)}![{\ displaystyle U \ mapsto \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} \ bal (T, {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb) \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3746ebea9cf8f20428819d1574ca9a055772ba8)
Lássunk néhány alapvető példát.
A modulok csomagban vannak
Legyen egy gyűrűsugár az X topológiai téren . A bal oldali -Modulnak egy X alapkészlet csomagot hívunk, amely a következő szerkezettel rendelkezik: bármely nyitott U esetén a gyűrű bal oldalán lévő modulusszerkezetet feltételezzük , így a restrikciós alkalmazás ( ) vagy a gyűrűvel kompatibilis modulus homomorfizmus homomorfizmus . Mindenért , átadásával az induktív határt csökkenő nyílások , a szál egy -module a bal oldalon, és az adatokat ezen rostok mindent , a szerkezete -module bal nemrégiben meghatározott, egyenértékű hogy a bal oldali -Modul .
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
M(U){\ displaystyle {\ mathcal {M}} (U)}
NÁL NÉL(U){\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U)}
M(U)↦M(V){\ displaystyle {\ mathcal {M}} (U) \ mapsto {\ mathcal {M}} (V)}
V⊂U{\ displaystyle V \ U részhalmaz
NÁL NÉL(U)↦NÁL NÉL(V){\ displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ mapsto {\ mathcal {A}} (V)}
x∈x{\ displaystyle x \ in X}
U∋x{\ displaystyle U \ ni x}
Mx{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {x}}
NÁL NÉLx{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}
x∈x{\ displaystyle x \ in X}
NÁL NÉLx{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}![{\ mathcal {M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cc2abebd45ec020509a0ec548b67c9a2cb7cecd)
Legyen a topológiai csoportok kategóriája (a morfizmusok folyamatos homomorfizmusával). Egy köteg a X az értékek egy köteg csoportok olyan, hogy minden nyitott U és az egymást átfedő és U nyílások , a topológia a csoport a legalább finom , hogy a korlátozások folyamatos . A morfizmus tárcsákon topológiai csoportok egy morfizmus tárcsákon csoportok olyan, hogy minden nyitott U , az a folyamatos ( EGA , 0.3.1.4).
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
U↦F(U){\ displaystyle U \ mapsto {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb)}
Uén⊂U{\ displaystyle U_ {i} \ U részhalmaz
F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb)}
F(U)↦F(Uén){\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb) \ mapsto {\ mathcal {F}} \ bal (U_ {i} \ jobb)}
f:F↦G{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ mapsto {\ mathcal {G}}}
f(U):F(U)↦G(U){\ displaystyle f (U): {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {G}} (U)}![{\ displaystyle f (U): {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {G}} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2595f9838d83df01fdcfd8e0df218b73318d18cc)
Meghatároznánk a topológiai gyűrűk kötegét vagy a topológiai modulok kötegét a topológiai gyűrűk kötegén is.
Általánosítás, Topos
A fenti definíció szerint a köteg egy topológikus tér nyílási kategóriájának egy adott típusának egy-egy functorja . Megfontolhatunk egy általánosabb esetet: vagy egy "kis kategória" ( azaz egy kategória, amelynek tárgyosztálya halmaz), amelybe beletartoznak a szálas termékek , és egy kategória. A prefeam az értékeiket , általában egy kontravariáns funktorhoz a férgek . Biztosíthatunk egy „Grothendieck topológia” nevű struktúrát. Ez abból áll, hogy meghatározzák minden tárgy U a „lefedő családjai” U , azaz családok morfizmusok amelyek analóg tulajdonságokat a burkolat nyitott U egy topologikus tér X egy család nyílások , a morfizmusok, ebben az esetben pedig a zárványok. A Grothendieck topológiával rendelkező kategóriát webhelynek nevezzük . A helyszínen elhelyezkedő sugarat az értékekkel a prefeam fogalmától kezdve értelemszerűen , érveléssel kezdve adjuk meg , mintha egy szokásos topológiai tér lenne, a nyitott részek kereszteződését pedig a rosttermék váltja fel. Bármilyen kategóriát hívunk toposnak, amely egyenértékű a webhely készletkészleteinek kategóriájával. A toposz fogalma általánosítja a topológiai tér fogalmát. Van azonban néhány példa, amelyek nincsenek kapcsolatban a topológiával: ha G csoport, akkor a halmazok kategóriája, amelyen G működik, toposz; a „pontos toposz”, azaz. a pontra redukált térkötegek kategóriája nem más, mint a halmazok kategóriája.
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
Uén→U{\ displaystyle U_ {i} \ - U}
Uén⊂U{\ displaystyle U_ {i} \ U részhalmaz
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}![{\ mathcal {S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d)
Legyen X objektuma . A reprezentálható functor az előbbiek szerint egy „ X által képviselt” előcsapat . A kanonikus kovariáns functor , a kategória kategóriájába tartozó halmazok tárcsái , teljes mértékben hűséges, ezért lehetővé teszi X azonosítását az elővesszővel , valamint a kategóriát a bekapcsolt előjelek kategóriájával . A „kanonikus topológiát” a legfinomabb (Grothendieck) topológiának ( azaz a leginkább átfogó családokat képviselő) definiálják, amelyek számára a reprezentálható funkciók kévék; a kanonikus topológiánál kevésbé finom (Grothendieck) topológia megválasztásával tehát azonosíthatjuk a helyszínt toposzaival.
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
hx=HomS(-,x){\ displaystyle h_ {X} = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} \ bal (-, X \ jobb)}
h:x↦hx,HomS(x,x′)∋φ↦hφ:hx(Y)∋v↦φv∈hx′(Y){\ displaystyle h: X \ mapsto h_ {X}, \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} \ left (X, X '\ right) \ ni \ varphi \ mapsto h _ {\ varphi}: h_ {X} (Y) \ ni v \ mapsto \ varphi v \ in h_ {X '} (Y)}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
hx{\ displaystyle h_ {X}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
hx{\ displaystyle h_ {X}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}![{\ mathcal {S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d)
A szórt tér gerendaszakaszai
Legyen X topológiai tér. Hívjuk bázis terjedését térben X egy pár ( E , p ), ahol E egy topologikus tér, és p egy helyi homeomorfizmus honnan E és X ( azaz bármely pontján X tartozik egy nyitott, hogy p vonatkozik homeomorphically nyílt). Bármely részhalmaza S a X , nevezzük szakasza a ( E , p ) a fenti S egy folyamatos térkép olyan, hogy az összes . , Bármely nyitott U esetén az összes szakasz ( E , p ) az U felett . Ezután ( a térképek nyílásait korlátozó morfizmussal ellátva ) egy X alapkészlet kötege van , amelyet az elterített tér szakaszainak kötegének hívunk ( E , p ). A következő eredményt mutatjuk be:
s:S→E{\ displaystyle s: S \ - E}
o(s(x))=x{\ displaystyle p (s (x)) = x}
x∈S{\ displaystyle x \ in S}
F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}
F:U↦F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}}: U \ mapsto {\ mathcal {F}} \ bal (U \ jobb)}
V⊂U{\ displaystyle V \ U részhalmaz
U→E{\ displaystyle U-tól E-ig}![{\ displaystyle U-tól E-ig}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f2b692235c550546b80a72834d12b1270c029e)
Tétel -
Az X alapkészletek bármelyik kötete izomorf a terjedő tér metszeteinek kötegéhez képest, egy izomorfizmus kivételével egyedülálló.
Meg tudjuk azonosítani a halmazok kötegét és az elterjedési teret ( E , p ), ami megmagyarázza, hogy sok szerző miért definiálja a köteget a megfelelő feltételeket kielégítő topológiai térként (ez a nézőpont Michel Lazard (de) miatt ; a fent bemutatottakat továbbfejlesztette Grothendieck).
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
Előcsomaghoz társított csomag
Vagy előgerenda. Az elősugárral társított nyalábot nevezzük olyan sugárnak, amely a következő univerzális tulajdonságú elősugarak morfizmusával van ellátva : a nyaláb bármely morfizmusa esetében létezik olyan egyedi morfizmus , amely . A társított csomag, ha létezik, egyedi. Olyan kategóriájú előkévék esetén, ahol az induktív határ létezik (például halmazok, csoportok, gyűrűk kategóriái, algebrák a gyűrűn, modulok a gyűrűn stb.), A hozzá tartozó kévék léteznek. A morfizmus izomorfizmust vált ki a szálakból .
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}
f:F→F′{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}} '}
g:F→G{\ displaystyle g: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {G}}}
g′:F′→G{\ displaystyle g ': {\ mathcal {F}}' \ - {\ mathcal {G}}}
g=g′∘f{\ displaystyle g = g '\ circ f}
f:F→F′{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}} '}
fx:Fx→Fx′{\ displaystyle f_ {x}: {\ mathcal {F}} _ {x} \ - {\ mathcal {F}} _ {x} '}![{\ displaystyle f_ {x}: {\ mathcal {F}} _ {x} \ - {\ mathcal {F}} _ {x} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb591eeb2e1109f0a45d8e4b70abd1606146b12b)
A kéve épített kifejezetten az alábbiak szerint abban az esetben, ha a prefeam definiált a topológiai tér X , olyan értékekkel rendelkezik egy konkrét kategóriába, ahol az induktív határérték létezik: még nyitott U az X , azaz a beállított funkciók s ' of U a diszjunkt unióban úgy, hogy mindenki számára, és nyílt V szomszédja van x-nek , és olyan, amely mindenki számára . Ekkor a csomag kapcsolódik a . Nyilvánvaló okokból is nevezik a szakaszok a köteg az . Ha köteg, akkor a morfizmus izomorfizmus.
F′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F′(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} '(U)}
∐x∈UFx{\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {x \ in U} {\ mathcal {F}} _ {x}}
x∈U,s′(x)∈Fx{\ displaystyle x \ U-ban, s '(x) \ in {\ mathcal {F}} _ {x}}
V⊂U{\ displaystyle V \ U részhalmaz
s∈F(V){\ displaystyle s \ itt: {\ mathcal {F}} (V)}
sy=s′(y){\ displaystyle s_ {y} = s '(y)}
y∈V{\ displaystyle y \ V-ben}
F′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
f:F→F′{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}} '}![{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0ab06c02d2927d98169a786265d2490d5f4afb)
Indukált gerenda
Szakasz bármely készlet felett
Vagy X egy metrizálható topologikus tér S része X , és egy bázis gerenda X . A készlet a szakaszok feletti S határozza
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F(S){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (S)}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
F(S)=lim⟶U⊃SF(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left (S \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ supset S} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {F}} \ left (U \ right )}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ left (S \ right) = \ lim \ limits _ {\ underset {U \ supset S} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {F}} \ left (U \ right )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d4f7853a8d9f28a0c9e0aab192ddc8e40b5b83)
azaz az S fölötti szakasz az S nyílt szomszédságában meghatározott metszetcsíra .
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
Sugár indukálta bármely szettet
Definiáljuk a kiváltott nyaláb a S a következőképpen , jelöljük : bármely részhalmaza V a S , viszonylag nyitott tekintetében S , a készlet annak szakaszok feletti V egybeesik .
F|S{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ bal \ vert S \ jobb.}
(F|S)(V){\ displaystyle ({\ mathcal {F}} \ bal \ vert S \ jobb.) (V)}
F(V){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (V)}![{\ mathcal F} (V)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed650103ee7a63be048d8e2354b184d2a317160)
Példák
- Let A lennie egy nem üres halmaz, X topologikus tér, és a prefeam az X által meghatározott bármely nyitott U nemüres az X és a korlátozás morfizmusok hogy minden egyenlő a személyazonosságát . Mert , és ez az úgynevezett presheaf állandó presheaf rost A vonatkozó X . Van , egy szakasz egy pontján egy csatolt a nyitott U , más szóval ez egy állandó térkép az U az A , vagy a térkép a forma , amely, mint térkép , állandó. Megjegyzendő, hogy ha és két különálló nyílás, és ha és két szakaszból meghatározott sorrendben a és van általában nem konstans függvényt meghatározni , amely egybeesik a és a , kivéve, ha egy egyelem¶; ennek az esetnek a megsemmisítésével a szóban forgó előtétköteg tehát nem köteg, amint az X-ben két különálló nyílás létezik , vagyis amikor X nem redukálhatatlan topológiai tér . A terjedési hely az, amikor A- t diszkrét topológiával látják el. Ezt a helyet azonosítják az elősugárral társított sugárral . Bármely nyitott U az X , a folytonos sorozata térképek, más szóval a helyi állandó térképek az U az A ( állandók , ha U van csatlakoztatva ). Ez a sugár úgynevezett egyetlen fény bázissal X és rost A (egyes szerzők nevezik állandó gerenda bázissal X és rost A terminológiát, amely félrevezető lehet, mivel a szakaszok általában nem konstans függvény, sőt, mi határozza meg a helyi állandó gerenda , de van egy másik jelentése).F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F(U)=NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) = A}
F(∅)={nál nél}⊂NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ varnothing) = \ left \ {a \ right \} \ A részhalmaz
ρVU{\ displaystyle \ rho _ {VU}}
éndNÁL NÉL{\ displaystyle Id_ {A}}
x∈x,Fx=NÁL NÉL{\ displaystyle x \ X-ben, {\ mathcal {F}} _ {x} = A}
∐x∈xFx=x×NÁL NÉL{\ displaystyle \ coprod \ nolimits _ {x \ in X} {\ mathcal {F}} _ {x} = X \ szor A}
s∈F(U){\ displaystyle s \ itt: {\ mathcal {F}} (U)}
U→x×NÁL NÉL{\ displaystyle U \ -tól X-szer A-szoros}
x↦(x,nál nél){\ displaystyle x \ mapsto (x, a)}
U→NÁL NÉL{\ displaystyle U \ to A}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}
s1{\ displaystyle s_ {1}}
s2{\ displaystyle s_ {2}}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}
s{\ displaystyle s}
V1∪V2{\ displaystyle V_ {1} \ csésze V_ {2}}
s1{\ displaystyle s_ {1}}
V1{\ displaystyle V_ {1}}
s2{\ displaystyle s_ {2}}
V2{\ displaystyle V_ {2}}
x×NÁL NÉL{\ displaystyle X \ alkalommal A}
F′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F′(U)=Γ(F′,U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} '(U) = \ Gamma (F', U)}
U→NÁL NÉL{\ displaystyle U \ to A}![{\ displaystyle U \ to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843532950376dad330a3072c93b52d2dd19063ba)
- Ugyanígy meg lehet határozni az X topológiai térbe behatárolt valós függvények előterét is, de ez az előtag általában nem nyaláb, mert a határ nem lokális tulajdonság. A szakasz az U korlátos függvénye , és így az X függvénykötegének gerenda szakaszai helyileg korlátozódnak az X-re . Ez akkor esik egybe, ha, és csak akkor, ha az X bármely nyitott család általi átfedéséből kivonhatunk egy véges fedettséget, azaz ha X kvázi kompakt tér .F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
s∈F(U){\ displaystyle s \ itt: {\ mathcal {F}} (U)}
F′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} '}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- A levezethető függvények köteget alkotnak, akárcsak a függvények vagy a holomorfok, mint az eloszlások, a hiperfunkciók stb. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ezúttal ezen objektumok meghatározása helyi, és hogy „ragasztással” lokálisról globálisra léphetünk.VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
![C ^ {\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
- Hadd p legyen egy fix pont egy külön topologikus tér X és E egy sor. Meghatározhatunk egy előszót, amely egy nyitott U-hoz társítja az E-t, ha U egyébként p-t és egy szingulettet tartalmaz . A restrikciós térképe U a V az identitás, illetve a kizárólagos alkalmazása E a Singleton következő tagságának p hogy U és V . Ellenőrizzük, hogy ez egy gerenda, az úgynevezett "felhőkarcoló". Az ebben a csomagban lévő rost a szingulett, ha x eltér p-től, és E, ha x = p .Eo{\ displaystyle E_ {p}}
{nál nél}{\ displaystyle \ left \ {a \ right \}}
{nál nél}{\ displaystyle \ left \ {a \ right \}}
x{\ displaystyle x}
{nál nél}{\ displaystyle \ left \ {a \ right \}}![\ bal \ {a \ jobb \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a59d1671b718dfe027e192bf89be11fa4b070c)
- Egy kategóriában , amelynek Grothendieck-topológiája kevésbé finom, mint a kanonikus topológia, vagyis ennek a kategóriának a tárgya: akkor egy köteg van a helyszínen , amint azt fentebb említettük.S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
x{\ displaystyle X}
hx=HomS(-,x){\ displaystyle h_ {X} = \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {S}} (-, X)}
S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}![{\ mathcal {S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d)
Közvetlen kép és fordított kép
Legyen egy folytonos térkép két topológiai tér között. Vagy be van kapcsolva egy előnyaláb . A kép közvetlen által a pre-gerenda, mely minden nyitott a társult , az alkalmazások a korlátozások nyilvánvaló. Ha egy gerenda, akkor az is .
f:x→Y{\ displaystyle f: X \ - Y}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
x{\ displaystyle X}
f{\ displaystyle f}
f∗(F){\ displaystyle f _ {*} ({\ mathcal {F}})}
U{\ displaystyle U}
Y{\ displaystyle Y}
F(f-1(U)){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f ^ {- 1} (U))}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
f∗F{\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {F}}}![f _ {*} {\ mathcal F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47cfc4575c0579289f37edf1aac078462741b99)
A fordított kép felépítése finomabb. Legyen elősugár bekapcsolva , olyan kategóriájú értékekkel, ahol az induktív határérték létezik. Bármilyen nyitott a , amit társítani az induktív határa ha W bejárja a csoport nyílás Y tartalmazó . Mikor van fénysugár, ez a módszer általában nem ad fénysugarat, és definíció szerint ez az elősugárhoz tartozó nyaláb.
f-1G{\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
Y{\ displaystyle Y}
U{\ displaystyle U}
x{\ displaystyle X}
G(W){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (W)}
f(U){\ displaystyle f (U)}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
f-1G{\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}![f ^ {{- 1}} {\ mathcal G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a36121bcf46bedbfe1e77c280a27dacc246bca22)
A közvetlen kép és a fordított kép konstrukciói a következő irányba kerülnek: Legyen , legyen köteg , illetve. Tehát kanonikus bijekciónk van és között .
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
x{\ displaystyle X}
Y{\ displaystyle Y}
Hom(f-1G,F){\ displaystyle \ mathrm {Hom} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}})}
Hom(G,f∗F){\ displaystyle \ mathrm {Hom} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}![{\ mathrm {Hom}} ({\ mathcal G}, f _ {*} {\ mathcal F})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36674e263376bc4e98b5be29f9036dffb49f2865)
Injektív morfizmusok és surjektív morfizmusok
A gerenda morfizmus szóló jelentése injektív , ha injektıv minden nyitott az . Ez szürjektıv ha a szál morfizmusok vannak szürjektıv. Injektıv morfizmusok pontosan monomorphisms kategóriában az on-tárcsákon és szürjektıv morfizmusok pontosan epimorphisms ebben a kategóriában.
f:F→G{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {G}}}
x{\ displaystyle X}
F(U)→G(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ - {\ mathcal {G}} (U)}
U{\ displaystyle U}
x{\ displaystyle X}
fx:Fx→Gx{\ displaystyle f_ {x}: {\ mathcal {F}} _ {x} \ - {\ mathcal {G}} _ {x}}
x{\ displaystyle X}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Kernel, kép, hányados
Legyen morfizmusa az abeli csoportok (vagy a bal oldalon lévő -Modulok, ahol egy X alapú gyűrűköteg) kötegeinek morfizmusa egy topológiai térben .
f:F→G{\ displaystyle f: {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {G}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
x{\ displaystyle X}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- A rendszermag az a kéve által meghatározott .Kerf{\ displaystyle {\ rm {Ker}} f}
f{\ displaystyle f}
U→Kerf(U){\ displaystyle U \ to {\ rm {Ker}} f (U)}![U \ - {{\ rm {Ker}}} f (U)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f375f3d1a4596df3ccc60560275f06c97a4cff8)
- A kép a a nyaláb kapcsolódó pre-nyaláb .énmf{\ displaystyle {\ rm {Im}} f}
f{\ displaystyle f}
U→énmf(U){\ displaystyle U \ to {\ rm {Im}} f (U)}![U \ - {{\ rm {Im}}} f (U)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb8e0a3cb8b8d22d6ec271db2853c0cba00e0f9b)
- A cokernel az a köteg társított prefeamVSokerf{\ displaystyle {\ rm {Coker}} f}
f{\ displaystyle f}
U→VSokerf(U)=G(U)/(énmf(U)).{\ displaystyle U \ to {\ rm {Coker}} f (U) = G (U) / ({\ rm {Im}} f (U)).}
A kategória kéve Abel-csoportok (ill. Of -Modules a bal oldalon) X egy Abel-kategória , és mi a pontos sorrend
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
0⟶Kerf⟶F⟶fG⟶VSokerf⟶0{\ displaystyle 0 \ longrightarrow {\ rm {Ker}} f \ longrightarrow {\ mathcal {F}} {\ overset {f} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {G}} \ longrightarrow {\ rm {Coker}} f \ longrightarrow 0}![{\ displaystyle 0 \ longrightarrow {\ rm {Ker}} f \ longrightarrow {\ mathcal {F}} {\ overset {f} {\ longrightarrow}} {\ mathcal {G}} \ longrightarrow {\ rm {Coker}} f \ longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3c644918aebb94079c980d6b5cd2fd66c21a09)
.
- Különösen, ha egy részköteg felvétele , akkor annak kokszja a par hányadosa . Ezt a hányadost jelöljük . Általánosságban különbözik attól, mert a "szekciófunkció" nem pontos (a bal oldalon van, de általában nem a jobb oldalon). Másrészről egyenlőek vagyunk a szálakkal szemben, mert af{\ displaystyle f}
F⊆G{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq {\ mathcal {G}}}
G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
G/F{\ displaystyle {\ mathcal {G}} / {\ mathcal {F}}}
(G/F)(U)=Γ(U,G/F){\ displaystyle ({\ mathcal {G}} / {\ mathcal {F}}) (U) = \ Gamma (U, {{\ mathcal {G}} / F})}
G(U)/F(U)=Γ(U,G)/Γ(U,F){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (U) / {\ mathcal {F}} (U) = \ Gamma (U, {\ mathcal {G}}) / \ Gamma (U, {\ mathcal {F} })}
Γ(U,-){\ displaystyle \ Gamma (U, -)}
Gx/Fx=(G/F)x{\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {x} / {\ mathcal {F}} _ {x} = ({\ mathcal {G}} / {\ mathcal {F}}) _ {x}}![{{\ mathcal G}} _ {x} / {{\ mathcal F}} _ {x} = ({{\ mathcal G}} / {{\ mathcal F}}) _ {x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8164a5b7d9bc3365ec71322187dcccb38d463d13)
Γx=limU∋x⟶Γ(U,-){\ displaystyle \ Gamma _ {x} = \ lim \ limits _ {_ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} \ Gamma \ left (U, - \ right)}![{\ displaystyle \ Gamma _ {x} = \ lim \ limits _ {_ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} \ Gamma \ left (U, - \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be829b3fe75801cd396d335ffaa0357a2e57f09b)
pontos, ezért a következők helytállóak
0⟶(Kerf)x⟶Fx⟶fxGx⟶(VSokerf)x⟶0{\ displaystyle 0 \ longrightarrow \ left ({\ rm {Ker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow {\ mathcal {F}} _ {x} {\ overset {f_ {x}} {\ longrightarrow} } {\ mathcal {G}} _ {x} \ longrightarrow \ left ({\ rm {Coker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow 0}![{\ displaystyle 0 \ longrightarrow \ left ({\ rm {Ker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow {\ mathcal {F}} _ {x} {\ overset {f_ {x}} {\ longrightarrow} } {\ mathcal {G}} _ {x} \ longrightarrow \ left ({\ rm {Coker}} f \ right) _ {x} \ longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5915853c5e765898bb0832499ce768bbb608b017)
.
Csomó homomorfizmus csíra
Hagyja a gerendát gyűrűk egy topologikus tér X és , két -modules maradt X . Az előgerenda
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
U↦HomNÁL NÉL|U(L|U,M|U){\ displaystyle U \ mapsto {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ left \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ balra. {\ mathcal {M}} \ jobbra \ vert U \ jobbra}}![{\ displaystyle U \ mapsto {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ left \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ balra. {\ mathcal {M}} \ jobbra \ vert U \ jobbra}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00e16e8683f5508582b570b16d1f87c0d146b36)
egy köteg Abel-csoportok jelöljük , és az úgynevezett kéve csírái homomorphisms az a . Mindenre van
HomNÁL NÉL(L,M){\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra)}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
x∈x{\ displaystyle x \ in X}![x \ X-ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
HomNÁL NÉL(L,M)x=limU∋x⟶HomNÁL NÉL(L,M)(U)=limU∋x⟶HomNÁL NÉL|U(L|U,M|U).{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) _ {x} = \ lim \ limits _ { _ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) \ balra (U \ jobbra) = \ lim \ korlátozza _ {_ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ balra \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ left. {\ mathcal {M}} \ right \ vert U \ right).}![{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) _ {x} = \ lim \ limits _ { _ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ left ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) \ balra (U \ jobbra) = \ lim \ korlátozza _ {_ {\ overset {\ longrightarrow} {U \ ni x}}} {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal {A}} \ balra \ vert U \ right.} \ left (\ left. {\ mathcal {L}} \ right \ vert U, \ left. {\ mathcal {M}} \ right \ vert U \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746b8f7931658063dd0aa2d6abf1e3aa071f19d1)
Bármelyiket . A magot mondjuk ,, ahol U az x nyílt szomszédsága . Mivel , rostmorfizmust vált ki . Ezért van kanonikus alkalmazás
fx∈HomNÁL NÉL(L,M)x{\ displaystyle f_ {x} \ in {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathcal {A}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) _ {x}}
fx{\ displaystyle f_ {x}}
fU:L(U)→M(U){\ displaystyle f_ {U}: {\ mathcal {L}} \ balra (U \ jobbra) \ - {\ mathcal {M}} \ balra (U \ jobbra)}
f(Lx)⊂Mx{\ displaystyle f \ left ({\ mathcal {L}} _ {x} \ right) \ subset {\ mathcal {M}} _ {x}}
f{\ displaystyle f}
f|x:Lx→Mx{\ displaystyle \ left.f \ right \ vert _ {x}: {\ mathcal {L}} _ {x} \ - {\ mathcal {M}} _ {x}}![{\ displaystyle \ left.f \ right \ vert _ {x}: {\ mathcal {L}} _ {x} \ - {\ mathcal {M}} _ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e94f33e53b891785f3c9027d2e85338eab37471)
Hom(L,M)x→HomNÁL NÉLx(Lx,Mx){\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) _ {x} \ - {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal { A}} _ {x}} \ balra ({\ mathcal {L}} _ {x}, {\ mathcal {M}} _ {x} \ jobbra)}![{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} \ balra ({\ mathcal {L}}, {\ mathcal {M}} \ jobbra) _ {x} \ - {\ rm {Hom}} _ {{\ mathcal { A}} _ {x}} \ balra ({\ mathcal {L}} _ {x}, {\ mathcal {M}} _ {x} \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08cc84c2d39449f6bbed126e3e1cb27e359c363)
amely általában nem injektív és nem szurjektív (ez bijektív, ha „koherens sugár”).
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}![{\ mathcal {L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9027196ecb178d598958555ea01c43157d83597c)
Gerendatenzoros termék
Legyen egy gyűrűköteg az X topológiai térben , a -Modul a jobb oldalon és a -Modul a bal oldalon. Felhívjuk a tenzor termék a és a kéve megjegyezte Abel-csoportok által létrehozott prefeam . Ennek a kötegnek a rostja az abeli csoport
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
L⊗NÁL NÉLM{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {A}} {\ mathcal {M}}}
U↦L(U)⊗NÁL NÉL(U)M(U){\ displaystyle U \ mapsto {\ mathcal {L}} \ bal (U \ jobb) \ otimes _ {{\ mathcal {A}} \ bal (U \ jobb)} {\ mathcal {M}} \ bal (U \ jobb)}
x∈x{\ displaystyle x \ in X}![x \ X-ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
(L⊗NÁL NÉLM)x=Lx⊗NÁL NÉLxMx{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {A}} {\ mathcal {M}} \ right) _ {x} = {\ mathcal {L}} _ {x} \ otimes _ {{\ mathcal {A}} _ {x}} {\ mathcal {M}} _ {x}}![{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {A}} {\ mathcal {M}} \ right) _ {x} = {\ mathcal {L}} _ {x} \ otimes _ {{\ mathcal {A}} _ {x}} {\ mathcal {M}} _ {x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad10de7847490ef9cfcb069d5551943cc3f0317)
.
A gerendák típusa
Három gerendatípust mutatunk be alább: a petyhüdt és a puha gerendákat, amelyeket Godement vezetett be, valamint a finom gerendák fogalmát (korábban Henri Cartan vezette be ).
Laza gerendák
Definíció és általános tulajdonságok
- Legyen egy köteg az X topológiai téren , konkrét kategóriájú értékekkel. Ez kéve az ernyedt ha bármely nyitott U az X , a korlátozás morfizmus van szürjektıv.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F(x)↦F(U){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X) \ mapsto {\ mathcal {F}} (U)}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X) \ mapsto {\ mathcal {F}} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80da7d710fe0b163dc47bd6c8583c2959ce99884)
- Az a tény, hogy a gerenda ernyedt, helyi tulajdonság. Következésképpen petyhüdt akkor és csak akkor, ha mindenki számára nyitott , az alkalmazás túlzott.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
U,V,V⊂U{\ displaystyle U, V, V \ U részhalmaz
F(U)↦F(V){\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {F}} (V)}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (U) \ mapsto {\ mathcal {F}} (V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65010cac5357c0782452a8b75dbe39a73da087d7)
- Bármely nyitott U esetében a „szekciófunkciós” pontosan megfelel az abeli csoportok (vagy a bal oldalon a gyűrűkötegben lévő -modulok) petyhüdt kévék kategóriájának .Γ(U,-){\ displaystyle \ Gamma (U, -)}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
Példák
- A topológiai tér bármely valós funkciója petyhüdt köteget alkot.
- Mint könnyen láthatjuk, a redukálhatatlan topológiai tér bármely egyszerű kötege petyhüdt („Grothendieck-tétel”).
- Ugyanez vonatkozik a valódi funkciók kötegére, amelyet egy kvázi kompakt topológiai tér határol.
- Legyen X az n dimenzió parakompakt valós analitikus sokasága . Az X hiperfunkciós csíráinak kötegje petyhüdt.
Puha gerendák
Definíció és általános tulajdonságok
- Legyen X parakompakt topológiai tér és köteg X-en , konkrét kategóriájú értékekkel. Ez a gerenda puha, ha a zárt felett bármely szakasz kiterjed az egész X-re.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- Egy kéve, ami lágy egy lokális tulajdonság: ha bármely pontján X van egy nyitott környéken U úgy, hogy bármely részén felett zárt részhalmaza X , foglalt U , kiterjed U , majd egy puha csomagot.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- Legyen X mérhető topológiai tér (ezért parakompakt); bármely helyileg zárt részhalmaza S a X ( azaz bármely alcsoportja S az X , amelynek egy nyitott környéken U , amelyben viszonylag zárt), a „rész funktorhoz” egzakt a kategóriában tárcsákon puha Abel-csoportok (vagy -Modules a bal oldalon gyűrűkötegen ).Γ(S,-){\ displaystyle \ Gamma (S, -)}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
- Legyen X parakompakt topológiai tér és köteg X-en , konkrét kategóriájú értékekkel. Ha petyhüdt, akkor puha.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}![{\ mathcal {F}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
Példák
Legyen X az n dimenzió parakompakt differenciál sokasága . Az alapvető abeli csoportok X nyalábjai lágyak: a csírák folyamatos működésének nyalábja az X-en , a végtelenül differenciálható funkciójú csírák nyalábja az X-en , a csírák sugáreloszlása az X-en . Másrészt ezek a gerendák nem petyhüdtek.
VS0{\ displaystyle C ^ {0}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
D′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime}}![{\ mathcal D} ^ {{\ prime}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa9604b7a8bf977f2d4e6621c693a95753f3566)
Vékony kötegek
Definíció és általános tulajdonságok
- Legyen X topológiai parakompakt tér és az X sugár alap abeli csoportjai . Ez a köteg rendben van, ha a gyűrűkötlet puha.F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
HomZ(F,F){\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathbb {Z}} \ balra ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} \ jobbra)}![{\ displaystyle {\ mathfrak {Hom}} _ {\ mathbb {Z}} \ balra ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {F}} \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b31dee021eff512cf88b9347a8ee4f71fe9052)
- A sugár megszakad, ha, és csak akkor, ha adott két zárt diszjunkt részhalmaza A és B az X , létezik egy homomorfizmus indukáló identitást közelében A és 0 közelében B .F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
F→F{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}}}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ - {\ mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85d176fa32e87e87b11fa7b81eda3cacc44c16c)
- Ha és a kéve Abel-csoportok, és ha rendben van, akkor a kéve Abel-csoportok rendben (az ingatlan jelentőségét magyarázza finom tárcsákon).L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
L{\ displaystyle {\ mathcal {L}}}
L⊗ZM{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {\ mathbb {Z}}} {\ mathcal {M}}}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ otimes _ {\ mathcal {\ mathbb {Z}}} {\ mathcal {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461a7a80dc3034d42b03f79b8c7999ac447745c7)
Példák
- A csomag a kórokozók alkalmazásainak X az rendben van, és így az egész -Module.F0(x,Z){\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0} (X, \ mathbb {Z})}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
F0(x,Z){\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0} (X, \ mathbb {Z})}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0} (X, \ mathbb {Z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83561821d499d647b8a494d81d404722629fe19)
- Ha X véges dimenziójú parakompakt differenciálcsatorna, akkor a kommutatív gyűrűk következő kövei rendben vannak: az X-en megkülönböztethető valós funkciójú csírák köve , valamint a tárcsák és (lásd fent ). Ezért ugyanazok a gerendamodulok ezeken a gerendagyűrűkön, például a sugárcsíra-eloszlások vagy az X-n lévő külső differenciálalakok .Ω0{\ displaystyle \ Omega ^ {0}}
VS0{\ displaystyle C ^ {0}}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
D′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ prime}}![{\ mathcal D} ^ {{\ prime}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa9604b7a8bf977f2d4e6621c693a95753f3566)
- Másrészről az egyszálas köteg és a holomorf funkciójú csíraköteg a véges dimenziójú parakompakt analitikai sokaságon nem rendben vannak.VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
O{\ displaystyle {\ mathcal {O}}}![{\ mathcal O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ae2ed4058fb748a183d9ada8aea50a00d0c89f)
Megjegyzések és hivatkozások
Megjegyzések
-
Kashiwara és Schapira 1990 .
-
Cartan 1950-1951a .
-
Serre 1955 .
-
Grothendieck 1957a .
-
Grothendieck 1957b .
-
Godement 1958 .
-
Artin 2006 .
-
Kashiwara és Schapira 2006 .
-
Artin, Grothendieck és Verdier 1972 .
-
Grothendieck és Dieudonné 1971 .
-
Régine és Adrien Douady , Algebra és Galois elméletek [ a kiadások részletei ].
-
Cartan 1950-1951b .
-
Morimoto 1993 .
-
Gunning 1990 .
Hivatkozások
- Michael Artin , Grothendieck topológiák: Megjegyzések egy M. Artin szemináriumról, 1962 tavasza , Harvard Egyetem , Matematika Tanszék,2006( online olvasás )
- Michael Artin , Alexandre Grothendieck és Jean-Louis Verdier , SGA 4 (A toposz elmélete és a diagramok kohomológiájának elmélete) , Springer,1972( ISBN 3-540-05896-6 , online olvasás )
- Henri Cartan , „ Faisceaux sur un space topologique, I ”, Henri Cartan szeminárium , 1950-1951a ( olvasható online )
- Henri Cartan , „ Faisceaux sur un espace topologique, II ”, Henri Cartan szeminárium , 1950-1951b ( olvasható online )
- Roger Godement , algebrai topológia és kötegelmélet , Párizs, Hermann,1958, 283 p. ( ISBN 2-7056-1252-1 , online olvasás )
- Alexandre Grothendieck : „ A homológiai algebra I egyes pontjairól ”, TMJ , vol. 9., 1957a, p. 119-184 ( online olvasás )
- Alexandre Grothendieck , „ A homológiai algebra II néhány pontjáról ”, TMJ , vol. 9., 1957b, p. 185–221 ( online olvasás )
- Alexandre Grothendieck és Jean Dieudonné , I. algebrai geometria elemei , Berlin / New York, Springer,1971, 466 p. ( ISBN 3-540-05113-9 , online olvasás )
- (en) Robert C. Gunning (en) , Bevezetés több változó holomorf funkcióiba. III. Kötet: Homológiai elmélet , Wadsworth & Brooks / Cole Publishing Company,1990, 194 p. ( ISBN 0-534-13310-X , online olvasás )
- en) Masaki Kashiwara és Pierre Schapira , Sheaves on Manifolds: rövid történettel: „A sugárelmélet kezdetei ”, Christian Houzel , Berlin / Heidelberg / Párizs stb., Springer,1990, 512 p. ( ISBN 3-540-51861-4 , online olvasás )
- en) Masaki Kashiwara és Pierre Schapira, kategóriák és tárcsák , Springer,2006, 498 p. ( ISBN 3-540-27949-0 , online olvasás )
- en) Mitsuo Morimoto , Bevezetés a Sato hiperfunkcióiba , AMS ,1993, 273 p. ( ISBN 978-0-8218-8767-7 , online olvasás )
- Jean-Pierre Serre , „ koherens algebrai faisceaux ” Annals of Mathematics , 2 nd sorozat, vol. 61, n o 21955, P. 197–278 ( online olvasás )
Kapcsolódó cikk
Előnyaláb (kategóriaelmélet)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">