A Law törvénye nem központosított

A nem központú törvényχ{\ displaystyle \ chi}
Beállítások	k∈{1,2,...}{\ displaystyle k \ in \ {1,2, \ dots \} \,}( szabadságfokok ) λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0 \,}
Támogatás	x∈[0;+∞[{\ displaystyle x \ itt: [0; + \ infty [\,}
Valószínűségi sűrűség	e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2énk/2-1(λx){\ displaystyle {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}
Remény	π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ balra ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} { 2}} \ jobbra \ \}
Variancia	k+λ2-μ2{\ displaystyle k + \ lambda ^ {2} - \ mu ^ {2} \,}

A valószínűségszámítás és a statisztika , a törvény nem központúχ{\ displaystyle \ chi} általánosítása a törvény χ . Ha vannak k valószın˝uségi változók függetlenek a szokásos gyakorlat az átlagok és a megfelelő szórás és azután xén,én=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle X_ {i}, \, i = 1, \ dots, k} μén,én=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ mu _ {i}, \, i = 1, \ dots, k}σén,én=1,...,k{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {i}, i = 1, \ dots, k}

x=∑1k(xénσén)2{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ balra ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobbra) ^ {2}}}}

egy nem központosított véletlen változó . Ennek a törvénynek két paramétere van: egy egész szám, amely meghatározza a szabadság fokainak számát (azaz a változók számát ), és egy valós a változók átlagához viszonyítva a következő képlettel: χ{\ displaystyle \ chi}k{\ displaystyle k}xén{\ displaystyle X_ {i}}λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}xén{\ displaystyle X_ {i}}

λ=∑1k(μénσén)2{\ displaystyle \ lambda = {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ bal ({\ frac {\ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobb) ^ {2} }}}

Azt fogjuk mondani, hogy X követi a χ törvényét, amelynek középpontjában nem áll a k szabadság foka és a λ paraméter, megjegyezzükx∼NEMVSχk(λ){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (\ lambda)}

Tulajdonságok

A valószínűségi sűrűséget az alábbiak adják meg:

f(x;k,λ)=e-(x2+λ2)/2xkλ(λx)k/2énk/2-1(λx){\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ frac {e ^ {- (x ^ {2} + \ lambda ^ {2}) / 2} x ^ {k} \ lambda} {(\ lambda x) ^ {k / 2}}} I_ {k / 2-1} (\ lambda x)}

hol van az első fajta módosított Bessel-függvény . énv(z){\ displaystyle I _ {\ nu} (z)}

Az első pillanatok a következők:

μ1′=π2L1/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {1} = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {1/2} ^ {(k / 2-1)} \ bal ({\ frac {- \ lambda ^ {2}} {2}} \ jobbra)} μ2′=k+λ2{\ displaystyle \ mu '_ {2} = k + \ lambda ^ {2}} μ3′=3π2L3/2(k/2-1)(-λ22){\ displaystyle \ mu '_ {3} = 3 {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} L_ {3/2} ^ {(k / 2-1)} \ bal ({\ frac { - \ lambda ^ {2}} {2}} \ jobbra)} μ4′=(k+λ2)2+2(k+2λ2){\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda ^ {2}) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda ^ {2})}

hol van az általánosított Laguerre-polinom . Vegye figyelembe, hogy a második pillanat megegyezik a nem központosított χ² törvény n- edik mozzanatával, ahol a paraméter helyébe egy lép . Lnem(nál nél)(z){\ displaystyle L_ {n} ^ {(a)} (z)}λ{\ displaystyle \ lambda}λ2{\ displaystyle \ lambda ^ {2}}

Kapcsolat más törvényekkel

• Ha egy nem központosított χ²-törvény véletlen változó , akkor a véletlen változó egy nem központosított law-törvény véletlen változó.x{\ displaystyle X}x2{\ displaystyle X ^ {2}}
• Ha van joga χ , akkor a törvény nem középen χ: . Más szavakkal, a χ törvénye a χ törvényének speciális esete, amelynek központja nem a paraméter .x{\ displaystyle X}x∼χk{\ displaystyle X \ sim \ chi _ {k}}x{\ displaystyle X}x∼NEMVSχk(0){\ displaystyle X \ sim NC \ chi _ {k} (0)}λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
• A törvény a χ nem középen két szabadsági fokkal hasonló a törvény Rice a .σ=1{\ displaystyle \ sigma = 1}
• Ha X egy központú law törvényt követ egy szabadságfokkal és a λ paraméterrel, akkor σ X egy σλ és σ 2 paraméterekkel ellátott hajtogatott normális törvényt követ bármely σ érték esetén.

Különböző törvények ésχ{\ displaystyle \ chi}χ2{\ displaystyle \ chi ^ {2}}

Törvények	a normális eloszlási változók függvényében
törvény χ²	∑én=1k(xén-μénσén)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ balra ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobbra) ^ {2} }
law² törvény nem központosított	∑én=1k(xénσén)2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ balra ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobbra) ^ {2}}
törvény χ	∑én=1k(xén-μénσén)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ bal ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobb) ^ {2}}}}
törvény a χ nem központosított	∑én=1k(xénσén)2{\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {k} \ balra ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ jobbra) ^ {2}}}}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">