Law törvénye

Törvény $\ chi$
Valószínűségi sűrűség


Elosztási funkció

Beállítások	${\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ dots \} \,}$ ( szabadságfokok )
Támogatás	${\ displaystyle x \ itt: [0; \ infty [}$
Valószínűségi sűrűség	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {1-k / 2} x ^ {k-1} e ^ {- x ^ {2} / 2}} {\ Gamma (k / 2)}}}$
Elosztási funkció	${\ displaystyle P (k / 2, x ^ {2} / 2) \,}$
Remény	${\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ((k + 1) / 2)} {\ Gamma (k / 2)}}}$
Divat	${\ displaystyle {\ sqrt {k-1}} \,}$ mert $k \ geq 1$
Variancia	${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}$
Aszimmetria	${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}$
Normalizált kurtosis	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}$
Entrópia	${\ displaystyle \ ln (\ Gamma (k / 2)) + \,}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} (k \! - \! \ ln (2) \! - \! (k \! - \! 1) \ psi _ {0} (k / 2))}$
Pillanatgeneráló funkció	(lásd a részleteket a cikkben)
Jellemző funkció	(lásd a részleteket a cikkben)

A valószínűségszámítás és a statisztika , a törvény $\ chi$ (ejtsd: „chi”) egy törvény folytonos valószínűség . Ez a normál törvénytől független k véletlen változó középtörzsének törvénye, középre csökkentve, a k paraméter a szabadság fokainak száma . A leggyakoribb példa a Maxwell-törvény , amely k = 3 fokú szabadságának törvénye ; modellezi a molekuláris sebességet (normalizált). $\ chi$

Ha van olyan k független valószínűségi változók normális eloszlású és a szórás , akkor a változó $X_ {i}$ $\ mu _ {i}$ $\ sigma _ {i}$

{\ displaystyle Y = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ balra ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobbra) ^ {2}}}}

törvénye . $\ chi$

Jellemzések

{\ displaystyle f (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 ^ {1 - {\ frac {k} {2}}} x ^ {k-1} e ^ {- { \ frac {x ^ {2}} {2}}}} {\ Gamma ({\ frac {k} {2}})}} és {\ text {for}} x> 0 \\ 0 és {\ text {egyébként}} \ vég {esetek}}}

hol van a gamma függvény . $\ Gamma (z)$

A törvény eloszlásfüggvénye : $\ chi$

{\ displaystyle F (x; k) = {\ begin {cases} \ displaystyle P \ bal ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {x ^ {2}} {2}} \ jobb) & {\ text {for}} x> 0 \\ 0 és {\ text {különben}} \ end {esetek}}}

hol van a hiányos (rendszeresített) gammafunkció . ${\ displaystyle P (k, x)}$

Pillanatgeneráló funkció

{\ displaystyle M (t) = M \ balra ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ jobbra ) + t {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} M \ balra ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ jobbra).}

Jellemző funkció

A jellemző funkciót a következők adják:

{\ displaystyle \ varphi (t; k) = M \ balra ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2 }} \ jobbra) + it {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2} })}} M \ balra ({\ frac {k + 1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, {\ frac {-t ^ {2}} {2}} \ jobbra) .}

A törvény törvényének pillanatait a következők adják: $\ chi$

{\ displaystyle \ mu _ {j} = 2 ^ {j / 2} {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + j} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2 }})}}}

hol van a gamma függvény . Az első pillanatok a következők: $\ Gamma (z)$

{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac { k} {2}})}}}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = k \,}

{\ displaystyle \ mu _ {3} = 2 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 3} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) \ mu _ {1}}

{\ displaystyle \ mu _ {4} = k (k + 2) \,}

{\ displaystyle \ mu _ {5} = 4 {\ sqrt {2}} \, \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 5} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}})}} = (k + 1) (k + 3) \ mu _ {1}}

{\ displaystyle \ mu _ {6} = k (k + 2) (k + 4) \,}

ahol a kifejezések a gamma függvény ismétlődő relációjából származnak:

{\ displaystyle \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) \,}

ezekből a kifejezésekből a következő összefüggéseket állapíthatjuk meg az elvárás , a variancia , az aszimmetria és végül a kurtosis esetében :

{\ displaystyle \ mu = {\ sqrt {2}} \, {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {k + 1} {2}})} {\ Gamma ({\ tfrac {k} {2}} )}}}

{\ displaystyle \ sigma ^ {2} = k- \ mu ^ {2} \,}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {3}}} \, (1-2 \ sigma ^ {2})}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {2} {\ sigma ^ {2}}} (1- \ mu \ sigma \ gamma _ {1} - \ sigma ^ {2})}

Az entrópiát a következők adják:

{\ displaystyle S = \ ln \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}} \ right) \ right) + {\ frac {1} {2}} \ left (k- \ ln ( 2) - (k-1) \ psi _ {0} \ balra ({\ frac {k} {2}} \ jobbra \ jobbra)}

hol van a poligamma függvény . ${\ displaystyle \ psi _ {0} (z)}$

Ha akkor , ( törvény χ² ) ${\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k} (x)}$ ${\ displaystyle X ^ {2} \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}$
${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} {\ tfrac {\ chi _ {k} (x) - \ mu _ {k}} {\ sigma _ {k}}} {\ xrightarrow {d}} \ N (0,1) \,}$ , ( normál eloszlás )
Ha akkor , ( félig normális eloszlás ) mindenkinek ${\ displaystyle X \ sim \ chi _ {1} (x) \,}$ ${\ displaystyle \ sigma X \ sim HN (\ sigma) \,}$ ${\ displaystyle \ sigma> 0 \,}$
${\ displaystyle \ chi _ {2} (x) \ sim \ mathrm {Rayleigh} (1) \,}$ , ( Rayleigh törvénye )
${\ displaystyle \ chi _ {3} (x) \ sim \ mathrm {Maxwell} (1) \,}$ , ( Maxwell törvénye )
${\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {N}} _ {i = 1, \ ldots, k} {(0,1)} \ | \ sim \ chi _ {k} (x)}$ , (A norma az n változók a normális eloszlás van a törvény a k szabadságfokú.) $\ chi$
törvénye az általánosított gamma törvény speciális esete . $\ chi$

Különböző törvények és

\ chi

\ chi ^ 2

Törvények	a normális eloszlási változók függvényében
törvény χ²	$\ sum_ {i = 1} ^ k \ bal (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ jobb) ^ 2$
law² törvény nem központosított	$\ sum_ {i = 1} ^ k \ balra (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ jobbra) ^ 2$
törvény χ	$\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ balra (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ jobbra) ^ 2}$
törvény a χ nem központosított	$\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ balra (\ frac {X_i} {\ sigma_i} \ jobbra) ^ 2}$