Köbfüggvény

A matematikában a köbfüggvény a forma függvénye

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

ahol $a$ értéke nem nulla.

A egyenletet $f ( x ) = 0$ ezután egy harmadfokú egyenlet .

Az oldatokat az e polinomiális egyenlet nevezzük nullák a polinom függvény $f$ .

Kritikus pontok

Úgy véljük, itt egy harmadfokú egyenlet $f$ által definiált $f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d$ , amelynek együtthatókat, valamint a változó $x$ , valódi.

A kritikus pontok a $f$ a abszcisszái a pontok a grafikon , ahol a lejtőn a tangens nulla, vagyis a $X$ , amelyben a származék a $F$ eltűnik:

{\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}

Ennek az egyenletnek a megoldásait a másodfokú képlet felhasználásával adjuk meg csökkentett diszkriminánsokkal :

{\ displaystyle x _ {\ text {kritika}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta _ {0}}}} {3a}}}

val vel

{\ displaystyle \ Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}

A jel a $Δ 0$ számát határozza meg a kritikus pontokat és a helyi szélsőérték az $f$ :

ha $Δ 0 > 0$ - mint a szemközti diagramon -, akkor $f-$ nek helyi maximuma és helyi minimumja van;
ha $Δ 0 = 0$ , akkor az inflexiós pont (lásd alább) az egyetlen kritikus pont;
ha $Δ 0 <0$ , akkor $f-$ nek nincs kritikus pontja.

Azokban az esetekben, ahol $Δ 0 \leq 0$ , $f$ jelentése szigorúan monoton , ezért nincs helyi szélsőérték.

A $Δ 0$ értéke szintén fontos szerepet játszik a köbös egyenlet gyökereinek természetének és értékeinek meghatározásában .

Inflexiós pont és szimmetria

Egy általános köbfüggvény görbéje,

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

mindig van egy inflexiós pontja , vagyis egy pont, ahol a görbe megváltoztatja a konkávit .

Mivel a második derivált az $f$ által kifejezett $f '' ( x ) = 6 ax + 2 b$ , az abszcisszán az ezen a ponton

{\ displaystyle x_ {0}: = - {\ frac {b} {3a}}}

érték, amely szintén fontos a köbös egyenlet megoldásában.

A ordináta az

{\ displaystyle y_ {0}: = f (x_ {0}) =}

2 b 3 / 27- től 2-ig - időszámításunk előtt / 3 a + d

A görbe szimmetrikus ehhez a ponthoz.

Demonstráció

Azáltal, hogy kétszer , megkapjuk , akkor , ami egy furcsa funkció a $h$ . ${\ displaystyle f '' (x_ {0} + h) = 6ah}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0} + h) = 3ah ^ {2} + f' (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x_ {0} + h) -y_ {0} = ah ^ {3} + hf '(x_ {0})}$

Alkalmazások

A köbfüggvények különböző összefüggésekben jelennek meg.

A Marden-tétel azt mutatja, hogy egy háromszög Steiner inellipse-jének kitörései megtalálhatók a köbfüggvény segítségével, amelynek gyökei a háromszög három csúcsának összetett síkjában található koordináták . A kocka első deriváltjának gyökerei e gócok összetett koordinátái.

A karakterisztikus polinomja egy 3 × 3 mátrix a fokszáma 3.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia " Köbös függvény " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Michael de Villiers, " Minden köbös polinom szimmetrikus pontokat " , Tanulás és tanítás a matematika , vol. 1,2004, P. 12–15 ( online olvasás ).

Lásd is