A matematika, a Borelian törzs (más néven a Borel törzs vagy a Borelian törzs ) a topologikus tér X a legkisebb törzs az X , amely az összes nyitott készletek . Az elemek a Borelian törzs nevezzük Borelians . A borelián tehát része az X-nek , amelynek kiegészítése szintén boréli, valamint a megszámlálható mennyiségű borélia egyesülése.
A koncepció Émile Borelnek köszönheti nevét , aki 1898-ban publikálta a valódi jobboldal boréliai törzsének első kiállítását .
A Borel ekvivalensen meghatározható a legkisebb törzsként, amely tartalmazza az X összes zárt részhalmazát .
Ha a topológia X elismeri a tenyésztő megszámlálható Egy , akkor a Borel társított X által generált A .
Adott egy részhalmaza Y az X , a Borel a Y a topológia indukált azonos a jelet a Y a Borel az X . Ezt bizonyítja egy sort, amikor alkalmazások közlekedési lemmát a kanonikus injekciót az Y a X .
Egy termék két topologikus terek X és Y , a törzs termel Borelian törzsek X és Y mindig benne van a Borelian törzs a terméket. Amikor X-nek és Y- nek megszámlálható alapja van, egyenlőség is fennáll. További részletek a " terméktörzs " című cikkben találhatók .
Különösen fontos példa a valós számok halmazának boréliai törzse. A valós számok halmazán található boréliai törzs a ℝ legkisebb törzse, amely tartalmazza az összes intervallumot .
A Borelian törzs is által generált nyitott időközönként formájában ] egy , + ∞ [ , ahol egy Keresztvasak ℝ; még az is elég ahhoz, hogy egy olyan sűrű része a ℝ mint ℚ halmaza racionális számok .
Ugyanígy, bármilyen dimenzióban, a macskakövek generálják az ℝ n-n lévő boréliai törzset . Számos változat lehetséges, így a el n boréliai törzset szintén a következők generálják:
(az egyes példákban csak racionális számok használatára szorítkozhatunk: ezért ezek a generáló családok mind megszámlálhatók).
A boréliai törzs lehetővé teszi a boréliai mérték meghatározását , amely megfelel a hosszúság, terület, térfogat stb. Intuitív fogalmának. (a "Borelian mérték" elnevezés a szerzőktől függően változhat, lásd Borel mérték (pontosítás ).
A boréliai intézkedés nem teljes, mivel a boréliai törzs nem tartalmaz néhány elhanyagolható elemet . Amikor elvégezzük a boréliai mértéket, megszerezzük a Lebesgue-mértéket .
A Lebesgue és a Borelian mérték egybeesnek a Borelian törzsön. És ha van és hol , akkor meghatározzuk , és ezt megkapjuk .
A Lebesgue törzs az a törzs, amelyen a Lebesgue mértékét meghatározzák. Ezért a boreli törzshez adjuk hozzá az összes részhalmazt, amelyek a nulla mérték részhalmazába tartoznak (a boreli mértékhez ).
L={NÁL NÉL∪NEM∣NÁL NÉL∈B, NEM⊂B∈B,μ(B)=0}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {A \ csésze N \, \ közepe \, A \ -ban {\ mathcal {B}}, \ N \ B részhalmaz \ -ban {\ mathcal {B}}, \ mu (B) = 0 \}} Ezért .Az X részhalmaza akkor boréliánus, ha nyitott halmazokból nyerhető meg, ha az uniók, kereszteződések és a komplementhez való áthaladás műveleteinek megszámlálható sorrendjét hajtjuk végre, de az első intuícióval ellentétben így nem kapjuk meg tőle távol, az összes boreliánus (bár megkapjuk az összes szokásos boreliánust); valóban, az ezen konstrukciós séma szerint kapott osztály nem stabil a megszámlálható összejövetelek és kereszteződések szempontjából, és az összes boréliait meg kell szerezni, hogy ezt a sémát transzfinitálisan megismételjük ; További részletekért lásd a „ generált törzs ” és a „ Borel-hierarchia ” cikkeket .
Ez a konstrukció lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy a ℝ n boréliai törzs rendelkezik a kontinuum erejével .
A mérhető térről azt mondják, hogy luzin vagy szabványos, ha izomorf egy lengyel tér boréliai részéhez képest, amelyet a boréliai törzs által kiváltott törzs biztosít. Kuratowski tétele ezt biztosítja
Az összes megszámlálhatatlan standard mérhető tér izomorf.
Így a boreli struktúra szempontjából az összes szokásos megszámlálhatatlan tér megkülönböztethetetlen: is izomorf minden ℝ n , a Baire tér ℕ ℕ , a Hilbert-kocka [0, 1] ℕ , a Cantor tér számára {0, 1} ℕ , Banach térben elválasztható C ([0,1]) (a vektortér folytonosan működik [0, 1] -től ℝ-ben, felszerelve az egységes konvergencia szabványával ) stb. - bár ezek a terek nagyon eltérnek a topológiai vagy algebrai szempontoktól.