Tökéletes gázkeverék

Szerint a Gibbs-tétel egy keveréke ideális gázok egy ideális megoldás .

Állapotegyenlet

Szerint a Dalton-törvény , egy adott hőmérsékleten és térfogata , mind a összetevők keverékéből ideális gázok viselkedik, mintha egyedül. Más szavakkal, bármely alkotóelem , amelyet a keverékben egy mennyiség képvisel , úgy viselkedik, mintha a tiszta anyag ideális gáztörvénye szerint kiszámított, résznyomásnak nevezett nyomáson lenne : $T$ $V$ $NEM$ $én$ $vagy$ $P_i$ $én$

{\ displaystyle P_ {i} = {\ frac {n_ {i} RT} {V}}}

Dalton törvénye azt sugallja, hogy az ideális gázkeverék teljes nyomása a keverék alkotóelemeinek résznyomásainak összege: $P$

P = \ összeg _ {{i = 1}} ^ {N} P_ {i}

az:

Ideális gáztörvény keverékhez:

{\ displaystyle PV = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} RT}

val vel:

$P$ , Nyomás ;
$T$ , Hőmérséklet ;
$V$ , kötet ;
$vagy$ , az alkotóelem mennyisége ; $én$
$R$ , univerzális ideális gázállandó .

Figyelembe véve az ideális gázkeverék teljes anyagmennyiségét és a komponens mólfrakcióját , megkapjuk: $n = \ összeg _ {{i = 1}} ^ {N} n_ {i}$ $y_ {i} = {\ frac {n_ {i}} {n}}$ $én$

{\ displaystyle {\ frac {RT} {V}} = {\ frac {P_ {i}} {n_ {i}}} = {\ frac {P} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} vagy}}}}

honnan :

{\ displaystyle P_ {i} = y_ {i} P}

Nagy mennyiségű ideális gázkeverék

Hangerő

Nyomás , hőmérséklet és a megadott alkotóelemek mennyisége esetén a térfogatot az ideális gáztörvény adja meg : $P$ $T$ $vagy$

Hangerő:

{\ displaystyle V = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} RT} {P}}}

Az egyes komponensek részleges moláris térfogata : ${\ bar V} _ {i}$

Részleges moláris térfogat:

{\ displaystyle {\ bar {V}} _ {i} = \ bal ({\ frac {\ részleges V} {\ részleges n_ {i}}} \ jobb) _ {P, T, n_ {j \ neq i }} = {\ frac {RT} {P}}}

Entrópia, Gibbs-tétel

A Dalton-törvényen, valamint Joule-törvényen és Gay-Lussac- on alapuló Gibbs-tétel azt mutatja, hogy a tökéletes gázkeverékhez:

„A entrópia az ideális keveréke ideális gázok egyenlő az összege entropies feltételezetten különálló komponensek, a hőmérséklet a keverék, és alatt nyomás egyenlő a parciális nyomások fejtik a keverékben. "

Ezt a tételt formálisan a következőképpen fejezzük ki: az ideális gázkeverékben az ideális gázkeverék nyomásának és hőmérsékletének teljes entrópiáját az egyes alkotórészek részleges moláris entrópiáiból számítják ki , amelyeket a mennyiségek és a moláris frakciók képviselnek , alapján: $S$ $P$ $T$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i}}$ $NEM$ $én$ $vagy$ $y_i$

Gibbs-tétel:

{\ displaystyle S \ bal (P, T, n \ jobb) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {S}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} TR \ ln \! \ Balra ({\ frac {y_ {i} P} {P ^ {\ circ}}} \ jobbra) + {\ bar { S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Mayer tiszta ideális gázra vonatkozó viszonyától kezdve , a moláris izohórikus hőteljesítmény bevezetésével megvan az összefüggés: ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} = {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} + R}

honnan :

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} T + R \ ln \! \ Bal ({\ frac {T} {T ^ {\ circ}}}} jobbra) -R \ ln \! \ Balra ({\ frac {P_ {i}} {P ^ {\ circ}}} \ jobbra) + {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} TR \ ln \! \ Balra ({\ frac {P_ {i} T ^ {\ circ}} {P ^ {\ circ} T}} \ jobbra ) + {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

figyelembe véve és : ${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {T}} = {\ frac {n_ {i} R} {V}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ circ}} {T ^ {\ circ}}} = {\ frac {n_ {i} R} {V_ {i} ^ {*, \ circ}}}}$

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} TR \ ln \! \ Bal ({\ frac {V_ {i} ^ {*, \ circ}} {V}} \ jobb) + {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

honnan :

Részleges moláris entrópia:

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} TR \ ln \! \ Bal ({\ frac {P_ {i}} {P ^ {\ circ}}} \ jobb) + {\ sáv {S }} _ {i} ^ {*, \ circ} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ { *}} {T}} \, \ mathrm {d} T + R \ ln \! \ Bal ({\ frac {V} {V_ {i} ^ {*, \ circ}}} \ jobb) + {\ sáv {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

val vel:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izobáros hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izohórikus hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i}}$ , az alkotóelem részleges moláris entrópiája az ideális gázkeverékben; $én$
${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris entrópiája , és ; $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle V_ {i} ^ {*, \ circ}}$
$P_i$ Parciális nyomás komponens : , $én$ ${\ displaystyle P_ {i} = y_ {i} P}$
${\ displaystyle V_ {i} ^ {*, \ circ}}$ Kötet komponens tökéletes tiszta gáz és , . $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ circ} V_ {i} ^ {*, \ circ} = n_ {i} RT ^ {\ circ}}$

Szerint a Euler-tétel elsőrendű homogén funkciók , a teljes entrópia egy ideális gáz keveréke komponensek: $S$ $NEM$

Entrópia:

{\ displaystyle S = n {\ bar {S}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {S}} _ {i}}

azzal a moláris entrópia a keverék: ${\ displaystyle {\ bar {S}}}$

{\ displaystyle {\ bar {S}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {S}} _ {i}}

Ha jelöljük a moláris entrópia az tiszta alkotó at és : ${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*}}$ $én$ $P$ $T$

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{P , i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} TR \ ln \! \ Bal ({\ frac {P} {P ^ {\ circ}}} \ jobbra) + {\ bar { S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

ennek megfelelően megvan a kapcsolat: ${\ displaystyle P_ {i} = y_ {i} P}$

{\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} = {\ bar {S}} _ {i} ^ {*} - R \ ln y_ {i}}

az:

{\ displaystyle {\ bar {S}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {S}} _ {i} ^ {*} - \ sum _ {i = 1 } ^ {N} y_ {i} R \ ln y_ {i}}

Az utolsó kifejezést a keverés moláris entrópiájának nevezik , megjegyezve : ${\ displaystyle {\ bar {S}} ^ {M}}$

A keverés moláris entrópiája:

{\ displaystyle {\ bar {S}} ^ {M} = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} R \ ln y_ {i}}

Tekintettel arra, hogy bármely alkotóelem esetében , akkor . Az ideális és állandó gázok keverésének művelete entrópiát hoz létre. Az ideális gázkeverék entrópiájának kiszámításához a és értéknél nem elég hozzáadni a tiszta alkotóelemek entrópiáit és hozzá kell adni a keverék entrópiát . $0 <y_ {i} <1$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} ^ {M}> 0}$ $P$ $T$ $P$ $T$ $P$ $T$ ${\ displaystyle S ^ {M} = n {\ bar {S}} ^ {M}> 0}$

Ha ugyanazon gázból több mennyiséget kevernek, figyelni kell a Gibbs-paradoxonra .

Entalpia

Gibbs-tétel bizonyításakor az is megmutatkozik, hogy a keverék egyik alkotórészének részleges moláris entalpiája megegyezik a tiszta alkotórész moláris entalpiájával ugyanazon a hőmérsékleten ( ezért független a nyomástól, mint ): ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i}}$ $én$ ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*}}$

{\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} = {\ bar {H}} _ {i} ^ {*}}

Részleges moláris entalpia:

{\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} T + {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

val vel:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izobáros hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i}}$ , az alkotóelem részleges moláris entalpiája az ideális gázkeverékben; $én$
${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris entalpiája és . $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$

Szerint a Euler-tétel elsőrendű homogén funkciók , a teljes entalpiáját egy ideális gáz keveréke komponensek: $H$ $NEM$

Enthalpia:

{\ displaystyle H = n {\ bar {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {H}} _ {i}}

azzal a moláris entalpiája a keverék: ${\ displaystyle {\ bar {H}}}$

{\ displaystyle {\ bar {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {H}} _ {i}}

Izobár hőkapacitás

Az izobár hőteljesítmény meghatározása alapján meghatározhatjuk:

${\ displaystyle C_ {P} = \ bal ({\ frac {\ részleges H} {\ részleges T}} \ jobb) _ {P, n}}$ , az ideális gázkeverék izobárikus hőkapacitása;
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P} = {\ frac {C_ {P}} {n}}}$ , az ideális gázkeverék moláris izobáros hőteljesítménye;
${\ displaystyle C_ {P, i} ^ {*} = \ balra ({\ frac {\ részleges H_ {i} ^ {*}} {\ részleges T}} \ jobbra) _ {P, n_ {i}} }$ , a tiszta ideális gázkomponens izobárikus hőkapacitása ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*} = {\ frac {C_ {P, i} ^ {*}} {n_ {i}}}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izobáros hőteljesítménye ; $én$

és mivel nagy mennyiségű : ${\ displaystyle C_ {P}}$

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} = \ balra ({\ frac {\ részleges C_ {P}} {\ részleges n_ {i}}} \ jobbra) _ {P, T , n_ {j \ neq i}}}$ , az alkotóelem részleges moláris izobáros hőteljesítménye az ideális gázkeverékben. $én$

Az ideális gázkeverék teljes entalpiája a következő:

{\ displaystyle H = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {H}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Mivel a konstansok és a tiszta ideális gázok csak ettől függenek , következtethetünk erre: ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}}$ $T$

{\ displaystyle C_ {P} = \ balra ({\ frac {\ részleges H} {\ részleges T}} \ jobbra) _ {P, n} = \ összeg _ {i = 1} ^ {N} n_ {i } {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} C_ {P, i} ^ {*}}

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P} = {\ frac {C_ {P}} {n}}}

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P, i} = \ balra ({\ frac {\ részleges C_ {P}} {\ részleges n_ {i}}} \ jobbra) _ {P, T , n_ {j \ neq i}} = {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}}

honnan :

Részleges moláris izobár hőkapacitás:

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P, i} = {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}}

és:

Izobár hőkapacitás:

{\ displaystyle C_ {P} = n {\ bar {C}} _ ​​{P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{ P, i} ^ {*}}

Ingyenes entalpia, ideális megoldás

A szabad entalpia meghatározása szerint :

{\ displaystyle G = H-TS}

ennélfogva az alkotórész részleges moláris szabad entalpia esetében : $én$

{\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} = {\ bar {H}} _ {i} -T {\ bar {S}} _ {i}}

Részleges moláris mentes entalpia:

{\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} TT \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} T + RT \ ln \! \ balra ({\ frac {P_ {i}} {P ^ {\ circ}}} \ jobbra) + {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} -T {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

val vel:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izobáros hőteljesítménye ; $én$
${\ bar G} _ {i}$ , a komponens részleges moláris mentes entalpiája az ideális gázkeverékben; $én$
${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta tökéletes gázkomponens moláris entalpiája és ; $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris entrópiája és ; $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$
$P_i$ Parciális nyomás az alkatrész : . $én$ ${\ displaystyle P_ {i} = y_ {i} P}$

Egyes adatbázisok adnak és mások , és . pedig a moláris szabad entalpiája a tiszta tökéletes gáz komponens és , a kapcsolat , az utolsó két tag a fenti kifejezés lesz: ${\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} -T ^ {\ circ} {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$

{\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} -T {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {G}} _ {i} ^ {*, \ circ} - \ balra (TT ^ {\ circ} \ right) \ cdot {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Ha a tiszta komponens moláris szabad entalpiáját jelöljük és : ${\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*}}$ $én$ $P$ $T$

{\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} TT \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} T + RT \ ln \! \ Balra ({\ frac {P} {P ^ {\ circ}}} \ jobbra) + {\ bar {H}} _ {i } ^ {*, \ circ} -T {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

ennek megfelelően megvan a kapcsolat: ${\ displaystyle P_ {i} = y_ {i} P}$

{\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} = {\ bar {G}} _ {i} ^ {*} + RT \ ln y_ {i}}

Mivel a kémiai potenciálokkal a következő összefüggések is vannak :

\ bar G_i = \ mu_i

, az alkotóelem kémiai potenciálja ideális gázok keverékeként;

én

{\ displaystyle {\ bar {G}} _ {i} ^ {*} = \ mu _ {i} ^ {*}}

, a tiszta ideális gázkomponens kémiai potenciálja ;

én

megvan az a kapcsolat, amely ideális megoldást határoz meg :

{\ displaystyle \ mu _ {i} = \ mu _ {i} ^ {*} + RT \ ln y_ {i}}

Az ideális gázkeverék ideális megoldás .

Szerint a Euler-tétel elsőrendű homogén funkciók , a teljes szabad entalpiája az ideális gázok keveréke komponensek: $G$ $NEM$

Ingyenes entalpia:

{\ displaystyle G = n {\ bar {G}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {G}} _ {i}}

azzal a moláris szabad entalpiája a keverék: $\ bar G$

{\ displaystyle {\ bar {G}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {G}} _ {i}}

Belső energia

Az entalpia meghatározása a belső energiához képest :

{\ displaystyle U = H-PV}

ennélfogva az alkotóelem részleges moláris belső energiájához : $én$

{\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} = {\ bar {H}} _ {i} -P {\ bar {V}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} T-RT + {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Tiszta tökéletes gáz alkotóelemért írhatunk és : $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$

{\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ} + P ^ {\ circ} {\ bar {V}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

{\ displaystyle {\ bar {V}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ frac {RT ^ {\ circ}} {P ^ {\ circ}}}}

moláris térfogat

{\ displaystyle {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ} + RT ^ {\ circ}}

honnan :

{\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} TR \ bal (TT ^ {\ circ} \ jobb) + {\ sáv {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Mayer tiszta ideális gázra vonatkozó viszonyától kezdve , a moláris izohórikus hőteljesítmény bevezetésével megvan az összefüggés: ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} - R = {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}}

honnan :

Részleges moláris belső energia:

{\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} T + {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

val vel:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izohórikus hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i}}$ , a komponens részleges moláris belső energiája az ideális gázkeverékben; $én$
${\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris belső energiája és . $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$

Szerint a Euler-tétel elsőrendű homogén funkciók , a teljes belső energia egy ideális gáz keveréke komponensek: $U$ $NEM$

Belső energia:

{\ displaystyle U = n {\ bar {U}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {U}} _ {i}}

azzal a moláris belső energia a keverék: ${\ displaystyle {\ bar {U}}}$

{\ displaystyle {\ bar {U}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {U}} _ {i}}

Izochorikus hőkapacitás

Az izohórikus hőteljesítmény meghatározásával meghatározhatjuk:

${\ displaystyle C_ {V} = \ bal ({\ frac {\ részleges U} {\ részleges T}} \ jobb) _ {V, n}}$ , az ideális gázkeverék izokhorikus hőteljesítménye;
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V} = {\ frac {C_ {V}} {n}}}$ , az ideális gázkeverék moláris izohórikus hőteljesítménye;
${\ displaystyle C_ {V, i} ^ {*} = \ balra ({\ frac {\ részben U_ {i} ^ {*}} {\ részleges T}} \ jobbra) _ {V, n_ {i}} }$ , a tiszta ideális gázkomponens izokhorikus hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*} = {\ frac {C_ {V, i} ^ {*}} {n_ {i}}}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izohórikus hőteljesítménye ; $én$

és mivel nagy mennyiségű : ${\ displaystyle C_ {V}}$

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} = \ balra ({\ frac {\ részleges C_ {V}} {\ részleges n_ {i}}} \ jobbra) _ {P, T , n_ {j \ neq i}}}$ , a komponens részleges moláris izohórikus hőteljesítménye az ideális gázkeverékben. $én$

Az ideális gázkeverék teljes belső energiája a következő:

{\ displaystyle U = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {U}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Mivel a konstansok és a tiszta ideális gázok csak ettől függenek , következtethetünk erre: ${\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$ $T$

{\ displaystyle C_ {V} = \ balra ({\ frac {\ részleges U} {\ részleges T}} \ jobbra) _ {V, n} = \ összeg _ {i = 1} ^ {N} n_ {i } {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} C_ {V, i} ^ {*}}

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{V} = {\ frac {C_ {V}} {n}}}

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{V, i} = \ balra ({\ frac {\ részleges C_ {V}} {\ részleges n_ {i}}} \ jobbra) _ {P, T , n_ {j \ neq i}} = {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}}

honnan :

Részleges moláris izochor hőkapacitás:

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{V, i} = {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}}

és:

Izochor hőkapacitás:

{\ displaystyle C_ {V} = n {\ bar {C}} _ ​​{V} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{ V, i} ^ {*}}

Szabad energia

A szabad energia meghatározása szerint :

{\ displaystyle F = U-TS}

ennélfogva az alkotóelem részleges moláris szabad energiájához : $én$

{\ displaystyle {\ bar {F}} _ {i} = {\ bar {U}} _ {i} -T {\ bar {S}} _ {i}}

Részleges moláris szabad energia:

{\ displaystyle {\ bar {F}} _ {i} = \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} \ , \ mathrm {d} TT \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ frac {{\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}} {T}} \, \ mathrm {d} T + RT \ ln \! \ balra ({\ frac {V} {V_ {i} ^ {*, \ circ}}} \ jobbra) + {\ bar {U}} _ { i} ^ {*, \ circ} -T {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

val vel:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris izohórikus hőteljesítménye ; $én$
${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {i}}$ , a komponens részleges moláris szabad energiája az ideális gázkeverékben; $én$
${\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , a tiszta ideális gázkomponens moláris belső energiája és ; $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ , Moláris entrópia komponens tiszta tökéletes , ; $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle V_ {i} ^ {*, \ circ}}$ Kötet komponens tökéletes tiszta gáz és , . $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle P ^ {\ circ} V_ {i} ^ {*, \ circ} = n_ {i} RT ^ {\ circ}}$

Lehetőség van arra is, hogy meghatározza a moláris szabad energia a tiszta tökéletes gáz komponens és . A relációval a fenti kifejezés utolsó két kifejezése: ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$ $én$ $P ^ {\ circ}$ ${\ displaystyle T ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ} -T ^ {\ circ} {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}$

{\ displaystyle {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ} -T {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ} = {\ bar {F}} _ {i} ^ {*, \ circ} - \ left (TT ^ {\ circ} \ right) \ cdot {\ bar {S}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

Szerint a Euler-tétel elsőrendű homogén függvény , a teljes szabad energiáját az ideális gáz keveréke összetevők: $F$ $NEM$

Szabad energia:

{\ displaystyle F = n {\ bar {F}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {F}} _ {i}}

azzal a moláris szabad energia a keverék: ${\ displaystyle {\ bar {F}}}$

{\ displaystyle {\ bar {F}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {F}} _ {i}}

Mayer kapcsolata

A tiszta ideális gáz Mayer-kapcsolata :

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} - {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} = R}

mólfrakciókkal történő súlyozással és a keverék összes alkotóelemének összegzésével:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} - \ sum _ {i = 1} ^ {N } y_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} R}

mivel a következő kapcsolataink vannak:

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {C}} _ {P, i} ^ { *}}$ , ideális gázkeverék moláris izobáros hőteljesítménye;
${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {C}} _ {V, i} ^ { *}}$ , ideális gázkeverék moláris izohórikus hőteljesítménye;

A , van az ideális gázkeverék: $\ sum _ {{i = 1}} ^ {N} y_ {i} = 1$

Mayer kapcsolata:

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{P} - {\ bar {C}} _ ​​{V} = R}

Ideális gázkeverék bővítése

Joule első törvénye

Az ideális gázkeverék belső energiája:

{\ displaystyle U = n {\ bar {U}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ balra [\ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ sáv {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ} \ right] = \ összeg _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {U}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

a tiszta ideális gázok azonban csak a hőmérséklettől függenek, ezért csak a hőmérséklettől függenek. Az ideális gázok keveréke tehát reagál Joule és Gay-Lussac törvényére , vagy Joule első törvényére . Ez kísérletileg kimutatható Joule-Gay-Lussac relaxációjával . ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}$ $U$

Joule és Gay-Lussac törvénye: az ideális gázkeverék belső energiája csak a hőmérséklettől függ.

Írhatjuk az ideális gázkeverék belső energiájának differenciálját, állandó összetételű:

{\ displaystyle \ mathrm {d} U = -P \, \ mathrm {d} V + T \, \ mathrm {d} S = C_ {V} \, \ mathrm {d} T}

Joule második törvénye

Az ideális gázkeverék entalpiája:

{\ displaystyle H = n {\ bar {H}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ balra [\ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ sáv {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ} \ right] = \ összeg _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} \ int _ {T ^ {\ circ}} ^ {T} {\ bar {C}} _ ​​{P, i} ^ {*} \, \ mathrm {d} T + \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {H}} _ {i} ^ {*, \ circ}}

a tiszta ideális gázok azonban csak a hőmérséklettől függenek, ezért csak a hőmérséklettől függenek. Az ideális gázok keveréke tehát reagál Joule-Thomson törvényére , vagy Joule második törvényére . Ezt kísérletileg a Joule-Thomson relaxációval bizonyíthatjuk . ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}}$ $H$

Joule és Thomson törvénye: az ideális gázkeverék entalpiaja csak a hőmérséklettől függ.

Felírhatjuk az ideális gázkeverék entalpia-különbségét, állandó összetétel mellett:

{\ displaystyle \ mathrm {d} H = V \, \ mathrm {d} P + T \, \ mathrm {d} S = C_ {P} \, \ mathrm {d} T}

Laplace törvénye

Közben izentropikus átalakulás , az ideális gázkeverék viselkedik, mint egy tiszta ideális gáz. Az izentropikus transzformáció, vagyis a szabad energia és az entalpia különbségei meg vannak írva: ${\ displaystyle \, \ mathrm {d} S = 0}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} U = -P \, \ mathrm {d} V = C_ {V} \, \ mathrm {d} T}

{\ displaystyle \ mathrm {d} H = V \, \ mathrm {d} P = C_ {P} \, \ mathrm {d} T}

ezért a kapcsolatok:

{\ displaystyle \ mathrm {d} T = - {\ frac {P} {C_ {V}}} \, \ mathrm {d} V = {\ frac {V} {C_ {P}}} \, \ mathrm {d} P}

{\ displaystyle - {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} = {\ frac {\ mathrm {d} P} {P} }}

Beállítottuk a Laplace együtthatót, amely csak a hőmérséklettől és az összetételtől függ. Az egyik a kezdeti és a végső állapot között integrálódik , figyelembe véve, hogy a Laplace együtthatója az átalakulás során a hőmérséklet változása ellenére állandó: ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}}}$ ${\ displaystyle \ left (P ^ {\ circ}, V ^ {\ circ}, T ^ {\ circ} \ right)}$ $\ bal (P, V, T \ jobb)$

{\ displaystyle - \ gamma \ int _ {V ^ {\ circ}} ^ {V} {\ frac {\ mathrm {d} V} {V}} = \ int _ {P ^ {\ circ}} ^ { P} {\ frac {\ mathrm {d} P} {P}}}

{\ displaystyle - \ gamma \ ln \! \ left ({\ frac {V} {V ^ {\ circ}}} \ right) = \ ln \! \ left ({\ frac {P} {P ^ {\ kör}}} \ jobbra)}

Kapjuk Laplace-törvény :

Laplace törvénye:

{\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = P ^ {\ circ} {V ^ {\ circ}} ^ {\ gamma}}

a keverék Laplace-együtthatójával:

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}}}}

Ha figyelembe vesszük a tisztanak tekintett keverék minden alkotóelemének Laplace-együtthatóját és az alkotórész moláris hányadát , akkor észrevesszük, hogy : ${\ displaystyle \ gamma _ {i} ^ {*} = {\ frac {n_ {i} {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}} {n_ {i} {\ bar {C}} _ {V, i} ^ {*}}}}$ $y_ {i} = {\ frac {n_ {i}} {n}}$ $én$ ${\ displaystyle \ gamma \ neq \ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} \ gamma _ {i} ^ {*}}$

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {C_ {P}} {C_ {V}}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {C}} _ {P, i} ^ {*}} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} y_ {i} {\ bar {C}} _ ​​{V, i} ^ {*}}}}

Bibliográfia

J. Willard Gibbs, Henry Le Chatelier fordítása: „A kémiai rendszerek egyensúlya”, szerk. G. Carré és C. Naud (Párizs), 1899, hozzáférhető a Gallicán
Jean-Pierre Corriou, „ Kémiai termodinamika - Meghatározások és alapvető összefüggések ”, Mérnöki technikák , dokumentum alap: Termodinamika és kémiai kinetika , csomag: Egységműveletek. Kémiai reakciótechnika , univerzum: Kémia - bio-agro folyamatok , J 1025, pp. 1-19, 1984