A területen matematikai a K-algebrai elmélet , a csoport Steinberg St ( A ) egy egységes gyűrű A jelentése egy csoport által meghatározott generátorok és kapcsolatok , bizonyos kapcsolatok igazoltuk elemi mátrixok a transvections . Robert Steinbergről kapta a nevét, és kapcsolódik a K-elmélet korai csoportjaihoz, különös tekintettel a K 2-re és a K 3-ra .
Az e pq (λ) elemi átviteli mátrixok p ≠ q esetén - az átlón 1s-sel, a λ együtthatóval ( p , q ) és 0s-val mindenhol máshol - kielégítik a következő összefüggéseket, amelyeket Steinberg-kapcsolatoknak nevezünk :
A „stabil” Steinberg St ( A ) csoportot az x ij (λ) ( i , j ∈ ℕ *, i ≠ j , λ ∈ A ) generátorok határozzák meg , ezekre az összefüggésekre figyelemmel. Ez az „instabil” Steinberg St n ( A ) csoportok induktív határa , ugyanúgy definiálva, de i , j ≤ n esetén .
A „stabil” általános lineáris csoport GL ( A ) úgy definiáljuk, mint a növekvő unió a GL ( N , A ) keresztül a azonosítása bármely négyzetes mátrix M méretű n a diagonális mátrix blokkokat diag ( M , 1), n + 1 méretű . A felépítés alapján létezik a φ csoportok egyedi morfizmusa : St ( A ) → GL ( A ), amely az x ij (λ) -ot e ij-re (λ) küldi .
Szerint a Whitehead lemma , a kép a φ a származó csoport a GL ( A ), azaz az elemi transzvekcióval mátrixok generálnak , a GL ( A ), az azonos alcsoportba , mint a kapcsolók . Ezt az alcsoportot E ( A ) -nak nevezzük .
A csoport K 1 ( A ) úgy definiáljuk, mint a abelianized GL ( A ), azaz a hányadosa a GL ( A ) által származtatott E alcsoport ( A ). Más szavakkal, ez a ok kokelje .
Milnor meghatározott K 2 ( A ), mint a központ a St ( A ).
Ez a morfizmus magja is: St ( A ) → GL ( A ), így pontos szekvenciánk van
1 → K 2 ( A ) → St ( A ) → E ( A ) → 1.Ez a szekvencia valójában a tökéletes E ( A ) csoport univerzális központi kiterjesztése . Más szavakkal, K 2 ( A ) az E ( A ) Schur szorzója . Ezért homológiai csoportként is írják : K 2 ( A ) = H 2 (E ( A ), ℤ).
Gersten kimutatták, hogy a K 3 ( A ) = H 3 (St ( A ), ℤ).