A matematikában és különösen az algebrában az ideál a gyűrű figyelemre méltó részhalmaza: a gyűrű additív csoportjának egy alcsoportja , és amely a gyűrű elemeivel való szorzás mellett stabil . Bizonyos szempontból tehát az ideálok hasonlítanak a vektoros alterekhez - amelyek külső szorzással stabilak az additív alcsoportok ; más szempontból megkülönböztetett alcsoportokként viselkednek - additív alcsoportok, amelyekből fel lehet építeni egy hányados gyűrűs szerkezetet .
Végén megjelent a XIX th században az algebrai számelmélet általánosítani algebrai egészek az elsődleges tényezők bomlást az egész , az eszmék gyorsan játszott döntő szerepet algebra és algebrai geometria , valamint különösen a művek Emmy Noether izolálása fontosságát string feltételek . Az algebrán túl központi szerepet vállalnak a XX . Század fejlesztésében, a funkcionális elemzés egyes fejezeteiben , beleértve a Banach algebrák tanulmányozását és a harmonikus elemzéseket .
A kommutatív algebrában az ideálok két típusa mindenütt jelen van: a maximális ideálok és kétségtelenül még inkább a legfőbb ideálok . A relatív egész számok gyűrűjében mind a maximális ideálok, mind a prím (nem nulla) ideálok a p Z , ahol p egy prímszám ; az elvontabb kommutatív gyűrűkben ezek az eszménycsaládok általánosítják a prímszám fogalmát.
A nem kommutatív gyűrűk elméletében vigyáznunk kell az ideál két különálló fogalmának egymás melletti létezésére: a bal (vagy a jobb ) ideálok , amelyek részmodulok , és a kétoldalú eszmékre , amelyekkel megoszthatjuk őket. Bár a szerkezet a legáltalánosabb noncommutative gyűrűk is rendkívül bonyolult, mi több beleszólásuk azok ellenőrzésére végességével feltételek által felfedezett Emmy Noether és Emil Artin , nevezetesen láncfeltételek a bal vagy a jobb eszméket..
Az ideálnak két fogalma létezik, amelyek egybeesnek egy kommutatív gyűrű esetében, de nagyon különböző szerepet játszanak anélkül, hogy feltételeznék a szorzás kommutativitását.
Egy része azt a gyűrűt egy nevezzük ideális balra (illetve jobbra ) az A , ha:
Nyelvét használva modulok lehet meghatározni röviden a bal ideális (ill. Jobb), mint egy al-modul a szerkezete A -module balra (ill. Jobbra) A .
Mi majd hívja a kétoldalú ideális a A (vagy egyszerűen ideális , ha nincs fenn az összetévesztés veszélye) bármely része egy , mely egyszerre ideális a bal ideális a jobb oldalon. Amikor a gyűrű kommutatív, ezek a fogalmak mind összeolvadnak, de nagyon eltérő szerepet játszanak a nem kommutatív algebrában. Valójában, bár alkalmanként beavatkoznak a nem kommutatív elméletbe (tehát az egyszerű gyűrűk meghatározásába ), a kétoldalú eszmék ebben a kontextusban nehezen manipulálhatók, ezért kevésbé mindenütt jelen vannak, mint a bal vagy a jobb oldali eszmék. Meg kell jegyezni, hogy a két-oldalú ideálok a szerkezeti elemekre a szerkezet A - A - bimodule on A .
Megismételve azt, amit az imént mondtak, hogy csak a kétoldalú eszmékre összpontosítson, kifejezetten átírhatjuk definíciójukat:
Egy része azt a gyűrűt egy nevezzük kétoldalú ideális a A (vagy ideális , ha nincs félelem zavart, különösen a kommutatív algebra), ha:
A kétoldalú ideálok iránti különös érdeklődés abból adódik, hogy lehetséges egy másik leírást adni róluk, amely összekapcsolja őket a hányadosgyűrű fogalmával . Adott egy kétoldalas ideális I gyűrű Egy , a hányados csoport A / I ellátható egy gyűrűszerkezet, amelyre a kanonikus kiemelkedés egy gyűrű homomorfizmus , a mag I . Ezzel szemben bármely mag kétoldali ideál. Ezeket az információkat a következő állítással foglalhatjuk össze:
A set-ben I. egy gyűrű Egy ideális (kétoldalas), ha és csak akkor, ha van egy morfizmus a gyűrűk, amelyek egy a kiindulási gyűrűnél, és amelynek magja van I .
A kétfarkú ideálok néhány tulajdonsága leolvasható a hányadosgyűrű felépítésén: így egy kommutatív gyűrűben a kétfarkú ideál akkor és akkor maximális, ha a hányadosgyűrű mező .
Az ideál (bal, jobb vagy kétoldali) legalább akkor tartalmaz invertálható elemet, ha csak akkor egyenlő az egész gyűrűvel.
Vagy A és B két gyűrű és φ egy morfizmus gyűrűi A a B . Így :
Az inverz képe a bal ideális (ill. A jobb ill. Kétoldalas) a B alatt φ egy bal ideális (ill. A jobb ill. Kétoldalas) az A . Így megmagyarázhatjuk, miért egy mag kétoldalú ideál: azért, mert ez a null kétoldalú ideál kölcsönös képe.
Ami a közvetlen kép az ideális az A , akkor csak arra, hogy ez egy ideális (az azonos jellegű) az al-gyűrű φ (A) . Ha φ nem szurjektív, semmi sem kötelezi azt B ideáljára : tekintse fiát A = ℤ kanonikus felvételére B = ℚ-ba. Ekkor φ ( I ) csak akkor ideális a ℚ számára, ha én vagyok a nulla ideál.
Amikor φ szurjektív, a helyzet azonban különösen egyszerű:
Legyen φ morfizmus szurjektív gyűrűje A- tól B-ig . A térkép egy bijekciót között sor ideálok a bal (ill. A jobb, ill. Kötött) az A tartalmazó Ker ( φ ) és a beállított ideálok a bal (ill. A jobb, ill. Kétoldalú) a B . A kölcsönös bijekciót van .
Két baloldali (ill. Jobboldali, ill. Kétoldalú) vagy általánosabban az eszménycsalád kereszteződése azonos típusú eszmény.
Ha P egy része egy gyűrűnek egy , nevezzük bal ideális (ill. A jobb, ill. Kötött) által generált P metszéspontja összes ideálok a bal (ill. A jobb, ill. Kötött) az A tartalmazó P . Ez a legkisebb P-t tartalmazó ideál .
Ez az alábbiak szerint írható le, az összegeket véges halmaz indexelésével értjük:
Fontos eset, amikor P- nek csak egy x eleme van . Ezután az x által generált fő ideálról (bal, jobb vagy kétoldalú) beszélünk .
Ha I és J az A gyűrű két baloldali ideálja (ill. Jobb, vagy Kétoldalas), akkor I és J összegének nevezzük az összes x + y összeget , ahol x I fut , és ott J halad .
Ez viszont azonos típusú ideál. Amikor az ideálokat részmodulokként értelmezzük, összegük mint ideál ugyanaz az ideál, mint az összegük mint részmodul . Az összeg meghatározható az I ∪ J unió által generált azonos típusú ideálként is .
A kereszteződés és az összeg, a készlet eszmék a bal (ill. A jobb, ill. Kötött) egy gyűrű egy olyan rács .
Általánosságban elmondható, hogy a baloldali ideálcsaládok (ill. A jobb oldalon, illetve a bilaterális oldalak) esetében a család összege az az összeg, amely csak véges számú kifejezést tartalmaz, és ahol változik . Ez a halmaz szintén egyazon típusú ideál, és egyben az ilyen típusú ideál is, amelyet a .
A fentiekben már említettük a fő ideál nevét az ideálhoz (balra, jobbra vagy kétoldalú), amelyet egyetlen elem generálhat.
Általánosabban definiálunk egy véges típusú ideált, mint ideált (bal, jobb vagy kétoldalú), amelyet egy véges rész generálhat.
Ebben a szakaszban az ideálok „stacionárius szekvenciája” alatt az eszmék állandó sorrendjét értjük egy bizonyos rangtól kezdve (vagyis amiknek létezik olyan n értéke , amelyik létezik ).
A bal oldalon (ill. A jobb oldalon) egy noetheriánus gyűrűt nevezünk olyan gyűrűnek, amelyben a baloldalon (ill. A jobb oldalon) növekvő ideális sorrend stacionárius. Azt is mondják, hogy a figyelembe vett típus eszméivel kielégíti a " felmenő lánc feltételét". Ez a tulajdonság a véges típusú ideál fogalmához kapcsolódik az alábbi állítással, a meglehetősen egyszerű bizonyítékkal:
Egy gyűrű akkor és csak bal oldalon (ill. A jobb oldalon) noetheriánus, ha a baloldalon (ill. A jobb oldalon) lévő összes ideálja véges típusú.
Artinian gyűrűnek hívjuk a bal oldali (ill. A jobb oldali) gyűrűt, amelyben a bal (ill. A jobb oldalon lévő) ideálok bármely sorozata, amely csökken a befogadás érdekében, állandó. Azt is mondják, hogy kielégíti a "leszálló lánc feltételét" a figyelembe vett típus eszméivel.
A tétel Hopkins és Levitzki (in) , az nagyon lényeges bizonyíték, a következő következménye:
Bármelyik Artinian gyűrű a bal oldalon Noetherian a bal oldalon.
Az ebben a szakaszban részletezett fogalmak általánosítanak a nem kommutatív algebrában. Ebben a bevezető cikkben csak a kommutatív gyűrű összefüggésében kerülnek bemutatásra , olyan összefüggésben, ahol különösen relevánsak.
Ha én és J két ideálok kommutatív gyűrű, az úgynevezett ideális termék az I. és J ideális megjegyezte IJ által generált összes termék xy , ahol x fut I. és ott utazik J . Ezért megegyezik a véges összegek halmazával, ahol E véges halmaz, és .
Példa: a Z gyűrűben a 2 Z és 3 Z ideálok szorzata az ideális 6 Z - tehát megegyezik metszéspontjukkal; másrészt a 2 Z ideál szorzata önmagában a 4 Z ideál .
Mindig van, de a felvétel szigorú lehet, ahogy az előző példában bemutatjuk.
Ha én és J két ideálok kommutatív gyűrű A hívjuk a hányadosa ideális az én által J a jelölésük készlet által meghatározott:
Ez egy ideális az A .
Ha egy ideális egy kommutatív gyűrű , hívunk gyök az a jegyezni beállított által alkotott elemek az , amelyre létezik egy természetes szám , hogy . Ez a .
A prímideál és a maximális ideál fogalma, különösen az első, a gyűrűk elméletében hasonló szerepet játszik, mint a prímszámok egész számok számtani számában . A gyűrű Z a relatív egészek , és a maximális ideálok pontosan p Z , ahol p prímszám; Egy és csak egy nem maximális elsődleges ideál kerül hozzá, az ideális {0}.
Az ideális P kommutatív gyűrű Egy nevezzük elsődleges ideális , ha P egy szigorú része egy , és minden x , y az A , ha a termék xy van P , akkor x tartozik P vagy y tartozik P . Ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy megkérjük az A / P hányadosgyűrűt integrálissá.
Ideális M kommutatív gyűrű Egy nevezzük maximális ideális , ha pontosan két ideálok tartalmazó M , azaz A és M is. Ez a feltétel egyenértékű kérve a gyűrű-hányados A / M , hogy egy kommutatív mezőt .
Az egész számok elsődleges faktorosításának elmélete a kommutatív gyűrűk nagy csoportjában, a faktoriális gyűrűkben jelenik meg . Bármilyen nagy is ez az osztály, a nem tényleges gyűrűk mindennaposak, és az elsődleges faktorizálás technikai általánosításait találták a leghasznosabbnak. A tényleges keretek között ráadásul a nem elsődleges elsődleges ideálok lebontása a nem elsődleges ideálokra is vonatkozik, amelyekre az elemek faktorizálása nem érvényesül, és ezért további megvilágításra kerül.
Az ideál felbomlása elsődleges eszmékké, redukálhatatlan ideálokkáAz ideálok "additív elméletében" az uralkodó művelet metszéspont: az ideál bomlása azt írja le, mint egy alapvető típusú eszmék metszéspontját. Nem független egy egész szám elsődleges egész tényezőkké történő bontásáról .
Az első lépés ebben az irányban lehet felbontani a tökéletes metszéspontjában kiküszöbölhetetlen ideálok, amit meghatároz egy kiküszöbölhetetlen ideális , mint a megfelelő ideális én nem tudjuk lebontani, mint a kereszteződés két különböző eszmények I . Minden elsődleges ideál visszavonhatatlan, és egy noetheri gyűrűben minden ideál a redukálhatatlan eszmék véges metszete.
Ezután határozza meg a primer ideális I , mint a megfelelő ideális egy kommutatív gyűrű Egy kielégíti a következő tulajdonság: az összes a és b az A , hogy ab ∈ I , ha egy ∉ I akkor létezik egy természetes egész szám, n olyan, hogy b n ∈ Én . A hányadosgyűrűk szempontjából én tehát csak akkor vagyok elsődleges, ha az A / I gyűrű bármely nulla osztója nilpotens.
A noetheriánus gyűrűben minden redukálhatatlan ideál elsődleges.
A Lasker-Noether tételt megelőzően következtethetünk :
A noetheri gyűrűben bármely ideál az elsődleges eszmék véges metszéspontjaként ábrázolható.
A reprezentációnak nincs egyedülállósága, még akkor sem, ha megköveteljük, hogy minimális legyen, de vannak olyan állításaink, amelyek biztosítják, hogy két különálló reprezentáció ne legyen túl távol egymástól.
Az ideálok multiplikatív elmélete, dedekind gyűrűkHa többet követelünk a gyűrűből, tovább mehetünk és lebonthatunk egy ideált, ha közelebb írunk az egész számok prímtényezőkké történő faktorizálásához; akkor az írást az ideálok szorzataként kell keresni, és már nem metszéspontként: Z-ben az ideális p 2 Z önmagában p Z szorzataként írható , de nem ábrázolható ideálok metszéspontjaként mind más, mint ő maga.
Először is, a gyűrű dimenzióinak korlátozása, amelyet tanulmányozunk, garantálja, hogy az elsődleges ideálok keresztező ábrázolása termékként is reprezentáció:
Let A lennie egy Noetherian integrált gyűrű az 1. dimenzió (azaz ha nem nulla prime ideális maximális). Az A bármely ideálja az elsődleges ideálok termékeként ábrázolható.
Másodszor, ha a gyűrű is teljesen bezárult , elsődleges ideálja pontosan a fő eszmék ereje. Ez a Dedekind gyűrűk bevezetéséhez vezet , amelyek az 1. dimenzió integrált noetherian gyűrűi teljesen zárva vannak, és a következő eredményhez vezetnek, ahol szintén megvan a bontás egyedisége:
Legyen A Dedekind gyűrű. Az A bármely ideálja egyedi módon jeleníthető meg (a tényezők sorrendjéig), mint elsődleges eszmék terméke.
PéldákEzekben a példákban mi jelöljük ( a ) a fő ideális által generált egy , és ( a , b ) az ideális által generált egy és b .
A szakasz kezdetén beszámoltunk arról, hogy az A gyűrű hányadosa egy kétoldalas I ideál által kiváltja a bijektációt az I-t tartalmazó A- ideálok és az A / I- ideálok között . Ez a tisztelet tiszteletben tartja az ideálok elsődleges jellegét.
Vagy én ideális kommutatív gyűrű A . A kanonikus projekció készletek bijekciót összes elsődleges eszméinek A tartalmazó I. és a készlet elsődleges eszméinek A / I .
Az I-ben foglalt ideálokat a maguk részéről a lokalizáció folyamata elkülönítheti másoktól . Ezután a következő állításunk van:
Hadd én elsődleges ideális kommutatív gyűrű A . A helyszín készletek bijekciót összes elsődleges eszméinek A szereplő I. és a készlet elsődleges eszméinek gyűrű található egy I .
Krull dimenzióAz elsődleges eszmék halmazának beillesztésével rendezett szerkezet a gyűrű dimenziójának egyik lehetséges meghatározásának forrása, összhangban az algebrai geometriában előforduló gyűrűk geometriai megérzésével . A Krull dimenziója kommutatív gyűrű A definíció szerint a legnagyobb n , amelyre létezik egy szigorúan növekvő lánc elsődleges eszméinek A a következő formában:
A spektrum és a maximális spektrum topológiájaA készlet elsődleges eszméinek kommutatív gyűrű Egy az úgynevezett első spektrumú az A . Fel lehet szerelni egy Zariski nevű topológiával , amely általánosítja egy algebrai halmaz Zariski topológiáját . Amint ez meghatározott topológia, a topológiai tér Spec ( A ) lehet szerelni egy gerenda a gyűrűk, lokalizált A . Az objektum ezután az algebrai fajtákat általánosító diagramok meghatározásának alapja .
Ha az elsődleges spektrum, mivel konstrukciója funkcionális , különösen alkalmas az algebrai geometriára, a funkcionális elemzés során gyakran a maximális spektrumot , a maximális ideálok halmazát kérik , különösen az egységes kommutatív Banach-algebrák elméletében . Meg lehet ellátva külön topológia . A Gelfand-transzformáció (en) lehetővé teszi, hogy amikor injektív, a Banach-algebra elemeit az algebra spektrumának függvényeként értelmezze.
Az ideálelmélet viszonylag új keletű, mivel Richard Dedekind alkotta meg a XIX . Század végén. Abban az időben a matematikai közösség egy részét az algebrai számok és különösen az algebrai egész számok érdekelték .
A kérdés az volt, hogy az algebrai egész számok úgy viselkednek-e, mint a relatív egész számok , különös tekintettel az "egyedi" lebonthatatlan tényezőkké történő bontásra. A XIX . Század elejétől úgy tűnt , nem mindig volt ez így : 6, amely például a Z [ i √ 5 ] gyűrűben 2 × 3 formában vagy (1 + i √ 5 ) (1 - i √ 5 ) alakban bomlani képes .
Ernst Kummer , akit Lejeune Dirichlet sürgős általánosítással figyelmeztetett , rájött egy olyan tényre, amelyet rendkívül siralmasnak ( maxim dolendum ) tartott: a relatív egész számokkal ellentétben lineáris kombinációk, amelyek d 'egységének egy adott gyökere hatványainak relatív egész együtthatói (későbbi későbbiekben) terminológia: egy ciklotomikus test egész számai ) nem feltétlenül bomlanak meg egyedi módon (kivéve az „egység” tényezőket) bomolhatatlan elemek szorzatává. A bontás egyediségének megőrzése érdekében Kummer 1847-es cikkében bevezette az ideális komplex számok fogalmát.
Az elképzelés az, hogy egyedivé tegyük a prímtényezőt más számok mesterséges hozzáadásával (ugyanúgy, ahogy i- t adunk a valós számokhoz, például negatív négyzetű számokhoz). A fenti példában négy „ideális” a , b , c és d számot „találunk ki” , például:
Így a 6 ekkor egyedülálló módon bomlik le:
1871-ben Dedekind létrehozta az ebben a cikkben meghatározott fogalmat a gyűrű ideáljáról. Ideálok DEDEKIND új formai kialakítása és általánosítása komplex számok ideálok (en) Kummer. A Dedekindet elsősorban algebrai egész számok gyűrűi érdeklik, amelyek szervesek. Ezen a területen találhatók az ideálok legérdekesebb eredményei. A gyűrű ideálkészletén létrehozza a relatív egész számok összeadásához és szorzásához hasonló műveleteket.
Az ideálelmélet jelentős előrelépést tett lehetővé az általános algebrában , de az algebrai görbék (algebrai geometria) tanulmányozásában is.
Más matematikai összefüggésekben a különféle tárgyakat ideáloknak is nevezik, amelyek mindegyike rokon vagy bizonyos értelemben analóg a cikkben tárgyalt gyűrűideálokkal:
Ezenkívül a „ történelmi aspektus ” részt Jacques Bouveresse , Jean Itard és Émile Sallé, a Histoire des mathematics [ a kiadások részletei ] felhasználásával írták. .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">