Milnor K-elmélete

A K-elmélet Milnor , az elméleti matematika, amelyet John Milnor vezetett be , az egyik első kísérlet a K- elméleti algebrai magasabb rendű csoportok meghatározására .

Meghatározás

A számítás a K 2 egy mező F vezetett Milnor az alábbi eseti meghatározása a K csoport, amelyek az indexek nagyobb a

K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ {\ alkalommal} / (a ​​\ otimes (1-a)),

Ezért, mint a ( végzett ) hányadosa a tenzor algebra az az Abel-csoport F × a kétoldalú ideális generált által egy ⊗ (1 - a ) az egy ≠ 0, 1.

A tenzor terméket a T * F indukál egy termék K M m × K M N → K M m + n ami K M ( F ) egy beosztással gyűrű , amely kommutatív (a beosztott értelemben) .

Példák

Az n = 0, 1 vagy 2, ezek a K -csoporttal mezők egybeesik azoknak Quillen , de n ≥ 3, ezek általában különböző.

K M N ( F q ) = 0 n ≥ 2 (mivel a K -Quillen csoport K 2 i - 1 ( F q ), az i ≥ 1, jelentése ciklikus az érdekében q i - 1).

A K M 2 ( ℂ ) meg nem számlálható osztható csoport torzió nélkül .

K M 2 ( ℝ ) a közvetlen összege egy gyűrűs alcsoport rend 2 és megszámlálható osztható alcsoport nélkül torziós.

A K M 2 ( ℚ p ) az F p multiplikatív csoportjának és a torzió nélküli megszámlálhatatlan osztható alcsoportnak a közvetlen összege .

K M 2 ( ℚ ) a 2. rendű ciklikus alcsoport és a p - 1 nagyságrendű ciklikus alcsoportok közvetlen összege bármilyen p páratlan prímszámra .

Linkek más elméletekhez

A Milnor K-elmélet alapvető szerepet játszik az osztályelmélet felső (en) testeiben , helyettesítve az 1. dimenzió osztályterület elméletében használt K M 1 -et.

Milnor a modulo 2 K-elmélet, jele k ✲ ( F ), összefügg a étale (vagy Galois ) cohomology a területen F által Milnor sejtés , bizonyítja Vladimir Voïevodski . A modulo és a páratlan prímszám analóg állítása a Bloch-Kato sejtés (en) , amelyet Voevodsky és Rost (de) bizonyított .

Definiáljuk a „szimbólum” { a 1 , ..., a n }, mint a kép egy 1 ⊗ ... ⊗ egy n a K M n ( F ): ha n = 2, ez egy Steinberg szimbólum .

Definiáljuk minden n egy morfizmus a k n ( F ) a Witt csoportban a F , társítanak ez a szimbólum a Pfister formájában (en) A 2. dimenzió n

$\ langle \ langle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n} \ rangle \ rangle = \ langle 1, a_ {1} \ rangle \ otimes \ langle 1, a_ {2} \ rangle \ otimes \ ldots \ otimes \ langle 1, a_ {n} \ rangle.$

Úgy tekintjük, hogy az I n / I n +1 értékekkel rendelkezik , ez a morfizmus surjektív, mert a Pfister formák additív módon generálják az I n-t . Milnor sejtését ennek a morfizmusnak az injektivitásaként értelmezik .

Hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Milnor K-elmélet ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) John Willard Milnor , " Algebrai K-elmélet és másodfokú formák " , Feltalál. Math. , vol. 9, n o 4,1970, P. 318-344 ( online olvasás ).
(in) Philippe Gille és Szamuely Tamás (de) , Central mere algebras and Galois cohomology , UPC , al. "Cambridge Studies for Advanced Mathematics" ( n o. 101),2006( ISBN 0-521-86103-9 , zbMATH 1137.12001 , online olvasás ) , p. 208.
(en) Tsit-Yuen Lam , Bevezetés a másodfokú formákba a mezők felett , Gondviselés (RI), AMS , koll. " GSM " ( n o 67)2005, 550 p. ( ISBN 0-8218-1095-2 , online olvasás ) , p. 366.
Lam 2005 , p. 316.