Derékszögű termék

Ez a cikk a halmazok matematikai fogalmára utal. A grafikonokról lásd a grafikonok derékszögű szorzatát .

A matematika , a Descartes-szorzat két készlet X és Y , néven is ismert egész termék , a készlet minden pár , amelynek első elem tartozik, hogy X , és a második Y . Ez a fogalom, érvényes két, könnyen általánosítható, hogy egy véges Descartes-szorzat , amely egy sor n-esek , amelynek elemei tartoznak n készletek. A végtelen derékszögű termék általánosítása megköveteli a funkció fogalmát .

A derékszögű termékek René Descartes-nak köszönhetik a nevüket , aki az analitikai geometria megalkotásakor először az euklideszi sík képviseletében használta azt, amit most ℝ 2 = ℝ × ℝ-nak hívunk , és three 3 = ℝ × ℝ × ℝ a háromdimenziós euklideszi szóköz (ℝ a valós vonalat jelöli ).

Két sorozat derékszögű szorzata

Definíciók

• Minden halmaz A és bármely beállított B , létezik egy sor P , amelynek elemei minden pár , amely az első komponens tartozik egy , a második a B  : ∀NÁL NÉL∀B∃P∀z(z∈P⇔∃x∃y(x∈NÁL NÉL∧y∈B∧z=(x,y))){\ displaystyle \ forall A \; \ összes B \; \ létezik P \ quad \ forall z \; {\ bigl (} z \ in P \ Baloldalt A \; \ land \; y \ B \; \ land \; z = (x, y) \ right))}}.Ez a készlet jelöli A × B (olvasható: „  A kereszt B  ”) és az úgynevezett terméket derékszögű az A által B .
• Speciális eset: A × A jelöli A 2 , és az úgynevezett derékszögű négyzet a A  : NÁL NÉL2={(x,y)∣x∈NÁL NÉL∧y∈NÁL NÉL}{\ displaystyle A ^ {2} = \ {(x, y) \ x közepe A-ban \; \ land \; y \ A-ban}}.

Példa

Legyen A a {A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} halmaz. Legyen B a készlet {pikk, szív, gyémánt, karóra}. Ekkor ennek a két készletnek az A × B derékszögű szorzata klasszikus 52 lapos pakli, vagyis a készlet:

{(A, pikk) ... (2, pikk), (A, szív) ... (2, szív), (A, gyémánt) ... (2, gyémánt), (A, klub) . (2, lóhere)}.

Tulajdonságok

• A Descartes-szorzat A × B jelentése üres akkor és csak akkor A vagy B üres. Különösen: bármely készlethez ,NÁL NÉL{\ displaystyle A} ∅×NÁL NÉL=NÁL NÉL×∅=∅{\ displaystyle \ lakkozás \ szerek A = A \ szerek \ lakkozás = \ lakkozás}.
• A termék két tényezőjét teljes egészében az a termék határozza meg, ha nem üres. Pontosabban: ha akkor és hasonlóan, ha akkor .NÁL NÉL≠∅{\ displaystyle A \ neq \ lakkozás}y∈B⇔∃x(x,y)∈NÁL NÉL×B{\ displaystyle y \ B-ben \ Baloldali nyíl x létezik x \ quad (x, y) \ A-ban B-szer}B≠∅{\ displaystyle B \ neq \ lakkozás}x∈NÁL NÉL⇔∃y(x,y)∈NÁL NÉL×B{\ displaystyle x \ in A \ Baloldali nyíl \ y létezik y \ quad (x, y) \ in A \ szorzat B}
• Ha A és B jelentése véges , akkor a bíboros az A × B jelentése megegyezik a termék a bíborosok A és B .
• Két készlet derékszögű szorzata az extenzencia axióma szerint egyedülálló . Ha a derékszögű párokat és termékeket primitív fogalmaknak tekintjük, akkor axiómája lesz a létezés és az egyediségnek ez a tulajdonsága. Bebizonyítottuk, hogy ZFC készlet elmélet , képviseletét a párok választott.

Ábrázolás a halmazelméletben

A halmazelméletben , ha a szokásos módon a Kuratowski-párok ábrázolását választjuk, azok a párok, amelyeknek az első komponense A-ban , a második pedig B-ben P elemei [ P ( A ∪ B )] (ahol P ( E ) a meghatározott részeinek a E ). Léte a készlet eredmények a axiómája a találkozás és az axióma a beállított részek .

Ezért megértéssel definiálhatjuk a derékszögű szorzatot. Ezt követően kell a párok , és ezért, amellett, hogy az előző axiómák, Z az axióma a pár és a program megértés axiómák vagy ZF a beállított részek újra, és a rendszer axiómák helyettesítő (amelyből együttesen következtetünk a párok létezésére):

NÁL NÉL×B={(nál nél,b)|(nál nél∈NÁL NÉL)∧(b∈B)}={z∈P(P(NÁL NÉL∪B))|∃nál nél∈NÁL NÉL∃b∈B z=(nál nél,b)}{\ displaystyle A \ szor B = \ bal \ {(a, b) | (a \ A-ban) \ ék (B \ B-ben) \ jobb \} = \ bal \ {z \ P-ben (P (A \ B csésze)) | \ létezik a \ -ban A \; \ létezik b \ B-ben \ z = (a, b) \ jobb \}}

Akár az alkatrészkészlet nélkül is megtehetjük,  ha kétszer használjuk a helyettesítő axióma sémát : egyszer A × { b } esetén, újra pedig:

NÁL NÉL×B=⋃b∈BNÁL NÉL×{b}.{\ displaystyle A \ times B = \ bigcup _ {b \ in B} A \ times \ {b \}.}

Ábrázolás a kategóriaelméletben

Adj egy alkalmazás egy sor X a Descartes-szorzat A × B a két A és B összege adja két alkalmazás: az egyik X a A és a másik X a B . Formálisabban: az A × B halmazt , amelyet a két vetület tartalmaz, és egy kanonikus izomorfizmusig a következő univerzális tulajdonság jellemzi : bármely X halmazra és minden térképre, és létezik olyan egyedi térkép , amely és . Az alábbiakban összefoglaljuk az univerzális tulajdonság azzal, hogy a termék az A és B a kategóriában halmazok . o1:NÁL NÉL×B→NÁL NÉL,(nál nél,b)↦nál nél{\ displaystyle p_ {1}: A \ szorozza B-t A-hoz, (a, b) \ leképezi a}o2:NÁL NÉL×B→B,(nál nél,b)↦b{\ displaystyle p_ {2}: A \ szorozza B-t B-hez ((a, b) \ mapsto b}f1:x→NÁL NÉL{\ displaystyle f_ {1}: X \ - A}f2:x→B{\ displaystyle f_ {2}: X \ - B}f:x→NÁL NÉL×B{\ displaystyle f: X \ - A \ B-szer B}f1=o1∘f{\ displaystyle f_ {1} = p_ {1} \ circ f}f2=o2∘f{\ displaystyle f_ {2} = p_ {2} \ circ f}(NÁL NÉL×B,o1,o2){\ displaystyle (A \ szorzat B, p_ {1}, p_ {2})}

A kategóriaelmélet szisztematikusan meghatározza az általánosabb termékeket, vagy további struktúrákat ( termékcsoportok , termék topológiai terek ) vesz figyelembe , vagy korlátozásokat ad hozzá (készletcsalád terméke , termékcsomag stb.).

Kétnél több halmazra általánosítás

Hármas ikrek

A párokhoz hasonlóan a megcélzott tulajdonság az, hogy két hármas akkor és csak akkor egyenlő, ha első komponenseik egyenlőek egymással, majd második komponenseikkel, végül harmadikikkal:

∀nál nél∀b∀vs.,∀d∀e∀f[(nál nél,b,vs.)=(d,e,f)]⇔[(nál nél=d)∧(b=e)∧(vs.=f)]{\ displaystyle \ forall a \, \ forall b \, \ forall c, \ forall d \, \ forall e \, \ forall f \, [\, (a, b, c) = (d, e, f) \,] \ Balra nyíl [\, (a = d) \ ék (b = e) \ ék (c = f) \,]}

A triplettnek (a, b, c) több meghatározása lehetséges, például:

• (a, b, c) = ((a, b), c)
• (a, b, c) = (a, (b, c))
• olyan család, amelynek indexkészlete 3 elemből áll

Ezek a definíciók nem egyenértékűek, de természetesen mindegyik megadja az előző tulajdonságot.

Három készlet derékszögű szorzata

Meghatározza:

NÁL NÉL×B×VS={(nál nél,b,vs.)|(nál nél∈NÁL NÉL)∧(b∈B)∧(vs.∈VS)}{\ displaystyle A \ times B \ times C = \ left \ {(a, b, c) | (a \ in A) \ wedge (b \ in B) \ wedge (c \ in C) \ right \}}

(az előző bekezdésben javasolt első definícióval: A × B × C = ( A × B ) × C , a második A × B × C = A × (B × C ), a harmadik ennek speciális esete adott a készletcsalád # derékszögű szorzata ).

A termék A × A × A az úgynevezett Descartes-kockát a A és jelöljük A 3 (olvasni „A CubeD”):

NÁL NÉL3={(x,y,z)|(x∈NÁL NÉL)∧(y∈NÁL NÉL)∧(z∈NÁL NÉL)}.{\ displaystyle A ^ {3} = \ {(x, y, z) | (x \ A-ben) \ ék (y \ A-ban) \ ék (z \ A-ban)}}

n -egyes

A fenti meghatározások általánosítható egy n bármilyen est. Ezeknek a tervezett tulajdonsága a következő.

• Az n -tulajdon alapvető tulajdonsága  :

∀(nál nél1,nál nél2,⋯,nál nélnem),∀(b1,b2,⋯,bnem),[(nál nél1,nál nél2,⋯,nál nélnem)=(b1,b2,⋯,bnem)]⇔[(nál nél1=b1)∧(nál nél2=b2)∧⋯∧(nál nélnem=bnem)]{\ displaystyle \ forall \ left (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n} \ right), \ forall \ left (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n } \ right), \ quad [\, (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, \ cdots, b_ {n}) \ ,] \ Balra mutató nyíl [\, (a_ {1} = b_ {1}) \ ék (a_ {2} = b_ {2}) \ ék \ cdots \ ék (a_ {n} = b_ {n}) \, ]}

Az első két definíciót a megismétlődés általánosítja , például az elsőre:

(a 1 , a 2 ,…, a n ) = ((a 1 , a 2 , ..., a n -1 ), a n ).

Ez utóbbi esetében elegendő, ha egy családot n elem halmaza indexel .

Ezután n halmaz derékszögű szorzatát határozzuk meg:

NÁL NÉL1×NÁL NÉL2×⋯×NÁL NÉLnem=∏én=1nemNÁL NÉLén={(nál nél1,nál nél2,...,nál nélnem)|nál nél1∈NÁL NÉL1,...,nál nélnem∈NÁL NÉLnem}{\ displaystyle A_ {1} \ szor A_ {2} \ szor \ cdots \ szer A_ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ bal \ {\ bal (a_ { 1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n} \ right) | a_ {1} \ in A_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in A_ {n} \ right \}}

• és ezért egy halmaz n-edik derékszögű ereje :

NÁL NÉLnem=∏én=1nemNÁL NÉL={(x1,x2,⋯xnem)|∀én,xén∈NÁL NÉL}{\ displaystyle A ^ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} A = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ cdots x_ {n}) | \, \ mind i, x_ {i} \ A-ban, \}}

Végtelen termékek

Általánosíthatjuk a derékszögű termék fogalmát bármely halmaz , véges vagy végtelen indexelt halmazcsaládjának termékére .

Bár általánosabb, ez a fogalom aligha vezethető be a halmazelméletbe a bináris derékszögű termék fogalma előtt, legalábbis természetesen, mivel a funkció fogalmához apellál, amely viszont pontosan a pár , tehát a termék fogalmát használja .

Készletcsalád

A család A halmazok által indexelt egy sor I függvénye definiált I . A kép a i által A jelöljük A i . Ez csak egy ismert konstrukció jelölése (egy bizonyos felhasználáshoz igazítva). A család egy indexelt I ehelyett kell jegyezni ( A i ) i ∈ I .

Készletcsalád derékszögű terméke

Most meghatározhatjuk egy halmazcsalád ( A i ) i ∈ I derékszögű szorzatát , amelyet általában vagy néha jelölünk . ∏én∈énNÁL NÉLén{\ displaystyle \ prod _ {i \ I} A_ {i}}×én∈énNÁL NÉLén{\ displaystyle \ times _ {i \ I} A_ {i}} -ban

Ez a funkciók f a I a családjának újraegyesítését , úgy, hogy minden i in I , f ( i ) tartozik egy i  :

∏én∈énNÁL NÉLén={f:én→⋃én∈énNÁL NÉLén | ∀ én,f(én)∈NÁL NÉLén}{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} = \ left \ {\ left.f: I \ to \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ \ right | \ \ all \ i, \, f (i) \ A_-ben {i} \ jobb \}}.

• Ennek a meghatározásnak a használatához ki kell nyernünk a termék j komponensindexének I. elemét . Ehhez meghatározzuk az összes j-re az I- ben a j- edik vetületnek nevezett függvényt ,πj:∏én∈énNÁL NÉLén→NÁL NÉLj,f↦f(j).{\ displaystyle \ pi _ {j}: \ prod _ {i \ I} A_ {i} \ - A_ {j}, \ quad f \ mapsto f (j).}
• Általánosabban meghatározhatjuk az I. J bármely részéhez a „ J index vetülete  ” értékeket a J által indexelt „résztermékben”  :πJ:∏én∈énNÁL NÉLén→∏én∈JNÁL NÉLén,f↦(f(én))én∈J.{\ displaystyle \ pi _ {J}: \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ to \ prod _ {i \ in J} A_ {i}, \ quad f \ mapsto (f (i)) _ {i \ a J} -ben.}(Ha J jelentése Singleton { j }, a részleges termék által indexelt J van kanonikus bijekciót a A j .)
• A választás axiómáját a következőképpen állíthatjuk: a nem üres halmazok családjának szorzata nem üres .
• Az üres halmaz által indexelt halmazcsalád szorzata a fenti meghatározás szerint az a szingulett, amelynek egyetlen eleme a ∅ in ∅ üres függvénye .

Összekapcsolás két készlet szorzatával

Legyen A és B két halmaz. Minden pár I = {α, β} (például α = ∅ és β = {∅}), van egy kanonikus bijekciót a termék közötti A × B a két készlet közül, és a terméket a család ( A i ) i ∈ I által meghatározott a α = a és a β = B , társítanak bármilyen párral ( x , y ) az a × B az elem f által meghatározott f (α) = x és f (β) = y .

Asszociativitás

Legyen ( A i ) i ∈ I egy család készletek és ( J k ) k ∈ K egy pontszámot az I . Kanonikus alkalmazás

∏én∈énNÁL NÉLén→∏k∈K(∏én∈JkNÁL NÉLén),f↦(πJk(f))k∈K{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} A_ {i} \ to \ prod _ {k \ in K} {\ Bigg (} \ prod _ {i \ in J_ {k}} A_ {i} {\ Bigg)}, \ quad f \ mapsto (\ pi _ {J_ {k}} (f)) _ {k \ K} -ben}

bijektív.

Az indukciós , a terméket N -készletek tehát azonosítható a termék egy család által indexelt {1, 2, ..., n }.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Harvey Friedman .
2. (a) John C. Baez , "  Quantum Quandaries: A kategória-elméleti Perspective - §4: A monoidal kategóriája Hilbert-terek  " ,2004( arXiv : quant-ph / 0404040 ).
3. (in) Colin McLarty  (in) , Elemi kategóriák, Elementáris toposok , Oxford, Clarendon Press ,1995.
4. (in) Thomas Jech , Set Theory: The Third Millennium Edition, átdolgozott és kibővített , Springer ,2006, 3 e  . , 772  p. ( ISBN  978-3-540-44085-7 , online olvasás ).
5. Jean-Louis Krivine , Készletek elmélete , Párizs, Cassini, koll.  "Új matematikai könyvtár",1988, 1 st  ed. , P.  9..
6. Paul Halmos , Bevezetés a halmazelméletbe [ a kiadások részlete ]o. 46.
7. Az A- tól B- ig terjedő függvényt gyakran triplettként vezetik be ( A , B , C ), ahol C a derékszögű A × B szorzat részhalmaza , amelyet a függvény grafikonjának nevezünk, és amely az A bármely elemét megjeleníti ( első komponens) pontosan egy C nyomatékkal . A gyakorlatban azonban, ha nem áll fenn a kétértelműség kockázata, a nyelvi funkcióval való visszaéléssel asszimilálhatunk a C grafikonjára . Sőt, a halmazelméletben gyakran meghatározunk egy függvényt közvetlenül párok halmazaként. Ez a gyakorlat következetes - az A- tól B- ig terjedő függvény ezután a függvény tulajdonságává válik -, de a bevezető matematika tanfolyamokon nem ajánlott.
8. N. Bourbaki , A matematika elemei  : halmazelmélet [ a kiadások részlete ], P. II.33 .
9. vagy akár csak egy átfedés a I által kettesével diszjunkt részhalmaza , de lehet üres.
10. Bourbaki , p.  II.35.

Kapcsolódó cikkek

• Üres termék
• Bináris reláció
• Szétválasztott viszontlátás vagy „derékszögű összeg”
• Monoid kategória

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">