K -topológia

A matematika , a K -topology , vagy Smirnov topológiája az elnyomott szekvencia , egy különösen topológia a forgatáson ℝ a valós számok , finomabb , mint a szokásos topológia , és amelyre a beállított K a inverzeinek a nem nulla természetes egész számok jelentése zárt (mivel a szokásos topológia, 0 , amely nem tartozik a K , egy felhalmozódása pont a K ). Ezen tér egyéb figyelemre méltó tulajdonságai hasznos ellenpéldává teszik az általános topológiában .

Meghatározás

Legyen K = {1 / n | n ∈ ℕ *}. Az összes nyitott valós intervallum családja ] a , b [és az összes alakhalmaz ] a , b [\ K topológiai alapot képez . A topológia generált e család az úgynevezett K -topologie a ℝ és ez topologikus tér Megjegyezzük ℝ K .

Tulajdonságok

• Ez a topológia finomabb, mint a ℝ szokásos topológiája (ezért elkülönül , sőt tetszik is Urysohntól ), de nem hasonlítható össze a Sorgenfrey-vonal topológiájával .
• Ez megszámlálható alapján (tehát elkülöníthető , a megszámlálható bázisokkal negyedek és Lindelöf ).
• A ℝ K tér össze van kapcsolva , de nem ívekkel van összekötve , mert két ív által összekötött komponens van: ] −∞, 0] és ] 0, + ∞ [ .
• Ezért nincs lokálisan összekötve ívekkel .
• Sőt, még 0-on sem lokálisan van összekötve (de bármely más ponton van).
• A K rész végtelen és felhalmozódási pont nélküli, ezért ℝ K nem számolhatóan kompakt (ezért nem is egymás után kompakt , mivel megszámlálható alapja van)
• Hasonlóképpen, egyetlen K-t tartalmazó altér (például a [0, 1] szegmens ) sem számolhatóan kompakt.
• A ℝ K / K hányados tér nincs elválasztva.
• ℝ K nem szabályos (a zárt K és a 0 pontot nem választja el  ( nem ) két diszjunkt nyílás ), de ez egy G δ tér .
• Nem parakompakt (mivel nem normális ), hanem csak metakompakt  (en) .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  K-topológia  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

1. (en) James Munkres , topológia , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1975), 537  p. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , online olvasás ) , p.  82 : "  A ℬ által generált topológiát Lejártnak fogják nevezni, a K-topológia ℝ. Amikor ℝ megkapta ezt a topológiát, akkor ℝ K-vel jelöljük .  "
2. (in) Lynn Arthur Steen és J. Arthur Seebach, Jr. , Ellenpéldák a topológiában , Dover ,1995( 1 st  ed. Springer , 1978), 244  p. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , online olvasás ), 64. ellenpélda : "  Smirnov törölt szekvencia topológiája  "
3. Valójában ez az egyetlen.