Államképviselet

Az automatikus üzemmódban egy állami reprezentáció lehetővé teszi, hogy a modell egy dinamikus rendszer segítségével állapotváltozóit . Ez az ábrázolás, amely lehet lineáris vagy nem, folyamatos vagy diszkrét, lehetővé teszi a rendszer állapotának meghatározását bármely jövőben, ha ismerjük a kezdeti pillanat állapotát és a rendszert befolyásoló exogén változók viselkedését. A rendszer állami reprezentációja lehetővé teszi a "belső" viselkedés megismerését, és nem csak a "külső" viselkedését, mint az átviteli funkciója esetén. Az államképviselet rövid történetét lásd : Automatizálás története .

Állapotváltozók

A rendszer teljes egészében leírható változókészlet segítségével. Az állapotváltozók olyan mennyiségek, amelyek leggyakrabban fizikai jelentéssel bírnak, és amelyeket egy $x$ vektorba gyűjtenek . Az összes állapotváltozó ismerete bármely pillanatban $t$ , valamint a $[ t , t + T ]$ intervallumba történő bejegyzés ismerete , ahol $T$ tetszőleges, lehetővé teszi a rendszer összes változójának pillanatnyi megismerését. . A száma állapotváltozók, betűvel jelöljük n , a sorrendben a rendszer. $t + T$

Lineáris rendszerek

Képviseletek

A cikk első részében csak az invariáns (vagy álló ) lineáris rendszereket vesszük figyelembe .

Ezeknek a rendszereknek az állapotábrázolása, ha folyamatos időben vannak , a következőképpen íródik:

{\ displaystyle {\ begin {esetben} {\ dot {x}} & = A ~ x + B ~ u \\ y & = C ~ x + D ~ u \ end {esetek}}}

{\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

: oszlop, amely az n állapotváltozót ábrázolja

{\ displaystyle u (t) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

: oszlop, amely az m parancsokat jelöli

{\ displaystyle y (t) \ in \ mathbb {R} ^ {p}}

: oszlop, amely a p kimenetet ábrázolja

A \ itt: {\ mathbb {R}} ^ {{n \ szor n}}

: Állapotmátrix

B \ itt: {\ mathbb {R}} ^ {{n \ alkalommal m}}

: Parancsmátrix

C \ itt: {\ mathbb {R}} ^ {{p \ times n}}

: Megfigyelési mátrix

D \ itt: {\ mathbb {R}} ^ {{p \ times m}}

: Közvetlen cselekvési mátrix

Az oszlopok $x$ , $u$ és $y$ képviseli vektorok és a bázisok vektorterekben és , az úgynevezett állami helyet , kontroll tér és a kimeneti térben , és izomorf és rendre. ${\ mathbf {x}} \ in {\ mathcal {X}}, {\ mathbf {u}} \ in {\ mathcal {U}}$ ${\ mathbf {y}} \ in {\ mathcal {Y}}$ ${\ mathcal {X}}, {\ mathcal {U}}$ ${\ mathcal {Y}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{n}}, {\ mathbb {R}} ^ {{m}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{p}}$

Hasonlóképpen, a mátrixok $A$ , $B$ , $C$ és $D$ jelentése egyenes, alkalmazások , , és rendre, a figyelembe vett bázis. ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in {\ mathcal {L}} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {X}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} \ in {\ mathcal {L}} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {X}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} \ in {\ mathcal {L}} ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {Y}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} \ in {\ mathcal {L}} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {Y}})}$

Az $x$ , $u$ és $y$ vektorok kielégítik az egyenleteket

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbf {\ dot {x}} & = \ mathbf {A ~ x + B ~ u} \\\ mathbf {y} & = \ mathbf {C} ~ \ mathbf {x } + \ mathbf {D} ~ \ mathbf {u} \ end {esetben}}}

Bizonyos esetekben az először bevezetett mátrix állapotábrázolás lesz a legkényelmesebb; másoknál megfelelőbb lesz az, amely vektorokat és lineáris térképeket tartalmaz, és amelyet belső állapotábrázolásnak neveznek ( geometrikusnak is nevezik ).

Az állapotegyenlet integrálása

A System Status a rendszer történetének átfogó összefoglalása. Valójában az állapot és a véges intervallum sorrendjének ismeretében ki lehet fejezni az állapotot , a mátrix exponenciális számításainak köszönhetően : $x (t_ {i})$ $u (t)$ $[t_ {i}, ~ t_ {f}]$ $x (t_ {f})$

x (t_f) = e ^ {A (t_f-t_i)} x (t_i) + \ int_ {t_i} ^ {t_f} e ^ {A (t_f- \ tau)} B u (\ tau) d \ tau

Alapváltozás

Tekintsük a változó változását , a és invertálhatóval . Ez a változó az alaptér változásának felel meg. A rendszert ezért a következőképpen írják át: $z = Px$ $P \ itt: {\ mathbb R} ^ {{n \ szor n}}$

{\ begin {esetben} {\ dot z} = PAx + PBu & = PAP ^ {{- 1}} z + PBu \\ y = Cx + Du & = CP ^ {{- 1}} z + Du \ end {esetek}}

Láthatjuk tehát, hogy egy államrendszer mátrixábrázolásai végtelenek . Ezzel szemben a belső reprezentáció egyedülálló.

Pólusok és stabilitás

Lengyelek

Az állapotmátrix (vagy ezzel egyenértékűen a mátrix által képviselt endomorfizmus ) sajátértékei a rendszer pólusai . Legyen p oszlop; annak érdekében, q úgy definiáljuk, hogy a legnagyobb fokú a elemi osztója polinom mátrix, amelyek több polinom , vagy sorrendjét sokaságának p , mint a gyökér a minimális polinom a A , vagy ismét a maximális sorrendben Jordan blokkok az a , amelynek a sajátérték p . $NÁL NÉL$ $\ mathbf {A}$ $sI _ {{n}} - A$ $sp \ in {\ mathbb {C}} \ balra [s \ jobbra]$

Ez az utolsó jellemzés és Jordánia redukciójának alkalmazása a differenciálrendszerek elméletére azt mutatja, hogy a következő feltételek egyenértékűek:

(i) a rendszer p pólusa nagyobb vagy egyenlő q-val ; (ii) u = 0 esetén létezik olyan kezdeti állapot , hogy az állapotegyenletnek megvan a formája .

x _ {{0}} \ neq 0

{\ displaystyle x (t) = t ^ {q-1} e ^ {pt} x_ {0}}

Stabilitás

A fentiekből a következő javaslatok adódnak:

A rendszer aszimptotikusan stabil , és csak akkor, ha pólusai mind a nyitott bal félsíkban helyezkednek el (azaz mindegyiknek szigorúan negatív a valós része). Szükséges és elegendő feltétel a rendszer exponenciálisan stabil működéséhez is .

A rendszer akkor stabil (Ljapunov értelmében), és csak akkor, ha pólusai mind a zárt bal félsíkban vannak (vagyis mindegyiknek negatív vagy nulla valós része van), a képzeletbeli tengelyen elhelyezkedők (ha vannak) egyszerű (azaz 1. rendű).

Szerkezeti tulajdonságok

Az irányíthatóság és megfigyelhetőség a rendszer szerkezeti tulajdonságai, amelyek nem jelennek meg az átviteli függvény ábrázolásában.

Irányíthatóság és stabilizálás

A rendszer azt mondják, hogy irányítható , ha bármely időintervallumra és minden pontot , ahol létezik olyan parancs $u$ alkalmazott , úgyhogy . $[t_ {i}, ~ t_ {f}]$ ${\ mathbf {x}} _ {{i}}, {\ mathbf {x}} _ {{f}} \ in {\ mathcal {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {i}) = \ mathbf {x} _ {i}}$ $[t_ {i}, ~ t_ {f}]$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {f}) = \ mathbf {x} _ {f}}$

A szükséges és elégséges feltétele az ellenőrizhetőség továbbiakban nevezzük a Kálmán kritériuma a szabályozhatóság . A kérdéses rendszer akkor és csak akkor vezérelhető, ha :

{\ textrm {rang}} {\ begin {bmatrix} B&AB & ... & A ^ {{n-1}} B \ end {bmatrix}} = n

A fenti mátrix, jelöljük , általában úgynevezett szabályozhatósága mátrix , és az oszlopai számított iteratív: . Belső értelemben meghatározzuk a következő állapottér vezérelhető alterét $\Gamma$ ${\ displaystyle A ^ {k + 1} B = A (A ^ {k} B)}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}}$ ${\ mathcal {X}}$

{\ mathcal {X}} _ {{c}} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{b}} {\ mathbf {A}} ^ {{k-1}} {\ mathcal {B }}

hol van a kép , és a rendszer tehát akkor és csak akkor vezérelhető . Ezután azt mondjuk, hogy a nyelvvel visszaélve az $($ $A$ $,$ $B$ $)$ (vagy ennek megfelelő módon $($ $A$ $,$ $B$ $)$ ) ellenőrizhető. Ha nem ez a helyzet, akár a rangját a mátrix , azaz a dimenzió a vezérelhető tér , egy alap és egy alap további altér az . Ha az alapban választja meg , függetlenül attól, hogy melyik alapot választja , lineáris leképezéseket jelenít meg, és formai mátrixok képviselik ${\ mathcal {B}}$ ${\ mathbf {B}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}} = {\ mathcal {X}}$ $\ rho _ {{c}}$ $\Gamma$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}}$ $\ left \ {\ varepsilon _ {{1}}, ..., \ varepsilon _ {{\ rho _ {{c}}}} \ right \}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}}$ $\ left \ {\ varepsilon _ {{\ rho _ {{c}} + 1}}, ..., \ varepsilon _ {{n}} \ right \}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}}$ ${\ mathcal {X}}$ ${\ mathcal {X}}$ $\ left \ {\ varepsilon _ {{1}}, ..., \ varepsilon _ {{n}} \ right \}$ ${\ mathcal {U}}$ $\ mathbf {A}$ ${\ mathbf {B}}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {c} & \ ast \\ 0 & A _ {\ bar {c}} \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} B_ {c} \\ 0 \ vége {pmatrix}}}

hol szabályozható és hol a csillag egy olyan részmátrix, amelynek elemei tetszőlegesek. A sajátértékei a rendszer nem vezérelhető pólusai (vagy módjai ) , amelyeket bemeneti leválasztási nulláknak (zde) is nevezünk . Az, hogy a mátrix van , és, hogy a mátrix van . ${\ displaystyle (A_ {c}, B_ {c})}$ $A _ {{{\ bar {c}}}}$ $A _ {{c}}$ $\ rho _ {{c}}$ $A _ {{{\ bar {c}}}}$ $n- \ rho _ {{c}}$

A rendszer állítólag akkor stabilizálódott, ha nem vezérelhető pólusai mind a nyitott bal félsíkhoz tartoznak. Az irányítható rendszer tehát stabilizálható.

A rendszer irányíthatóságának és stabilitásának vizsgálatához kényelmes kritérium a Popov-Belevich-Hautus (PBH) teszt: a rendszer akkor és csak akkor irányítható (vagy stabilizálható), ha a mátrix rangja mindenre megegyezik $n-vel$ (ill. mindennek a zárt jobb félsíkban). ${\ displaystyle (sI_ {n} -A \ quad B)}$ $s \ itt: {\ mathbb {C}}$ $s$

A nem szabályozható pólusok azok az értékek is , amelyeknél a mátrix rangja van , más szóval ezek a mátrix invariáns tényezőinek gyökerei. Legyen p nem vezérelhető pólus. A sorrendben q meghatározás szerint a legnagyobb fokú elemi osztója többszöröse a polinom (ez is a sorrendben sokaságának p , mint a gyökér a minimális polinom a , azaz ismét a maximális sorrendben Jordan blokkok a , amelynek a sajátérték p .) $s \ itt: {\ mathbb {C}}$ $\ balra ({\ begin {tömb} {cc} sI _ {{n}} - A&B \ vége {tömb}} \ jobbra)$ $<n$ ${\ displaystyle (sI_ {n} -A \ quad B)}$ $sp \ in {\ mathbb {C}}$ $A _ {{{\ bar {c}}}}$ $A _ {{{\ bar {c}}}}$

Ez az utolsó jellemzés azt mutatja (mint fent, a rendszer pólusairól), hogy a következő feltételek egyenértékűek:

a p komplex szám egy q- nál nagyobb vagy azzal egyenlő nem szabályozható pólus ;
létezik olyan kezdeti állapot , hogy bármely határozatlanul differenciálható u parancs esetén az állapotegyenletnek megvan a formája . $x _ {{0}} \ neq 0$ ${\ displaystyle x (t) = t ^ {q-1} e ^ {pt} x_ {0}}$

Megfigyelhetőség és kimutathatóság

Azt mondják, hogy egy rendszer akkor figyelhető meg, ha be- és kimeneteinek véges időintervallumon keresztüli megfigyelése lehetővé teszi a kezdeti állapot meghatározását , és ezért az állapotegyenlet integrálásával az intervallumhoz tartozó bármely pillanatban megismerhető . A szükséges és elégséges feltétele megfigyelhetőségi alatti nevezik Kálmán Criterion az Megfigyelhetőség . A figyelembe vett rendszer csak akkor figyelhető meg, ha : $[t_ {i}, ~ t_ {f}]$ $x (t_ {i})$ $x (t)$ $[t_ {i}, ~ t_ {f}]$

{\ textrm {rang}} {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ ... \\ CA ^ {{n-1}} \ end {bmatrix}} = n

Ez a jelentős mátrix gyakran nevezik megfigyelhetőség mátrix és annak vonalak számítjuk iteratív: . Belső értelemben a következő nem megfigyelhető alterületet definiáljuk $\Omega$ $CA ^ {{k + 1}} = (CA ^ {{k}}) A$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} _ {\ bar {o}} = \ cap _ {k = 1} ^ {n} \ ker (\ mathbf {CA} ^ {k})}

és a rendszer (vagy a nyelvvel való visszaéléssel $( C , A )$ vagy $( C , A )$ ) tehát akkor és csak akkor figyelhető meg (ahol a 0 az egyetlen nulla elemre redukált vektoros alterületet jelöli ). Ha nem ez a helyzet, akkor vagy a dimenzió ( tehát rangja ), a bázis egy további alterének és a bázisa . Ha az alapban választja meg , függetlenül attól, hogy melyik alapot választja , lineáris leképezéseket jelenít meg, és formai mátrixok képviselik ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}} = 0$ ${\ mathcal {X}}$ ${\ mathcal {\ rho}} _ {{{\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}}$ $n - {\ mathcal {\ rho}} _ {{{\ bar {o}}}}$ $\Omega$ $\ balra \ {\ eta _ {{1}}, ..., \ eta _ {{n- \ rho _ {{{\ bar {o}}}}}}} jobbra}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}}$ $\ bal \ {\ eta _ {{n- \ rho _ {{{\ \ bar {0}}}} + 1}}, ..., \ eta _ {{n}} \ jobb \}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}}$ $\ bal \ {\ eta _ {{1}}, ..., \ eta _ {{n}} \ jobb \}$ ${\ mathcal {Y}}$ ${\ mathbf {C}}$ $\ mathbf {A}$

{\ displaystyle {\ binom {C_ {o}} {0}}, {\ begin {pmatrix} A_ {o} & 0 \\\ ast & A _ {\ bar {o}} \ end {pmatrix}}}

ahol megfigyelhető. ${\ displaystyle {\ binom {C_ {o}} {0}}}$

A sajátértékei a rendszer nem megfigyelhető pólusai (vagy módjai ) , amelyeket kimeneti leválasztási nulláknak (zds) is nevezünk . Az, hogy a mátrix van , és, hogy a mátrix van . $A _ {{{\ bar {o}}}}$ $A _ {{o}}$ $n- \ rho _ {{o}}$ $A _ {{{\ bar {o}}}}$ $\ rho _ {{o}}$

Azt mondják, hogy a rendszer akkor detektálható, ha megfigyelhetetlen pólusai mind a nyitott bal félsíkhoz tartoznak. Megfigyelhető rendszer tehát észlelhető.

Van még Popov-Belevich-Hautus (PBH) teszt is a megfigyelhetőség és detektálhatóság jellemzésére: a rendszer akkor és csak akkor figyelhető meg (ill. Detektálható), ha a mátrix rangja

{\ displaystyle {\ binom {sI_ {n} -A} {C}}}

egyenlő $n$ az összes (ill. az összes $s$ a zárt jobb fél-sík). $s \ itt: {\ mathbb {C}}$

A nem megfigyelhető pólusok azok az értékek is , amelyeknél a fenti mátrix rangja van , más szóval ezek a mátrix invariáns tényezőinek gyökerei. A nem megfigyelhető pólus sorrendjét úgy definiáljuk, mint egy ellenőrizhetetlen pólust, mutatis mutandis . $s \ itt: {\ mathbb {C}}$ $<n$

A következő feltételek egyenértékűek:

a p komplex szám egy q értéknél nagyobb vagy azzal egyenlő nagyságrendű megfigyelhetetlen pólus ;
-val van egy kezdeti állapot, mint az állapotegyenlet megoldása, míg az ottani kimenet azonos nulla. $u = 0$ $x _ {{0}} \ neq 0$ ${\ displaystyle x (t) = t ^ {q-1} e ^ {pt} x_ {0}}$

Kalman bomlás

Most levelet , ahol , egy további a az , egy további a -ban, és egy további a az . Az alábbi alterületek alapjainak összefűzésével kialakított bázis kiválasztásával a lineáris térképeket , és a forma mátrixai képviselik (függetlenül attól, hogy milyen alapok vannak kiválasztva és ), ${\ mathcal {X}} = {\ mathcal {X}} _ {{c {bar {o}}}} \ oplus {\ mathcal {X}} _ {{co}} \ oplus {\ mathcal {X }} _ {{{\ bar {c}} {\ bar {o}}}} \ oplus {\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {c}} o}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c {\ bar {o}}}} = {\ mathcal {X}} _ {{c}} \ cap {\ mathcal {X}} _ {{{\ bar { o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{co}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c {\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {c}} {\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c {\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {o}}}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{\ bar {c}} o}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{{{bar {o}}}} \ oplus {\ mathcal {X}} _ {{c}}$ ${\ mathcal {X}}$ ${\ mathcal {X}}$ $\ mathbf {A}$ ${\ mathbf {B}}$ ${\ mathbf {C}}$ ${\ mathcal {U}}$ ${\ mathcal {Y}}$

{\ displaystyle {\ tilde {A}} = {\ begin {pmatrix} A_ {c {\ bar {o}}} \ quad & \ ast & \ ast & \ ast \\ 0 \ quad & A_ {co} \ quad & 0 & \ ast \\ 0 \ quad & 0 & A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}} \ quad & \ ast \\ 0 \ quad & 0 & 0 & A _ { {\ bar {c}} o} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ tilde {B}} = {\ begin {pmatrix} B_ {c {\ bar {o}}} \\ B_ {co} \ \ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle {\ tilde {C}} = {\ begin {pmatrix} \ \ 0 \ quad & \ \ C_ {co} \ quad & \ quad 0 \ quad \ & C _ {{\ bar {c}} o } \ end {pmatrix}}}

vagy

{\ displaystyle \ left ({\ begin {pmatrix} A_ {c {\ bar {o}}} \ quad & \ ast \\ 0 \ quad & A_ {co} \ quad \ end {pmatrix}}, \ quad { \ begin {pmatrix} B_ {c {\ bar {o}}} \\ B_ {co} \ end {pmatrix}} \ right)}

vezérelhető és

{\ displaystyle \ left ({\ begin {pmatrix} C_ {co} & C _ {{\ bar {c}} o} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} A_ {co} \ quad & \ ast \\ 0 & A _ {{\ bar {c}} o} \ end {pmatrix}} \ right)}

megfigyelhető. Nehézség nélkül ellenőrizzük, hogy a rendszer transzfermátrixa az

{\ displaystyle G (s) = {\ tilde {C}} \ bal (sI_ {n} - {\ tilde {A}} \ jobbra) ^ {- 1} {\ tilde {B}} + D = C_ { co} \ left (sI_ {n_ {co}} - A_ {co} \ right) ^ {- 1} B_ {co} + D}

hol van a vektortér dimenziója . Ezért az átviteli mátrix csak a rendszer vezérelhető és megfigyelhető részétől függ. $n _ {{co}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{co}}$

Rejtett módok

Vizsgáljuk meg újra a fenti állapotábrázolás által megadott lineáris rendszert. A következő tulajdonságok egyenértékűek:

A rendszer egyszerre megfigyelhető és ellenőrizhető.
A rendszer pólusai (más szóval sajátértékei $A$ ) egybeesnek az átviteli rudak (más szóval, a pólusok annak átviteli mátrix ), figyelembe véve a multiplicitásukkal.

A rendszer minimálisnak mondható, ha ezek az egyenértékű tulajdonságok teljesülnek.

Tekintsük ennek a rendszernek a Kalman-bontását. Mivel egy mátrix sajátértékei változatlanok maradnak az alapváltozás által,

{\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma (A_ {co}) {\ dot {\ cup}} \ sigma (A_ {c {\ bar {o}}}) {\ dot {\ cup}} \ sigma (A _ {{\ bar {c}} o}) {\ dot {\ cup}} \ sigma (A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}})}

ahol a zárójelben lévő mátrix spektrumát jelöli, vagyis sajátértékeinek halmazát (többszörösével megegyezően megismételve), és hol van a diszjunkt unió . Másrészt a fenti jelölésekkel ${\ displaystyle \ sigma (.)}$ ${\ dot {\ cup}}$

{\ displaystyle \ sigma (A _ {\ bar {c}}) = \ sigma (A _ {{\ bar {c}} o}) {\ dot {\ cup}} \ sigma (A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}}), \ \ sigma (A _ {\ bar {o}}) = \ sigma (A_ {c {\ bar {o}}}) {\ dot {\ cup }} \ sigma (A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}})}

így, ahol a ( jelző komplementere $F$ az $E$ , amikor ). ${\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma (A_ {co}) {\ dot {\ cup}} \ {mc \}}$ ${\ displaystyle \ {mc \} = \ sigma (A _ {\ bar {c}}) {\ dot {\ cup}} \ sigma (A _ {\ bar {o}}) \ backlash \ sigma (A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}})}}$ $E \ hátsó perjel F$ $F \ E részhalmaz$

A (ill. ) Elemeit rejtett módoknak hívjuk (ill. A bemenet-kimenet leválasztási nullák ( zdes )). Az utolsó egyenlőség meg van írva

{\ displaystyle \ {mc \}}

{\ displaystyle \ sigma (A _ {{\ bar {c}} {\ bar {o}}})}

\ left \ {mc \ right \} = \ left \ {zde \ right \} {\ dot {\ cup}} \ left \ {zds \ right \} \ backslash \ left \ {zdes \ right \}

míg a korábbi van írva jelölő által (ill. ) A rendszer pólusai (ill. annak átviteli oszlopok) $\ bal \ {ps \ jobb \}$ $\ bal \ {pt \ jobb \}$

\ left \ {ps \ right \} = \ left \ {pt \ right \} {\ dot {\ cup}} \ left \ {mc \ right \}

Megmutathatjuk, hogy ez az utóbbi két kapcsolat önmagában rejlik .

Nullák Változó nullák

Tekintsük az $R ( s )$ mátrixot , amelyet Rosenbrock mátrixnak vagy rendszermátrixnak nevezünk

{\ displaystyle R (s) = {\ kezdete {pmatrix} sI_ {n} -A & -B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

A gyökerek a komplex síkban az invariáns tényezők a $R ( k )$ (multiplicitások figyelembe véve) nevezik invariáns nullák (zi) a rendszer. Belső tárgyak, amelyek az állapot visszaadásával változatlanok , ezért a nevük is.

Legyen z invariáns nulla. A sorrendben q úgy definiáljuk, hogy a legnagyobb fokú a elemi osztója a $R ( k ), amelyek$ több a polinom . $sz \ in {\ mathbb {C}} \ balra [s \ jobbra]$

A következő feltételek egyenértékűek:

az z komplex szám a rendszer invariáns nulla, nagyobb vagy egyenlő q-val ;
van egy kezdeti állapotban és a kontroll , amelyre a kimeneti van azonosan nulla. $x _ {{0}}$ ${\ displaystyle u (t) = u_ {0} t ^ {q-1} e ^ {zt}}$ $u _ {{0}} \ neq 0$

Rendszer nullák

A rendszer nulláit (zs) a reláció határozza meg

\ left \ {zs \ right \} = \ left \ {zt \ right \} {\ dot {\ cup}} \ left \ {mc \ right \}

hol van az átviteli nullák halmaza (az invariáns nullákkal ellentétben az utóbbiak nem változatlanok az állapot visszatérésével). Megmutatjuk, $\ bal \ {zt \ jobb \}$

{\ displaystyle \ left \ {zt \ right \} {\ dot {\ cup}} \ left \ {zdes \ right \} \ subset \ left \ {zi \ right \} \ subset \ left \ {zs \ right \ }}

az első (ill. a második) befogadás egyenlőséggé válik egy minimális rendszer esetén (ill. négyzet alakú és szabályos átviteli mátrixú).

Kettősség

A tulajdonságait irányíthatóság és megfigyelhetőség a kettős , csakúgy, mint a tulajdonságai stabilizációs és kimutathatósága , a következő értelemben: $( C , A )$ jelentése megfigyelhető (ill. Érzékelhető ), ha, és csak akkor, ha $( t A , t C )$ van vezérelhető ( ill. stabilizálható ).

Átváltás az átviteli funkcióra: példa

Mint fentebb említettük, a nem kontrollálható és / vagy nem megfigyelhető részek eltűnnek az átviteli függvény szerinti ábrázolásokban (ebben az esetben a megfelelő pólusok és nullák rejtett módok ). Itt egy szemléltető példa.

Vegye figyelembe a rendszereket, és feleljen meg a következő differenciálegyenleteknek: $S_1$ $S_2$

S_ {1}: {\ dot y} + y = u

S_ {2}: {\ ddot y} -y = {\ dot u} -u

A rendszer a következő jelentési űrlappal rendelkezik: $S_1$

S_ {1}: {\ elején {esetek} {\ dot x} = - x + u \\ y = x \ vég {esetek}}

Ez a rendszer minimális.

A rendszer állapotot alakíthat ki az alábbiak szerint: $S_2$

S_ {2}: {\ begin {esetben} {\ begin {bmatrix} {\ dot x} \\ {\ ddot x} - {\ dot u} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ \ 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ {\ dot x} -u \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \ end {bmatrix }} u \ \ y = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ {\ dot x} -u \ end {bmatrix}} end {esetek}}

Az irányíthatósági mátrix kiszámítása a következő eredményhez vezet: $\Gamma$

\ Gamma = {\ begin {bmatrix} B&AB \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ - 1 & 1 \ end {bmatrix}}

Ennek a mátrixnak a rangja megegyezik 1. Mivel a rendszer rendezett , nem vezérelhető. $2$

A két rendszer azonban, bár különbözik egymástól, ugyanazzal az átviteli funkcióval rendelkezik ( a Laplace változóval együtt ): $s$

S_ {1}: {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}}: {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {1} {s + 1}}

S_ {2}: {\ xrightarrow {{\ mathcal {L}}}}: {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {s-1} {s ^ {2} -1}} = {\ frac {s-1} {(s + 1) (s-1)}} = {\ frac {1} {s + 1}}

A pólusok egyszerűsítése, amelyet nem lehet nullával vezérelni (bemenet leválasztása), ami azt jelenti, hogy az átviteli függvény általi ábrázolás nem teszi lehetővé a rendszer összes szerkezeti tulajdonságának tükröződését.

Diszkrétálás

A $T$ mintavételi periódusban diszkrecetizálni lehet egy olyan folyamatos időtartamú stacionárius lineáris rendszert, mint amilyen a fenti, diszkrét idejű stacionárius lineáris rendszert alkotni . Az állam és a kimeneti az lakosztállyal által meghatározott kapcsolatokat , . A diszkrét parancs a valós időben működő digitális számítógép által kiszámított számsor . Ezek az értékek vannak kitéve a blokkoló , hogy egy folytonos idejű parancs $u$ ellenőrzése A blokkolt parancs bemenete . A legegyszerűbb blokkoló, és egyben a legelterjedtebb, a zéró-rendű blokkoló : a lényege, hogy meghatározzák $u$ által számára . Az így kapott $u$ parancs tehát lépcsőfüggvény. A állapotegyenlet megszerzéséhez elegendő integrálni a $kT$ és a közötti értéket , és ezt megmutatjuk $\ Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {d}}$ ${\ displaystyle x_ {d} = {\ mathfrak {D}} (x)}$ ${\ displaystyle y_ {d} = {\ mathfrak {D}} (y)}$ $\ Sigma _ {{d}}$ ${\ displaystyle x_ {d} (k) = x (kT ^ {+})}$ ${\ displaystyle y_ {d} (k) = y (kT ^ {+})}$ $u _ {{d}}$ $\ Sigma _ {{d}}$ ${\ mathfrak {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (u_ {d})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {D}} (u) = u_ {d}.}$ $u _ {{d}}$ $\ Sigma$ ${\ displaystyle u (t) = u_ {d} (k)}$ ${\ displaystyle kT \ leq t <(k + 1) T}$ $\ Sigma _ {{d}}$ $\ Sigma$ ${\ displaystyle (k + 1) T}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {c} x_ {d} (k + 1) = A_ {d} x_ {d} (k) + B_ {d} u_ {d} (k) \ \ y_ {d} (k) = Cx_ {d} (k) + Du_ {d} (k) \ end {tömb}} \ jobb.}

val vel

{\ displaystyle A_ {d} = e ^ {AT}, B_ {d} = \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {At} B \, \ mathrm {d} t}

vagy tömörebb formában

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {d} & B_ {d} \\ 0 & I_ {m} \ end {pmatrix}} = \ exp \ left \ {{\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} T \ right \}}

Ahhoz, hogy ez is szabályozható (ill. Megfigyelhető) kell lennie, és ha ez a feltétel teljesül, az szükséges, sőt, az állam mátrix a nem sajátérték , mint például . A mintavételi tételhez hasonló , de a rendszerekre vonatkozó tételre következtetünk . $\ Sigma _ {{d}}$ $\ Sigma$ $NÁL NÉL$ $\ Sigma$ $\ lambda _ {1}$ $\ lambda _ {2}$ $\ lambda _ {{1}} - \ lambda _ {{2}} = {\ frac {2k \ pi i} {T}}, k \ neq 0$

A sajátértékek az állam mátrix a pólusok a rendszer . A rendszer aszimptotikus stabilitásának (vagy ezzel egyenértékűen exponenciálisan stabilnak ) szükséges és elégséges feltétele, hogy ezeknek a pólusoknak a modulusa szigorúan kisebb legyen, mint 1. Ez a feltétel akkor teljesül, ha és csak akkor, ha exponenciálisan stabil. $A _ {{d}}$ $\ Sigma _ {{d}}$ $\ Sigma$

A stacionárius lineáris rendszer különféle pólusait és nullait a diszkrét idő esetén analóg módon, mutatis mutandis határozzuk meg , mint amit fentebb a folyamatos időrendszerekre feltüntettünk.

Bizonytalan lineáris rendszerek

Formalizmus

Nagyon röviden csak a bizonytalan lineáris folytonos időrendszerek esetét fogjuk kezelni. Egy ilyen rendszer van egy állapotegyenlet és észlelési egyenletet, amely ugyanolyan alakú, mint helyhez kötött lineáris rendszer, de a mátrixok , , és amely ebbe a alkalommal, amikor egy gyűrű, vagy egy differenciál területen . Egy ilyen rendszer egy átviteli funkciót is elfogad . Ezt a gyűrűt (feltételezzük, hogy integrál és kommutatív) vagy ezt a mezőt (feltételezzük, hogy kommutatív) a szokásos levezetéssel látjuk el (két klasszikus példa az, ahol és ). Hagyja , azzal , legyen a gyűrű bal polinomok az együtthatók a . Ha $f$ egy változó, van szerint Leibniz-szabály , és mivel ez igaz, amit $f$ általunk a kommutációs szabály $NÁL NÉL$ $B$ $VS$ $D$ ${\ mathbf {K}}$ $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ mathbf {K}} = {\ mathbb {C}} \ balra [t \ jobbra]$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} (t)}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ balra [\ részleges \ jobbra]$ ${\ mathbf {\ részleges =}} {\ frac {d} {dt}}$ $\ részleges$ ${\ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ részleges} (af) = {\ pont {a}} f + a \ részleges f}$ ${\ mathbf {D}}$

{\ mathbf {\ részleges}} aa \ részleges = {\ pont {a}}

A gyűrű , amelyhez ez a szabály tartozik, egy nem kommutatív ércgyűrű , amely egyszerű és fő, ha mező. ${\ mathbf {D}}$ ${\ mathbf {K}}$

Irányíthatóság

Egy ilyen rendszer vezérelhetőségét úgy határozzák meg, mint az álló helyzetben. A Kalman-hoz hasonló irányíthatósági kritériumot Silverman és Meadows adott meg, amikor a valós analitikai funkciók gyűrűje nyitott intervallumon belül nem üres a valós vonaltól: ${\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ mathcal {O}} ({\ mathcal {I}})}$ ${\ mathcal {I}}$

\ Gamma = \ left [{\ begin {array} {cccc} P _ {{0}} \ quad \ vdots \ & P _ {{1}} \ quad \ vdots \ & \ cdots \ quad \ vdots & P _ {{n-1}} \ end {tömb}} \ jobb]

val vel

{\ displaystyle P_ {0} = B, \ quad P_ {i + 1} = \ balra (A - {\ frac {d} {dt}} I_ {n} \ jobbra) P_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq n-2}

A szükséges és elégséges feltétele, hogy a rendszer irányítható, hogy létezik egy különálló részhalmaza az , hogy a rang felett de megegyezik a dimenzió az állapottér mindent . $S$ ${\ mathcal {I}}$ $\ mathbb {R}$ $\Gamma$ $nem$ $t \ a {\ mathcal {I}} \ hátlapjelben S$

Tekintsük például azt a rendszert, amelynek állapota és parancsmátrixa:

{\ displaystyle A = {\ kezdés {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ begin {pmatrix} \ cos \ sigma \\ - \ sin \ sigma \ end {pmatrix}}.}

Ha van állandó paraméter, akkor a vezérelhetőségi mátrix $\ sigma$

{\ displaystyle \ Gamma = {\ kezdete {pmatrix} \ cos \ sigma & - \ sin \ sigma \\ - \ sin \ sigma & - \ cos \ sigma \ end {pmatrix}}}

meghatározója érvényes és az (álló) rendszer tehát irányítható. Másrészt, ha $σ = t$ , akkor az irányíthatósági mátrix az $-1$

{\ displaystyle \ Gamma = {\ elején {pmatrix} B & \ vdots \ quad \ balra (A - {\ frac {d} {dt}} I_ {2} \ jobbra) B \ end {pmatrix}} = {\ kezdet {pmatrix} \ cos t & 0 \\ - \ sin t & 0 \ end {pmatrix}}}

és a (bizonytalan) rendszer nem irányítható.

Megfigyelhetőség és kettősség

A megfigyelhetőséget úgy határozzuk meg, mint az álló helyzetben. A megfigyelhetőség szükséges és elégséges feltételeit a kettős rendszerre való áttéréssel kapjuk meg . Az egyenletek határozzák meg

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {c} - {\ dfrac {d {\ breve {x}}} {dt}} = A ^ {T} {\ breve {x}} + C ^ {T} {\ breve {u}} \\ {\ breve {y}} = B ^ {T} {\ breve {x}} + D ^ {T} {\ breve {u}} \ end {tömb} } \ jobb.}

A lineáris rendszer tehát egybeesik a "kettősével", és csak akkor figyelhető meg, ha a kettős irányítható.

Stabilitás

A bizonytalan lineáris rendszer stabilitása tisztán analitikai módszerekkel tanulmányozható, amelyek elegendő vagy szükséges feltételeket biztosítanak az exponenciális stabilitáshoz. Az algebrai elemzésből és a differenciális algebrából (in) eredő módszerekkel ( Picard-Vessiot elmélet (in) ) meghatározhatjuk egy bizonytalan rendszer pólusait is (bizonyos feltételekkel, amelyek a differenciál testre vonatkoznak, amelyhez a mátrixok együtthatói tartoznak) ez a rendszer), amelyek az exponenciális stabilitás szükséges és elégséges feltételét biztosítják, hasonlóan a fentiekhez az álló lineáris rendszereknél.

Nemlineáris rendszerek

Nemlineáris rendszerek ábrázolása

Kezdjük a klasszikus ábrázolásokkal. A nemlineáris rendszer állapotábrázolása ilyen formájú

{\ elején {esetek} {\ pont {x}} & = f (x, u, t) \\ y & = h (x, u, t)) \ vég {esetek}}

ahol, mint korábban, $x$ az állapotvektor , $y$ a kimeneti vektor és $u$ a bemeneti vektor . Ezeket a változókat a valós vonal nem üres nyitott intervallumában határozzuk meg . Tegyük fel, hogy , hol és vannak nem üres nyílások és rendre. ${\ mathcal {I}}$ ${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbf {X} ^ {\ prime}, u (t) \ in \ mathbf {U}, y (t) \ in \ mathbf {Y}}$ $\ forall t \ in {\ mathcal {I}}$ ${\ mathbf {X}} ^ {{\ prime}}, {\ mathbf {U}}$ ${\ mathbf {Y}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{n}}, {\ mathbb {R}} ^ {{m}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{p}}$

Az első egyenlet az evolúciós egyenletet, a második a megfigyelési egyenletet jelenti. A korábban leírt lineáris állapotábrázolás ennek a formának egy speciális esete, amelyet akkor kapunk, amikor az $f$ és $h$ függvény lineáris az $( x , u ) függvényében$ .

A fenti állami reprezentáció nem egyedi, mivel nem is belső. Sőt, úgy a változás változó , ahol $η$ a diffeomorphism a nyitott az $z = \ eta (x)$ ${\ mathbf {X}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathbf {X}} ^ {{\ prime \ prime}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{n}}$

Azt kapjuk :

{\ displaystyle {\ dot {z}} = {\ dot {x}} \ bal ({\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges x}} \ jobb) _ {x = \ eta ^ {- 1} (z)}}

, amelyet alább megjegyezünk . Honnan :

{\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges x}} {\ pont x}

{\ dot {z}} = {\ frac {\ részleges \ eta} {\ részleges x}} f (x, u, t)

Ezután átírhatjuk rendszerünket a változó változásának figyelembevételével:

{\ begin {esetben} {\ dot {z}} & = {\ frac {\ partis \ eta} {\ részleges x}} f (\ eta ^ {{- 1}} (z), u, t) \ \ y & = h (\ eta ^ {{- 1}} (z), u, t) \ end {esetek}}

A belső reprezentáció megszerzéséhez feltételezzük, hogy hol van egy összekapcsolt $n$ dimenziós (és ) dimenziós sokaság térképe, és az írás egyszerűsítése érdekében a differenciál sokaságok figyelembe vételével és differenciális elosztóként fogunk pózolni . Ezután az első két egyenlet alakot ölt ${\ displaystyle x = \ varphi (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {X}, \ varphi, n)}$ ${\ mathcal {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} ^ {\ prime} = \ varphi (\ mathbf {X})}$ $u = {\ mathbf {u}}, y = {\ mathbf {y}}$ ${\ mathbf {U}}$ ${\ mathbf {Y}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbf {\ dot {x}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}, t) \\\ mathbf {y} = \ mathbf { h} (\ mathbf {x}, \ mathbf {u}, t)) \ end {esetek}}}

A változó megváltoztatása után kapott két egyenletet is ebben a formában teszik fel, mert ez nem más, mint kártyaváltás. Ezért megszereztük az ábrázolás egyediségét. $z = \ eta (x)$

Példa az ingára

A nemlineáris rendszer klasszikus példája a szabad inga (nincs bejegyzés, az inga önmagában marad). Az ingát szabályozó differenciálegyenlet a következő:

ml {\ ddot \ theta} (t) = - mg \ sin \ theta (t) -kl {\ dot \ theta} (t)

vagy:

$\ theta (t)$ az inga szöge
$m$ az inga tömege (a rúd tömegét elhanyagoljuk)
$g$ a gravitációs gyorsulás
$k$ a súrlódási együttható a forgáspontnál
$l$ az inga sugara (az $m$ tömeg súlypontjáig )

Az állapotegyenletek:

{\ dot {x_ {1}}} (t) = x_ {2} (t)

{\ dot {x_ {2}}} (t) = - {\ frac {g} {l}} \ sin {x_ {1}} (t) - {\ frac {k} {m}} {x_ { 2}} (t)

ahol:

$x_ {1} (t) = \ theta (t)$ az inga szöge
$x_ {2} (t) = {\ pont {x_ {1}}} (t)$ az inga szögsebessége
${\ dot {x_ {2}}} = {\ ddot {x_ {1}}}$ az inga szöggyorsulása

Az állapotegyenlet a következőképpen írható fel:

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = {\ binom {{\ dot {x_ {1}}} (t)} {{\ dot {x_ {2}}} (t)}} = f (t, x (t)) = {\ binom {x_ {2} (t)} {- {\ frac {g} {l}} \ sin {x_ {1}} (t) - {\ frac {k } {m}} {x_ {2}} (t)}}}

A rendszer álló egyensúlyi pontjait azok a pontok határozzák meg, ahol . Ebben az esetben azok a pontok, amelyek megfelelnek az inga ezen kritériumának, a következők: ${\ dot {x}} = 0$

{\ displaystyle {\ binom {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ binom {n \ pi} {0}}}

minden n egész számra.

Parancsolhatóság, megfigyelhetőség

A nemlineáris rendszer vezérelhetőségét és megfigyelhetőségét a szokásos módon határozzuk meg, amint azt már fentebb kifejtettük. A vezérelhetőséget tanulmányozzuk, ha a rendszerek sorrendben affinálódnak, vagyis a forma állapotegyenlete szabályozza őket

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x) + g (x) u = f (x) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} (x) u_ {i} }

{\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, u (t) \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

(ahol $f$ és $g$ korlátlanul differenciálható, és $f (0) = 0$ ) a differenciálgeometriából kölcsönzött matematikai eszközöknek köszönhetően . Legyen a vektorok két mezője határozatlanul megkülönböztethető a Lie-kampójukon , és definiálják $V _ {{1}}, V _ {{2}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{n}}, \ balra [V _ {{1}}, V _ {{2}} \ jobbra]$

{\ displaystyle ad_ {V_ {1}} ^ {0} (V_ {2}) = V_ {2}, \ quad ad_ {V_ {1}} ^ {k} (V_ {2}) = [V_ {1 }, ad_ {V_ {1}} ^ {k-1} (V_ {2})], \ quad k \ \ \ 1,2, ... \}}

Legyen az eloszlások

{\ displaystyle G_ {i} = \ mathrm {span} \ {ad_ {f} ^ {k} (g_ {j}): k \ in \ {0,2, ..., i \}, j \ in \ {1,2, ..., m \} \}}

ahol a vektorok által kapcsos zárójelben generált vektorteret jelöli. Létezik egy nyitott $U$ szomszédságú origó, ahol a rendszer akkor és csak akkor vezérelhető , ha az eloszlás $n$ dimenziós . Ha a rendszer lineáris, akkor megtalálja Kalman kritériumát. Meghatározhatjuk azt is, hogy az $U-hoz$ tartozó állapotok halmaza az origóból elérhető . ${\ displaystyle \ mathrm {span} \ {. \}}$ $G _ {{n-1}}$ ${\ mathcal {X}} _ {{c}} = G _ {{n-1}} \ cap U$

Másrészt, van egy linearizáló hurkolás a formában (azaz van egy diffeomorfizmus olyan, hogy a bemeneti rendszer $v$ és állami jelentése lineáris ), ha, és csak akkor, ha (1) a fenti feltétel teljesül, és (2) az elosztó van invutív (azaz az összes vektormező esetében a Lie zárójel tartozik ). Ez az eredmény különösen Frobenius tételén alapul . ${\ displaystyle u = \ alpha (x) + \ beta (x) v}$ $u = \ eta$ $z = \ eta (x)$ $G _ {{n-2}}$ $V _ {{1}}, V _ {{2}} \ G _ {{n-2}}$ ${\ displaystyle [V_ {1}, V_ {2}]}$ $G _ {{n-2}}$

A fenti rendszer szükséges és elégséges feltétele a helyi megfigyelhetőségnek, ha rendelkezik a forma megfigyelési egyenletével

y = h (x)

A lapos rendszerek (a differenciál laposság (in) értelmében ) szabályozható rendszerek, és a lapos kimenetből nézve megfigyelhetők.

Stabilitás

A nemlineáris rendszerek stabilitását Lyapunov függvények segítségével vizsgálják. Különböző típusú stabilitás létezik: Lyapunov értelmében aszimptotikus, exponenciális; lehetnek lokálisak vagy globálisak, egységesek vagy sem, stb.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Kailath 1980
Kalman 1960 , Kalman 1963
Wonham 1985
Bourlès 2010
Rosenbrock 1970
Bourlès és Fliess 1997
MacFarlane és Karkanias 1976
Bourlès és Marinescu 2011
Silverman és Meadows 1967
Rugh 1995
Spivak 1999
Isidori 1995
Slotine és Li 1991
Fliess, Lévine és Rouchon 1995
Sira Ramírez és Agrawal 2004
Hahn 1967

Hivatkozások

(en) Thomas Kailath , Linear Systems , Prentice Hall ,1980, 682 p. ( ISBN 0-13-536961-4 )
en) Henri Bourlès , a Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 és 1-84821-162-7 , olvassa el online )
(en) Henri Bourlès és Michel Fliess , „ A lineáris rendszerek véges pólusai és nullai: belső megközelítés ” , Int. J. Control , vol. 68, n o 4,1997, P. 897–922
en) Henri Bourlès és Bogdan Marinescu , lineáris időváltozó rendszerek: algebrai-analitikus megközelítés , Springer,2011, 638 p. ( ISBN 978-3-642-19726-0 és 3-642-19726-4 , olvassa el online )
(en) Michel Fliess , Jean Lévine és Pierre Rouchon , „ A nemlineáris rendszerek lapossága és hibája: bevezető elmélet és példák ” , Internat. J. Control , vol. 61,1995, P. 1327-1361
en) Wolfgang Hahn , mozgásstabilitás , Springer,1967, 446 p. ( ISBN 3-540-03829-9 )
(en) Alberto Isidori , Nemlineáris vezérlőrendszerek (3. kiadás) , Berlin / Heidelberg / New York, Springer,1995, 564 p. ( ISBN 3-540-19916-0 , online olvasás )
(en) RE Kalman , „A vezérlőrendszerek általános elméletéről” , Proc. 1. IFAC kongresszus, Moszkva ,1960
(en) RE Kalman , „ Lineáris dinamikus rendszerek matematikai leírása ” , SIAM J. Control , vol. 1,1963, P. 152-192
(en) AGJ MacFarlane és N. Karkanias , „ Lineáris többváltozós rendszerek pólusai és nullai : az algebrai, geometriai és komplex-változó elmélet felmérése ” , Int. J. Control , vol. 24, n o 1,1976, P. 33-74
(en) Howard Rosenbrock , Állam-űr és multiváltozó elmélet , Nelson,1970, 267 p. ( ISBN 0-17-781002-5 )
(en) Wilson Rugh , Lineáris rendszerelmélet (2. kiadás) , Upper Saddle River (NJ), Prentice Hall ,1995, 581 p. ( ISBN 0-13-441205-2 )
en) Jean-Jacques E. Slotine és Weiping Li , alkalmazott nemlineáris kontroll , Prentice-Hall,1991, 461 p. ( ISBN 0-13-040049-1 )
(en) LM Silverman és HE Meadows , „ Vezérelhetőség és megfigyelhetőség az időben változó lineáris rendszerekben ” , SIAM J. Control , vol. 5,1967, P. 64-73
(en) Hebertt J. Sira Ramírez és Sunil Kumar Agrawal , Differential flat systems , Marcel Dekker ,2004, 467 o. ( ISBN 0-8247-5470-0 )
(en) Michael Spivak , (átfogó bevezetés) a differenciálgeometria [ a kiadások részlete ], repülés. 1., 1999
(en) W. Murray Wonham , Lineáris többváltozós vezérlés: geometriai megközelítés , New York / Berlin / Párizs stb., Springer,1985, 334 p. ( ISBN 0-387-96071-6 )

Lásd is