Topológiai tulajdonság

A topológia és a kapcsolódó területeken a matematika , a topológiai tulajdon (vagy topológiai invariáns) olyan tulajdonság, mint egy topologikus tér , amely továbbra is változatlan az alkalmazása homeomorphisms . Vagyis amikor egy X topológiai térnek megvan ez a tulajdonsága, akkor az X-re homeomorf minden térnek is megvan ez a tulajdonsága. Informálisan egy topológiai tulajdonság az, amelyet nyílt halmazok segítségével teljes mértékben ki lehet fejezni .

A topológiában gyakori probléma abban áll, hogy megtudjuk, két topológiai tér homeomorf vagy sem. Annak bizonyításához, hogy két tér nem homeomorf, elegendő olyan topológiai tulajdonságot találni, amelyen nem osztoznak.

Bíboros funkciók

A bíboros | X | az X topológiai tér
A bíboros τ ( X ) a beállított nyílások a topológiai tér X.
A w ( X ) súly, amely megfelel az X tér topológiájának alapjainak legkisebb bíborosának.
A sűrűség d ( X ), amely megfelel a legkisebb bíboros egy részhalmaza X , amelynek tapadási jelentése X.

Elválasztás

Ne feledje, hogy ezeknek a kifejezéseknek a meghatározása a régebbi matematikai szakirodalomban eltérõ; lásd a szétválás axiómáinak történetét .

T 0 vagy Kolmogorov. Kolmogorov- tér az, ha minden különálló x és y pont pár esetében létezik legalább egy nyitott halmaz, amely x-et tartalmaz, de nem tartalmaz y , vagy egy nyitott halmaz, amely y-t tartalmaz, de nem x-et .
T 1 vagy Fréchet. A szóköz akkor Fréchet, ha az egyes térbeli x és y pontok mindegyikéhez létezik egy nyitott halmaz, amely x-et tartalmaz, de nem y-t . (Hasonlítsuk össze a T 0-val ; itt megadhatjuk, hogy melyik pont kerüljön a nyitott halmazba.) Hasonlóképpen, egy tér akkor T 1, ha az összes szingulettje zárva van. A T 1 szóközök mindig T 0 .
Józan. Egy tér józan, ha minden zárt redukálhatatlan C halmaznak egyedi p általános pontja van . Más szavakkal, ha C nem két kisebb zárt részhalmaz uniója (esetleg nem diszjunkciója), akkor létezik olyan p , hogy a { p } lezárása egyenlő C-vel, és hogy p az egyetlen pont ezzel a tulajdonsággal.
T 2 vagy külön. Egy szóközt akkor választunk el, ha az összes különböző pontpár különálló szomszédságokat ismer be. A T 2 szóközök mindig T 1 .
T 2½ vagy Urysohn. A tér akkor Urysohn, ha mind a két elkülönülő pont szorosan elkülönül egymástól. A T 2½ szóköz mindig T 2 .
Teljesen T 2 vagy teljesen külön. Egy szóköz teljesen T 2, ha az összes különálló pont párját elkülöníti egy függvény. Minden teljesen különálló tér az Urysohntól származik.
Szabályos. A szóköz akkor szabályos, ha valahányszor C zárt halmaz és p olyan pont, amely nincs C-ben , akkor C-nek és p-nek vannak diszjunkt szomszédságai.
T 3 vagy szokásos Hausdorff. Egy szóköz normál Hausdorff, ha normál T 0 tér . (A reguláris tér Hausdorff akkor és csak akkor, ha T 0, tehát a terminológia következetes .)
Teljesen szabályos. A szóköz teljesen szabályos, ha valahányszor C zárt halmaz és p olyan pont, amely nincs C-ben , akkor C-t és { p } -et elválaszt egy függvény.
T 3½, Tychonoff, Hausdorff teljesen szabályos vagy teljesen T 3. A Tychonoff tér egy teljesen normális T 0 tér . (A teljesen normális tér Hausdorff akkor és csak akkor, ha T 0 , tehát a terminológia megegyezik.) A Tychonoff-terek mindig hétköznapi Hausdorffok.
Normál. A szóköz akkor normális, ha két diszjunkt zárt halmaznak diszjunkt környékei vannak. A normál terek beengedik az egység partícióit .
T 4 vagy Normal Hausdorff. Normál tér Hausdorff akkor és csak akkor, ha T 1 . A normál Hausdorff-terek mindig Tychonoff-ok.
Teljesen normális. A szóköz teljesen normális, ha két külön halmaznak nincsenek összefüggő környezetei.
T 5 vagy teljesen normális Hausdorff. Egy szóköz teljesen normális Hausdorff, ha csak T 1 . A teljesen normál Hausdorff terek mindig normális Hausdorffok.
Teljesen normális. A szóköz teljesen normális, ha két diszjunkt zárt halmazt pontosan elkülönít egy függvény. Egy teljesen normális térnek is teljesen normálisnak kell lennie.
T 6 vagy Hausdorff teljesen normális, vagy tökéletesen T 4 . A szóköz teljesen normális Hausdorff , teljesen normális és T 1 is . A teljesen normális Hausdorff térnek teljesen normális Hausdorff térnek is kell lennie.
Diszkrét tér. Egy tér akkor diszkrét, ha minden pontja teljesen elszigetelt, vagyis ha egy részhalmaz nyitott.

Számviteli feltételek

Szétválaszthatóság. A szóköz elválasztható, ha sűrű megszámlálható részhalmaza van .
A környékek megszámlálható bázisai. Egy térnek megszámlálható szomszédsági bázisa van, ha minden pontnak megszámlálható szomszédsági bázisa van .
Megszámlálható alap. A tér akkor számít megalapozottnak, ha megszámlálható alapja van a topológiájának. Ezek a terek mindig elválaszthatók, a szomszédságok és Lindelöf megszámlálható alapjaival .

Kapcsolódás

Összefüggő. Egy tér akkor van összekapcsolva, ha nem egy szétválasztott, nem üres nyitott halmaz párja. Ekvivalensen akkor kapcsolódik egy tér, ha az egyetlen nyitott-zárt halmaz az üres halmaz és maga.
Helyileg kapcsolódó. Egy tér helyileg kapcsolódik, ha minden egyes pont szomszédsági alapja összekapcsolt halmazokból áll.
Teljesen szakaszos. Egy tér teljesen megszakítás nélküli, ha nincs egynél több ponttal összekapcsolt részhalmaza.
Ívekkel kapcsolatos. A tér X van összekötve ívek esetén, két pont x , y az X , létezik egy útvonal p a x a y , azaz a folyamatos térkép p : [0,1] → X a p (0) = X és p (1) = y . Az ívekkel összekötött terek mindig összekapcsolódnak.
Helyileg ívekkel összekötve. A teret ívek kapcsolják lokálisan, ha minden pontnak van egy szomszédos alapja, amelyet ívek összekötnek. Az ívek által helyileg összekapcsolt tér akkor és csak akkor csatlakozik, ha ívekkel van összekötve.
Egyszerűen kapcsolódik. A tér X jelentése egyszerűen csatlakoztatva , ha csatlakoztatva van a ívek, és minden folyamatos térkép f : S 1 → X jelentése homotóp konstans térképet.
Helyileg egyszerűen összefüggő. A tér X lokálisan egyszerűen csatlakoztatható, ha minden egyes pont x az X egy alapja egyszerűen csatlakoztatva városrészek.
Egyszerűen helyileg csatlakoztatva. Egy X tér egyszerűen félig lokális módon kapcsolódik össze, ha minden pontnak van egy U szomszédságának helyi alapja, így az U minden hurka X-ben összehúzódik. Egyszerű fél-lokális kapcsolat, szigorúan gyengébb feltétel, mint az egyszerű helyi összeköttetés, a bevonat létezésének szükséges feltétele .
Összehúzó. A tér X jelentése összehúzó , ha a személyazonosságát térkép on X jelentése homotóp állandó térképet. A kontraktilis terek mindig egyszerűen összekapcsolódnak.
Nem csökkenthető. A szóköz nem szerkeszthető, ha két nyitott, nem üres halmaz nincs szétválasztva. Minden hiperhálózatú hely össze van kötve.
Nagyon csatlakoztatott. A szóköz akkor kapcsolódik egymáshoz, ha két zárt, nem üres halmaz nem válik szét. Minden ultrakapcsolt helyet egy út köt össze.
Durva. A szóköz akkor durva, ha az egyetlen nyitott halmaz az üres halmaz és maga. Azt mondjuk, hogy egy ilyen tér durva topológiával rendelkezik .

Tömörség

Kompakt. A tér kompakt , ha minden lefedő egy al - amely felett. Egyes szerzők ezeket a tereket kvázi kompaktnak és kompaktnak tartják Hausdorff terek számára, ahol minden nyitott burkolat kész alsó borítással rendelkezik. A kompakt terek továbbra is Lindelöf és parakompaktok. A kompakt Hausdorff-terek ezért normálisak.
Szekvenciálisan kompakt. Egy helyet egymás után tömörítenek, ha minden szekvenciának konvergens szekvenciája van.
Kompatibilis kompakt. Egy hely végtelenül kompakt, ha minden nyitott, megszámlálható fedél kész befejezett fedéllel rendelkezik.
Pszeudokompakt. Egy tér pszeudokompakt, ha a valós értékek összes folytonos függvénye el van határolva.
σ-kompakt. A tér akkor σ-kompakt, ha sok kompakt részhalmaz egyesülése.
Lindelöf. A szóköz akkor Lindelöf, ha minden nyitott borítónak megszámlálható fedése van .
Paracompact. A hely parakompakt, ha minden nyitott borító helyileg elkészült nyitott finomítással rendelkezik. A paracompact Hausdorff szóközök normálisak.
Helyileg kompakt. A hely kompakt, ha minden pontnak van egy helyi alapja, amely kompakt környezetekből áll. Kissé eltérő definíciókat is használnak. A helyileg kompakt Hausdorff terek továbbra is Tychonoff-ok.
Nagyon csatlakoztatott kompakt. Kompakt, ultrakapcsolt X térben minden nyitott burkolatnak tartalmaznia kell magát X-et . Ultra-kapcsolt, nem üres kompakt terek egy nagyobb nyílt részhalmaza úgynevezett monolit .

Mérhetőség

Metisable. Egy tér akkor mérhető, ha homeomorf egy metrikus térhez képest . A mérhető terek mindig Hausdorff és parakompaktok (és ezért normál és Tychonoff), és először számítanak. Ezenkívül egy topológiai tér (X, T) mérhetőnek mondható, ha létezik olyan metrikája X-hez, hogy a T (d) metrikus topológia megegyezzen a T topológiával.
Fényesít. Egy teret lengyelnek nevezünk, ha teljes és elválasztható metrikával metrizálható.
Helyileg mérhető. Egy tér helyileg mérhető, ha minden pontnak van mérhető környezete.

Különféle

Baire tér. Az X tér akkor Baire tér, ha önmagában nem sovány . Ekvivalensen X Baire-tér, ha sok sűrű nyitott halmaz metszéspontja sűrű.
Topológiai homogenitás. A tér X jelentése (topológiailag) homogén , ha minden egyes x és y a X van egy homeomorfizmus f : X → X olyan, hogy az f ( x ) = y . Intuitívan ez azt jelenti, hogy a tér minden pillanatban ugyanúgy néz ki. Valamennyi topológiai csoport homogén.
Finoman generált vagy Alekszandrov. Egy X tér van Alexandrov , ha önkényes metszéspontjait nyílt halmazok X nyitva vannak, vagy azzal egyenértékű, ha az önkényes szakszervezetek zárt halmazok zárva vannak. Ezek pontosan a végesen generált tagjai a kategória topologikus terek és folyamatos leképezések.
Nulla dimenziós. Egy tér nulla dimenziós, ha nyitott-zárt halmaza van. Pontosan ezek a terek kis induktív dimenzióval , 0-val .
Szinte diszkrét. A szóköz szinte diszkrét, ha minden nyitott halmaz zárt (tehát nyitott-zárt). A szinte diszkrét terek pontosan a finoman létrehozott nulla dimenziós terek.
Logikai. Egy tér akkor logikai, ha nulla dimenziós, kompakt és Hausdorff (ekvivalens, teljesen leválasztva, kompakt és Hausdorff). Pontosan ezek a Boole algebrák kőtereinek homeomorf terei .
Reidemeister csavar
$\kappa$ -megoldható. Egy térről azt mondják, hogy κ-feloldható (illetőleg: majdnem κ-feloldható), ha κ sűrű halmazokat tartalmaz, amelyek ketté-ketté diszjunktok (illetve: a diszkrét részek ideális sűrűségéből sehol sem). Ha a tér nem oldhatatlan, akkor azt oldhatónak nevezzük . $\kappa$ $\kappa$
Maximálisan megoldva. A tér akkor oldódik fel maximálisan, ha -feloldható, hol . A számot a scatter karakterének nevezzük . $x$ ${\ displaystyle \ Delta (X)}$ ${\ displaystyle \ Delta (X) = \ min \ {| G |: G \ neq \ emptyyset, G {\ mbox {nyitva van}} \}}$ ${\ displaystyle \ Delta (X)}$ $x$
Erősen diszkrét. Az együttes a tér erősen diszkrét részhalmaza, ha pontjait szétválasztott negyedekkel lehet elválasztani párban. Tér azt mondják, hogy nagyon diszkrét, ha minden nem-izolált pontja a pont felhalmozódása egy erősen diszkrét halmaz. $D$ $x$ $D$ $x$ $x$

Lásd még

Euler jellemző
Kanyargós szám
Jellemző osztály
Jellegzetes számok
Csern osztály
Csomópont változatlan
Link száma
Fixpont tulajdonság
Topológiai kvantumszám
Homotóp és kohomotóp csoport
Homológia és kohomológia
Quantum invariáns

Hivatkozások

Juhász, Soukup, Lajos és Szentmiklóssy, Zoltán, „ Megoldhatóság és egyhangú normalitás ”, Israel Journal of Mathematics , vol. 166, n o 1,2008, P. 1–16 ( ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007 / s11856-008-1017-y , arXiv math / 0609092 )

Bibliográfia

(en) Stephen Willard , általános topológia , Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co,1970, 369 p. ( ISBN 978-0-486-43479-7 , online olvasás )