Polarizációs identitás
A matematika , polarizáció identitások kapcsolódnak Multilineáris algebra . Ezek megfelelnek a szimmetrikus bilinear formák , a hermitiai sesquilinear formák jellemzésének . Ha E egy vektortér , ezek az alakok térképek az E × E a területen a skalár ( valós vagy komplex ). Teljesen jellemzi őket az átlón való viselkedésük, vagyis egy ilyen f alak ismerete az ( x , x ) pontok halmazán, ahol x E tetszőleges eleme . Az x társított f ( x , x ) φ alkalmazás a másodfokú forma .
Ekkor ekvivalencia van a szimmetrikus bilinear formák és a kvadratikus formák között. A polarizációs azonosság lehetővé teszi egy szimmetrikus bilinear forma vagy egy hermitisz sesquilinear forma kifejezését a hozzá tartozó másodfokú alakból.
Polarizációs azonosságok
Kétféle típusú polarizációs azonosság létezik, amelyek a bilinear formákra vonatkoznak, és a szeszquilinear formákra.
Szimmetrikus bilináris alakzatok
A polarizációs azonosságok kontextusa egy tetszőleges E vektortér kontextusában van a K
kommutatív mezőn, és kettőtől eltérő jellemző . Hadd φ egy kvadratikus alak az E , nem feltétlenül meghatározott és nem feltétlenül pozitív (ha a mező K rendelik).
Definíció -
Hívjuk polarizáció identitás egyes alábbi három egyenletek, amelyek meghatározzák a különleges szimmetrikus bilineáris forma f az E × E a K oly módon, hogy :
f(x,x)=φ(x){\ displaystyle f (x, x) = \ varphi (x)}
∀x,y∈Ef(x,y)=12(φ(x+y)-φ(x)-φ(y)),{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (x) - \ varphi (y) {\ bigr)},}
∀x,y∈Ef(x,y)=12(φ(x)+φ(y)-φ(x-y)),{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x) + \ varphi (y) - \ varphi ( xy) {\ bigr)},}
∀x,y∈Ef(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) {\ bigr)}.}
Különösen, hagyja E egy prehilbert térben valós amelynek normája egy vektor x jelöli: és a skalár termék két vektor x és y : . A következő két összefüggést ellenőrizzük:
‖x‖{\ displaystyle \ scriptstyle {\ | x \ |}}(x|y){\ displaystyle \ scriptstyle {(x | y)}}
∀x,y∈E(x|y)=12(‖x+y‖2-‖x‖2-‖y‖2){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ {2} {\ bigr)} \ quad} és
(x|y)=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2).{\ displaystyle \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} {\ bigr }}.}
A polarizációs azonosságok a következő tulajdonságból származnak, ha f az E × E bármelyik lineáris formája :
∀x,y∈Ef(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y)+f(y,x){\ displaystyle \ összes x, y \ E \ quad f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (y, y) + f (x, y) + f (y, x )}
és az ( x , y ) társított térkép ( f ( x , y ) + f ( y , x )) / 2 szimmetrikus.
A polarizációs azonosságok következménye az, hogy ha f szimmetrikus bilináris forma, ahol f ( x , x ) = 0 egy F vektor altér felett , akkor f nulla az F x F ( f ( x , y ) = 0 vektor altér felett ) az F összes elemére.
Sesquilinear formák a bal oldalon
Ha az E mögött álló K mező nem a valós számoké, hanem ehhez hasonlóan abszolút értéket kap , akkor a norma fogalma jelentéstartalmát megőrzi. Ha K a komplexek mezője, akkor az "abszolút érték" a modulus . Ebből a szempontból a szeszkvilináris forma fogalma a komplex vektortér analógja, mint a valódi vektortéren lévő bilináris forma . Ebben a bekezdésben az E egy összetett vektortér.
Vagy g szekvilináris formát (nem feltétlenül hermita) E-n . Feltételezzük, hogy a bal oldali szekvilináris , vagyis félig lineáris az első változóhoz képest és C - lineáris a másodikhoz képest. Jelöljük: φ ( x ) = g ( x , x ).
Definíció -
Hívjuk polarizációs formula vagy poláris formájában φ a következő egyenlőség, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja a bal sesquilinear forma g az E × E in ℂ:
∀x,y∈Eg(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)+énφ(x-ény)-énφ(x+ény)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad g (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) + { \ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) - {\ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) {\ bigr)}.}
Itt i jelöli az imaginárius egység .
A polarizációs képlet következménye az, hogy ha g szeszkvilináris forma, ahol g ( x , x ) = 0 az F komplex vektor altér felett , akkor g nulla az F x F vektor altér felett ; g ( x , y ) = 0 az F
összes x és y elemére
Remete formák (balra)
Ha a kiinduló g szekquilináris forma hermitikus, akkor a φ térképnek valós értékei vannak.
Ezzel szemben, ha g szeszkvilináris alak (a bal oldalon), és ha a φ függvénynek valós értékei vannak, akkor a polarizációs képlet azt mutatja, hogy g Hermite:
g(y,x)=g(x,y)¯{\ displaystyle g (y, x) = {\ overline {g (x, y)}}}.
Ha a φ térképnek (amelyet φ ( x ) = g ( x , x ) határoz meg) valós értéke van, akkor ez a térkép másodfokú alakot határoz meg az E-hez társított valós vektortérben , azaz ellenőrzi: (x) ha α valós szám. A φ-t g-vel társított hermita másodfokú alaknak nevezzük.
Pozitív remetei formák
A valódi prehilberta terekre vonatkozó megjegyzés (bekezdés a bilináris formákról) akkor általánosítható, ha E egy komplex prehilbert tér, amelynek x vektorának normáját megjegyezzük: és két x és y vektor skaláris szorzata , amelyet egy bal oldali hermitikus forma mutat:
‖x‖{\ displaystyle \ scriptstyle {\ | x \ |}}(x|y){\ displaystyle \ scriptstyle {(x | y)}}
∀x,y∈E(x|y)=14(‖x+y‖2-‖x-y‖2+én‖x-ény‖2-én‖x+ény‖2).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + {\ rm {i}} \ | x- \ mathrm {i} y \ | ^ {2} - {\ rm {i}} \ | x + {\ rm {i}} y \ | ^ {2} {\ bigr)}.}
A jobb oldali szeszkilináris formák esete
Ha a kiindulási alak szeszkvilináris lenne a jobb oldalon , a polarizációs képlet a következő lenne:
∀x,y∈Eh(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)+énφ(x+ény)-énφ(x-ény))=14∑k=03énkφ(x+énky).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad h (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) + { \ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) - {\ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) {\ bigr)} = {\ frac {1} {4}} \ sum _ {k = 0} ^ {3} {\ rm {i}} ^ {k} \ varphi (x + {\ rm {i}} ^ {k} y). }
Egyéb polarizációs képletek
Vannak más polarizációs képletek (itt adjuk meg a jobb szeszkvilináris formát ):
∀x,y∈Eh(x,y)=12(φ(x+y)+énφ(x+ény)-(1+én)(φ(x)+φ(y))){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad h (x, y) = {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (x + y) + {\ rm {i}} \ varphi (x + {\ rm {i}} y) - (1 + {\ rm {i}}) (\ varphi (x) + \ varphi (y)) {\ bigr)}}
∀x,y∈Eh(x,y)=-12(φ(x-y)+énφ(x-ény)-(1+én)(φ(x)+φ(y))).{\ displaystyle \ forall x, y \ E \ quad h (x, y) = - {\ frac {1} {2}} {\ bigl (} \ varphi (xy) + {\ rm {i}} \ varphi (x - {\ rm {i}} y) - (1 + {\ rm {i}}) (\ varphi (x) + \ varphi (y)) {\ bigr)}.}Egy pozitív remetei forma esetében az előző képletekből a valós rész elkülönítésével kapjuk meg:
Újra⟨u,v⟩=12(‖u+v‖2-‖u‖2-‖v‖2),Újra⟨u,v⟩=12(‖u‖2+‖v‖2-‖u-v‖2),Újra⟨u,v⟩=14(‖u+v‖2-‖u-v‖2).{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ text {Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | u + v \ | ^ {2 } - \ | u \ | ^ {2} - \ | v \ | ^ {2} \ right), \\ [3pt] {\ text {Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1 } {2}} balra (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} \ jobbra), \\ [3pt] {\ text { Re}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ balra (\ | u + v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} \ jobbra). \ {array}}} végeA jobb oldali remete (pozitív) forma képzeletbeli részéhez :
Im⟨u,v⟩=12(‖u+énv‖2-‖u‖2-‖v‖2),Im⟨u,v⟩=12(‖u‖2+‖v‖2-‖u-énv‖2),Im⟨u,v⟩=14(‖u+énv‖2-‖u-énv‖2).{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | u + \ mathrm {i} v \ | ^ {2} - \ | u \ | ^ {2} - \ | v \ | ^ {2} \ right), \\ [3pt] {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ balra (\ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} - \ | u- \ mathrm {i} v \ | ^ {2} \ jobbra), \\ [3pt] {\ text {Im}} \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | u + \ mathrm {i} v \ | ^ { 2} - \ | u- \ mathrm {i} v \ | ^ {2} \ right). \ End {tömb}}}Ezek a képletek átírhatók a feltétlenül pozitív hermita formákra.
A szimmetrikus bilinear (vagy hermita) formák és a másodfokú formák közötti megfelelés
Az a térkép, amely egy szimmetrikus bilináris formához (vagy egy bal oldali szeszkvilináris formához) társítja kvadratikus alakját (illetve a hozzá tartozó map térképet), egy injektív lineáris térkép, és ezért a vektorterek izomorfizmusát indukálja (mindig más jellegzetességgel) 2) képén ( szimmetrikus bilináris forma esetén a kvadratikus formák vektortere ). A poláris forma megfelel a reciprok izomorfizmusnak . A hermita szeszkvilináris formák esetében a kép a hermita kvadratikus formák igazi altere.
Ponttermékből származó szabványok
A paralelogramma szabály használatával tovább lehet lépni .
Valódi eset
Ebben a bekezdésben az E egy valós vektorteret jelöl. Ha a φ másodfokú forma, akkor a következő egyenlőséget ismeri, amelyet paralelogramma-szabálynak neveznek:
∀x,y∈Eφ(x+y)+φ(x-y)=2(φ(x)+φ(y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi (x + y) + \ varphi (xy) = 2 {\ bigl (} \ varphi (x) + \ varphi (y) {\ bigr)}. }
A fordítottja igaz, feltételezve, hogy az összes vektor x és y , a numerikus függvény t ↦ φ ( x + ty ) van folyamatos , vagy akár csak a mérhető .
Demonstráció
Definiálja f-et a polarizációs azonosság alapján:
∀x,y∈Ef(x,y)=14(φ(x+y)-φ(x-y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad f (x, y) = {\ frac {1} {4}} {\ Nagy (} \ varphi (x + y) - \ varphi (xy) {\ Nagy)}.}
-
f ( x , x ) = φ ( x ) = φ (- x ):
- a személyazonosságát a paralelogramma, alkalmazott y = x , ad: φ (2 x ) + φ (0) = 4 φ ( x ), különösen φ (0) = 0, úgy, F ( x , X ) = ( φ (2 x ) - φ (0)) / 4 = φ ( x );
- x = 0-ra alkalmazva megadja (újrafelhasználva, hogy φ (0) = 0): φ (- y ) = φ ( y ).
- f ( x + y , z ) = f ( x , z ) + f ( y , z ):
Lásd:
Normalizált vektorterek / Gyakorlatok / Normák # 1-4. Gyakorlat: Norma és pont szorzat a Wikiverzióban .
-
Bármely z vektor esetében az f (∙, z ) térkép ℝ-lineáris :
Lásd a Cauchy funkcionális egyenletet .
-
A térkép f szimmetrikus bilineáris:
A szimmetrikus jellege f származik paritás a φ és a bilinearity azután levezethető az előző pontban.
A következő tételre következtetünk:
Fréchet féle tétel - Neumann - Jordan igazi eset -
A norma N felett E származik skalárszorzat akkor és csak akkor, ha N 2 tekintetben a személyazonosságát a paralelogramma. Ez a skaláris szorzat akkor egyedi, mivel valós esetben a három polarizációs azonosság bármelyike megadja .
Megfelelő feltételek. Ahhoz , hogy az E tényleges vektortér fölötti N norma ponttermékből származzon, a következő szükséges feltételek bármelyike elegendő:
- ∀x,y∈E mint például NEM(x)=NEM(y)=1,NEM(x+y)2+NEM(x-y)2≤4.{\ displaystyle \ forall x, y \ E ~ {\ text {például}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (x + y) ^ {2} + N (xy) ^ {2} \ leq 4.}
- ∀x,y∈E mint például NEM(x)=NEM(y)=1,NEM(x+y)2+NEM(x-y)2≥4.{\ displaystyle \ forall x, y \ E ~ {\ text {például}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (x + y) ^ {2} + N (xy) ^ {2} \ geq 4.}
- Létezik egy F térkép : [0, 2] → ℝ, amely:
∀x,y∈E mint például NEM(x)=NEM(y)=1,NEM(x-y)=F(NEM(x+y)).{\ displaystyle \ forall x, y \ E ~ {\ text {-ban, így}} ~ N (x) = N (y) = 1, \ quad N (xy) = F (N (x + y)). }
Összetett eset
Ebben a bekezdésben az E egy komplex prehilberti vektorteret jelöl. A paralelogramma azonossága továbbra is érvényes a standardra.
A helyzet itt ismét analóg a valós terekkel. A hermita skaláris termék normája jellemzi. Bármely norma, amely kielégíti a paralelogramma egyenlőségét, skaláris szorzatból származik.
Fréchet-Von Neumann-Jordan tétel komplex eset - Az E fölötti N norma akkor és csak akkor jön létre egy hermita skalár szorzatból, ha N 2 tiszteletben tartja a paralelogramma azonosságát. Ez a skaláris szorzat akkor egyedi, mivel a polarizációs képlet határozza meg.
Megjegyzés : a polarizációs képlet megválasztásától függően kapunk egy Hermit alakot balra vagy jobbra (a két eset mindegyikében egyediséggel).
Demonstráció
Mivel a valós esetet már kezeljük, ha E- t valós vektortérnek tekintjük, fel van szerelve egy f skaláris szorzattal , amelyből a norma származik. Határozza meg h :
∀x,y∈E,h(x,y)=f(x,y)+énf(x,ény).{\ displaystyle \ forall x, y \ E-ben, \ quad h (x, y) = f (x, y) + {\ rm {i}} f (x, {\ rm {i}} y).}
Figyelembe véve az f-re megszerzett tulajdonságokat , elegendő a következő három pont igazolása annak igazolására, hogy h a megfelelő szeszkvilináris forma, amelyből a norma származik:
- ∀x∈E,h(x,x)=f(x,x) ;{\ displaystyle \ forall x \ E-ben, \ quad h (x, x) = f (x, x) ~;}
- ∀x,y∈E,h(énx,y)=énh(x,y) ;{\ displaystyle \ összes x, y \ E-ben, \ quad h ({\ rm {i}} x, y) = {\ rm {i}} h (x, y) ~;}
- ∀x,y∈E,h(y,x)=h(x,y)¯.{\ displaystyle \ forall x, y \ E-ben, \ quad h (y, x) = {\ overline {h (x, y)}}.}
-
Minden x és y vektor esetében h ( i x , y ) = i h ( x , y ) és h ( y , x ) = h ( x , y ) :
A valós és képzeletbeli részek azonosításával visszatérünk a bemutatásra hogy az összes z és y vektor esetében f ( i z , i y ) = f ( z , y ), vagyis az i-vel való szorzás operátora megőrzi az f pontterméket . Ez azt eredményezi (valós esetben a három polarizációs azonosság bármelyikén keresztül), hogy ℝ-lineáris és megőrzi a normát.
-
Bármely x vektor esetében h ( x , x ) = f ( x , x ):
Az előző pont szerint h ( x , x ) megegyezik valós részével.
Megjegyzések és hivatkozások
-
N. Bourbaki , EVT , fej. V, p. 2
-
Ramis, Deschamp, Odoux, Speciális matematika tanfolyam , 2. kötet, Masson, p. 103
-
JM Arnaudiès és H. Fraysse, Bilinear algebra and geometry , Dunod University, p. 128.
-
Az első polarizációs azonosságot használó változatról lásd Georges Skandalis , Topologie et analysis 3 e année , Dunod, coll. „Sciences Sup”, 2001, p. 272 és 318.
-
(a) P. Jordan és J. Neumann, " van a belső termékek lineáris metrikus terekben " , Ann. of Math. , vol. 36, n o 3,1935, P. 719-723 ( online olvasás ).
-
Ezt a nevet Haïm Brezis , Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazások [ a kiadások részletei ] , 10. o. 87.
-
Az 1. és a 2. feltételhez még azt sem kell feltételezni, hogy N norm: az elválasztás és a homogenitás tulajdonságai elegendőek, a szub additivitás eleve nem szükséges , vö. (En) IJ Schoenberg , „ Megjegyzés az MM-re A belső termékterek napi jellemzése és LM Blumenthal sejtése ” , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol. 3,1952, P. 961–964 ( online olvasás ).
-
(in) David Albert Senechalle , " A jellemzése belső terek termék " , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol. 19,1968, P. 1306-1312 ( online olvasás ).
(en) Kōsaku Yosida , Funkcionális elemzés , Springer, 1980 ( ISBN 3-540-10210-8 )
Külső linkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">