Bertrand tétele

A Bertrand-tétel egy mechanikai eredmény , amelyet Joseph Bertrand (1822-1900) matematikusról neveztek el, aki 1873-ban demonstrált. Megállapítja, hogy a mozgásban a központi erőben csak Hooke (in $- k OM$ , amely ellipszist eredményez) törvényereje ahol a P pericentrum és az A apocentrum 90 ° -kal egyenlő szöget (POA) alkotnak) és Newton (en $- k / r 2 u r$ , amely olyan ellipszist eredményez, ahol a szög (POA) 180 °) zárt pályát eredményez (ha a pálya korábban korlátozott), függetlenül a kezdeti feltételektől .

Arnold tüntetése

1. Lemma : bebizonyosodott, hogy az AOP szöge az $1 / r n$ erőtörvény felé, amikor az $E 0$ negatív értékekkel nullához hajlik, és így az apocentrum erősen excentrikus ,; ( $n$ $<3$ , hogy ne essen össze a centrifugális sorompó ). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ felett {3-n}}}$
2. Lemma : megmutatjuk, hogy az $U ( r )$ hatványtörvénynek kell lennie, a kvázi körkörös esetet nézve (lásd a központi erővel történő mozgást ): (az $n$ $= 1$ logaritmikus esetet közvetlen vizsgálat kizárja). ${\ displaystyle {\ widehat {AOP}} = {\ pi \ over {\ sqrt {3-n}}}}$
Következtetés : $3 - n = 1 kell$ ; ez a helyzet Kepler pályáival .
Lemma 3 : az $r p$ erő erő esetét az erő transzmutációjának kettőssége oldja meg : $(3 + p ) (3 - n ) = 4$ ; következésképpen $n = 2-nek$ $p = 1$ felel meg : ez Hooke ellipszisének esete

Először Isaac Newton jött rá, hogy Hooke lineáris esete (nagyon egyszerű) adta a megoldást Kepler problémájára. Édouard Goursat , Tullio Levi-Civita , majd Karl Bohlin újra felfedezte ezt a tételt a konformális $z \to z 2$ transzformáció révén, amely Hooke pályáját Kepleré alakítja, és az időskála Hooke mozgását Kepler mozgásává változtatja, de nyilvánvalóan az erő változik $-kr$ hogy $- k ' / r 2$ : ez az úgynevezett szabályozási a »sokk« a szinte nulla perdület .

Bertrand problémájának általánosítása

Ha nem vesszük fel a központi mezőt, akkor nyilván több lehetőség kínálkozik. Ismerünk közülük néhányat. Két szabadságfok esetén ez akkor történik, amikor a rendszer két koordináta-rendszerben elkülöníthető Hamilton-Jacobi egyenlettel rendelkezik. Ezek az esetek a cikk potenciális kútjaiban közölt szuperszimmetriára utalnak .

Az S 3 gömb szabad mozgása sztereográfiai vetítéssel adja meg azt a hamiltonit, akinek a pályája nyilvánvalóan zárva van. ${\ displaystyle H = {p ^ {2} \ over (1 + q ^ {2}) ^ {2}}}$
A Jules Tannery körte szabad mozgása, a derékszögű egyenlet $16 a 2 ( x 2 + y 2 ) = z 2 (2 a 2 - z 2 )$ periodikus (1892)
Ha azt követeljük, hogy a pályák kúpok legyenek , Darboux (1877) és Halphen (1877) két központi erőt talált (nem konzervatív, mert a poláris szögtől függően) az $r / d 3-ban,$ ahol $d$ a sík egyenesének távolságát jelöli ( általánosítja Newton-t egy poláris úton) és $r / D 3-$ ban, $D 2 = ax 2 + 2 bxy + cy 2$ .
Ha elhagyjuk a központi erő gondolatát, a pályák kétféle párhuzamos erő révén kúpok lehetnek.
Végül az S 2 gömbön Besse (1978) megadja a metrika deformációit, amelyek zárt görbékhez vezetnek, a forradalom szimmetriája nélkül.

Megjegyzések és hivatkozások

a Tudományos Akadémiáról, vol. 77. o. 849
A demonstrációs a Herbert Goldstein , Classical Mechanics , 2 nd ed., 1980 egyszerűbb egy olyan számítógépes algebra rendszerrel, mint a Maple vagy a Mathematica .

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Joseph Bertrand (1873) eredeti cikke [1] és angol fordítása [2] .
Herbert Goldstein, Klasszikus mechanika , 1964, PUF .
Perelomov, "Integrable system s (1990), szerk. Birkhaüser, ( ISBN 3-76432-336-1 )
Eddie Saudrais, demonstráció H. Goldstein alapján, Klasszikus mechanika, második kiadás, 1980. [3]
Egy másik demonstráció: inverz probléma és Bertrand tétele . [4]
Egy másik bizonyíték: Bertrand tételének nem perturbatív bizonyítása . [5]