Feltételes valószínűség
A valószínűségszámítás , a feltételes valószínűség a valószínűsége egy esemény , tudván, hogy egy másik esemény megtörtént. Például, ha egy pakli kártyáját véletlenszerűen húzzák, akkor becslések szerint minden negyedik esély van a szív megszerzésére; de ha piros tükröződést lát az asztalon, akkor mostantól egy az esély a szívre. Ez a második becslés annak a feltételes valószínűségnek felel meg, amikor egy szív megszerezhető, ha tudjuk, hogy a kártya piros.
A feltételes valószínűségeket olyan paradoxonok befolyásolják, mint például a két gyermek , a két boríték , a három érme és három fogoly paradoxona .
Intuitív példák
Színes kocka
Vegyünk egy hatoldalas kiegyensúlyozott kockát, ahol a páros arcok fehér színűek, a páratlan arcok pedig fekete színűek. Egy kockadobásnál a 6-os dobásának valószínűsége 1/6. De távol a kockától, észrevesszük, hogy az arc fehér. A 6 megszerzésének valószínűsége 1/3, mert figyelembe kell vennie az új információkat "páros szám jelent meg".
|
Valószínűség
|
Feltételes valószínűség annak ismeretében, hogy a szám páros
|
---|
Az 1 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
0
|
A 2 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
1/3
|
3 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
0
|
A 4 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
1/3
|
Az 5 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
0
|
A 6 gurulásának valószínűsége
|
1/6
|
1/3
|
Két dobás dobál
Úgy döntünk, hogy dobunk egy érmét kétszer egymás után. Annak a valószínűsége, hogy az első tekercs farok, 1/2. Tegyük fel, hogy valaki arról tájékoztat minket, hogy a dobások közül legalább az egyik Heads-re ment. A négy lehetséges forgatókönyv, nevezetesen a Heads up, majd a Heads up, a Heads up, majd a farok, a Farok, majd a Heads, a Tacks, majd a Tacks, a Heads up, majd Heads szcenáriót már nem kell figyelembe venni. Az első dobás a farok a három hátralévő forgatókönyv közül kettőben (fejek, majd farok, farok, majd fejek, farok, farok). Így annak valószínűsége, hogy az első dobás fejeket ad, tudva, hogy a két dobás közül legalább az egyik fejet ad, 2/3. A táblázat összefoglalja a helyzetet, annak valószínűségét, hogy az első dobás farka (1/2 vagy 2/3, ill.) Kapjuk az utolsó két sor összeadásával.
|
Valószínűség
|
Feltételes valószínűség, ha tudjuk, hogy a két dobás egyike megadja Tails-et
|
---|
Annak a valószínűsége, hogy arc, majd arc
|
1/4
|
0
|
Annak a valószínűsége, hogy fej, majd farok lesz
|
1/4
|
1/3
|
Annak a valószínűsége, hogy a farok akkor a farok
|
1/4
|
1/3
|
Az akkumulátor, majd az akkumulátor valószínűsége
|
1/4
|
1/3
|
Meghatározás
Vegyünk két esemény és az a valószínűsége nulla (formálisan, akkor tegyük egy valószínűségi mezőn ; események és a törzs tagjai ). A feltételes valószínűség a tudat, hogy történt (vagy „valószínűsége tudva B ”) a valós szám jegyezni (vagy néha ) határozzák meg:
NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B} (Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NÁL NÉL{\ displaystyle A}P(NÁL NÉL∣B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe)}PB(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B} (A)}
P(NÁL NÉL∣B)=P(NÁL NÉL∩B)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} (B)}}}.
Gyakori nézőpont
A feltételes valószínűség meghatározása szintén gyakorisági szempontból megszerezhető . Valójában egy esemény valószínűségét (e szempont szerint) az esemény megfigyelésének határfrekvenciájaként határozzuk meg. A kísérletet véletlenszerűen , nagyon nagy egész számmal ismételjük meg . Megfigyelhető, hogy az esemény többször is előfordult . Így van . Az esemény megtörténtének számát a sorsolások között is számoljuk, ahol az eseményre sor került. A kapott egész számot jelöljük . Ezért van . Továbbá . Ezt észrevesszük .
nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}B{\ displaystyle B}nemB{\ displaystyle n_ {B}}P(B)≃nemBnem{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) \ simeq {\ frac {n_ {B}} {n}}}nemB{\ displaystyle n_ {B}}B{\ displaystyle B}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ ce {A}}}nemNÁL NÉL∩B{\ displaystyle n_ {A \ cap B}}P(NÁL NÉL∣B)≃nemNÁL NÉL∩BnemB{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe) \ simeq {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n_ {B}}}}P(NÁL NÉL∩B)≃nemNÁL NÉL∩Bnem{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) \ simeq {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n}}}nemNÁL NÉL∩BnemB=nemNÁL NÉL∩B/nemnemB/nem{\ displaystyle {\ frac {n_ {A \ cap B}} {n_ {B}}} = {\ frac {n_ {A \ cap B} / n} {n_ {B} / n}}}
Példák
Az előző intuitív példákhoz a definíció képlete adja meg a kapott értéket:
Színes kocka
Annak a valószínűsége, hogy elgurult egy 6-os, tudván, hogy az eredmény még:
P(készíts egy 6-ot∣páros szám)=P(készíts egy 6-ot∩páros szám)P(páros szám)=1/6.1/2=13{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {make a 6}} \ mid {\ text {páros szám}}) = {\ frac {\ mathbb {P} ({\ text {make a 6}} \ cap {\ text {páros szám}})}} {\ mathbb {P} ({\ text {páros szám}})}} = {\ frac {1/6} {1/2}} = {\ frac {1 } {3}}}.
Két dobás dobál
Annak a valószínűsége, hogy az első dobásnál dobta, tudván, hogy legalább egy dobás van a Tack-szel kettőben, a következő módon kapja meg:
P(az első dobás a farok∣legalább egy elem)=P(az első dobás a farok∩legalább egy elem)P(legalább egy elem)=1/23/4=23.{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {első dobás kész verem}} \ közepe {\ text {legalább egy verem}}) = {\ frac {\ mathbb {P} ({\ text {első dobás kész verem}} \ cap {\ text {legalább egy verem}})} {\ mathbb {P} ({\ text {legalább egy verem}})}} = {\ frac {1/2} {3/4 }} = {\ frac {2} {3}}.}
Középiskolai osztály
Ez a példa azonnal megfelel a halmaz definíciójának. Egy középiskolai osztály univerzumában legyen B "a tanuló lány" és A "a tanuló németül" esemény .
Valószínűségi univerzum ( ) = középiskolai osztály.
Ω{\ displaystyle \ Omega} |
|
B{\ displaystyle B} (Lány)
|
¬B{\ displaystyle \ neg B} (Fiú)
|
Összesen
|
---|
NÁL NÉL{\ displaystyle A} (Német)
|
10.
|
7
|
17.
|
¬NÁL NÉL{\ displaystyle \ neg A} (Nem német)
|
4
|
9.
|
13.
|
Összesen
|
14
|
16.
|
30
|
A ( B ) osztály egyik lányát véletlenszerűen hallgatják ki . Mennyi a valószínűsége annak, hogy németül beszél (P ( A | B ))?
P(NÁL NÉLllemnál nélnemd∣Fénlle)=P(NÁL NÉL∣B)=P(NÁL NÉL∩B)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (német \ közepes lány) = \ mathbb {P} (A \ B közepe) = {\ frac {\ mathbb {P} (A \ cap B)} {\ mathbb {P} ( B)}}}
P(B)=kártya(B)kártya(Ω)=1430{\ displaystyle \ mathbb {P} (B) = {\ frac {\ üzemeltetőnév {kártya} (B)} {\ kezelőnév {kártya} (\ Omega)}} = {\ frac {14} {30}}}
P(NÁL NÉL∩B)=kártya(NÁL NÉL∩B)kártya(Ω)=10.30{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) = {\ frac {\ operatornév {card} (A \ cap B)} {\ operatorname {card} (\ Omega)}} = {\ frac {10} {30}}}
honnan
P(NÁL NÉL∣B)=10.301430=10.14≈71.%{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe) = {\ frac {\ frac {10} {30}} {\ frac {14} {30}}} = {\ frac {10} {14}} \ kb 71 \, \%}.
Tulajdonságok
A definícióban megadott feltételezések szerint:
- az alkalmazás (szintén megjegyezve ) egy új valószínűség . B-t ismerve feltételes törvénynek hívják.P(.∣B){\ displaystyle \ mathbb {P} (. \ B közepe)}PB{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {B}}(Ω,B){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}} \ right)}
-
A és B jelentése független , ha, és csak akkor, ha ;P(NÁL NÉL∣B)=P(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe) = \ mathbb {P} (A)}
- Ha az esemény egy is (mint a B ) nem nulla valószínűséggel, akkor (ez az eredmény az úgynevezett Bayes tétel ).P(NÁL NÉL∣B)=P(B∣NÁL NÉL)P(NÁL NÉL)P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ B közepe) = {\ frac {\ mathbb {P} (B \ A közepe) \ mathbb {P} (A)} {\ mathbb {P} (B)}} }
Feltételes elvárás
Hadd X lesz a valószínűségi mezőn, X egy integrálható valós véletlen változó és B esemény nem nulla valószínűséggel. Feltételes elvárásnak nevezzük :
(Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}
E(x∣B)=1P(B)∫BxdP{\ displaystyle \ mathbb {E} (X \ B közepe) = {\ frac {1} {\ mathbb {P} (B)}} \ int _ {B} X \; \ mathrm {d} \ mathbb {P }}.
E(x∣B){\ displaystyle \ mathbb {E} (X \ B közepe)}X várakozása annak tudatában, hogy B megvalósult.
Feltételes sűrűség
Legyen , és legyen, és két véletlen változó definiálva ezen a téren. Ha feltételezzük, hogy együttes törvényüket kétváltozósűrűséggel lehet meghatározni , és ha ráadásul az ember kielégíti , létezik egy abszolút folytonos törvény, amelynek sűrűségét a
(Ω,B,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {B}}, \ mathbb {P} \ right)}x{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}f(x,y){\ displaystyle f (x, y)}y0{\ displaystyle y_ {0}}∫f(t,y0)dt≠0{\ displaystyle \ int f (t, y_ {0}) \; \ mathrm {d} t \ neq 0}
g(x∣y0)=f(x,y0)∫f(t,y0)dt{\ displaystyle g (x \ mid y_ {0}) = {\ frac {f (x, y_ {0})} {\ int f (t, y_ {0}) \; \ mathrm {d} t}} }.
Ez a funkció az úgynevezett: feltételes tudás sűrűsége . Intuitív módon ez a kifejezés Bayes-tétel folyamatos megfogalmazásaként értelmezhető .
g(x∣y0){\ displaystyle g (x \ y y {0})}}x{\ displaystyle X}Y=y0{\ displaystyle Y = y_ {0}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Dominique Foata és Aimé Fuchs, Calcul des valószínűségek. Tanfolyam, gyakorlatok és kijavított problémák, második kiadás. , Dunod , p. 6. fejezet p. 53
-
(in) R. Meester, Természetes Bevezetés a Valószínűségszámítás , Birkhaeuser Verlag AG Basel - Boston - Berlin2008, 1.4.3. Példa, 1.4. Szakasz, 13. oldal
-
(in) R. Meester, Természetes Bevezetés a Valószínűségszámítás , Birkhaeuser Verlag AG Basel - Boston - Berlin2008, 1.4.1. Meghatározás, 1.4. Szakasz, 13. oldal
-
Philippe Barbe és Michel Ledoux valószínűség , az EDP-cal Sciences,2007, P. VI. Fejezet, VI.1. Fejezet, VI.1.1. Meghatározás, p. 150
-
" Feltételes valószínűségek " , a mistis.inrialpes.fr webhelyen (hozzáférés : 2020. május 2. )
-
A példát a http://www.logamaths.fr/spip/IMG/docs/Ts/AATSCh08_Proba-conditionnelles.pdf ihlette .
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">