Logaritmikus skála
A logaritmikus skálán egy érettségi rendszer a mértani . Minden lépés szorozza az értéket egy pozitív állandóval . Ezért az érték tengelyén lévő helyzet arányos annak logaritmusával .
A logaritmikus skála különösen alkalmas az alkalmazások nagyságrendjeinek elszámolására . Kis helyen nagy értéktartományt mutat, feltéve, hogy ezek nem nulla értékűek és azonos előjelűek.
A logaritmikus skálákat analóg számítások elvégzésére vagy az eredmények grafikonokon történő bemutatására használják .
Meghatározás
A logaritmikus skála az exponenciálisan növekvő tengelyre helyezi az értékeket . Az azonos távolsággal elválasztott pontok ugyanazon jelentés értékeit képviselik.
A logaritmikus skála csak szigorúan pozitív értékekre van meghatározva.
Lineáris skála és logaritmikus skála összehasonlítása
A fenti ábra a mérleg két típusát mutatja:
- A lineáris skála mellett két olyan gradiens, amelyek különbsége 10, állandó távolságra vannak.
- A logaritmikus skála mellett két olyan fokozat, amelynek aránya 10, állandó távolságban vannak.
A logaritmikus skálán nagy számokat tömörítenek, közelebb helyeznek 1-hez és könnyen ábrázolják, míg az 1-nél kisebb számok kibővülnek és nagyon gyorsan visszatérnek a negatív végtelenbe.
Logaritmikus egységek
Néha logaritmikus egységeket használunk, vagyis azok értéke logaritmusa a mennyiség két értéke közötti aránynak. A választott logaritmikus alap az őket használó tudományág szokásaitól függ:
- a természetes logaritmus , amelynek bázisa nulla , megkönnyíti bizonyos számításokat, és a Taylor-sorozatnak köszönhetően közvetlenül kiértékelődik , de nem teszi lehetővé a tizedes nagyságrendű intuitív hozzáférést. A neper a két erő közötti arány természetes logaritmusa.
- a tizedes logaritmus (10. alap) közvetlenül ad egy nagyságrendű fogalmat, mivel a jellemző , vagyis a jel és a vessző előtti rész közvetlenül megadja. Olvashatósága a technika számos területén hasznos , bár módosított formában. A statisztikákban használják , és a kémia meghatározza a pH-t .
- A telekommunikációban , az elektronikában és az akusztikában általánosan használt decibel a két teljesítmény közötti arány tízes tizedesjegyű logaritmusa; de ha a táblák logaritmus és később zseb kalkulátorok nem adott könnyebben hozzáférjenek a logaritmus, akkor azt mondanánk, hogy szigorúan a decibel a alapú logaritmus 10 0.1 (vagy 1,26) közötti kapcsolat a két hatalom. Valóban ennek a szorzónak felel meg egy decibel.
- a 2 alap logaritmus használják számítástechnikai , a bitek és a zene , és oktáv .
- Hasonlóképpen, a félhanggal a temperált skála a zene, amely a tizenkettedik része egy oktáv, az alapú logaritmus 2 1 ÷ 12 (vagy körülbelül 1,06) a frekvencia .
A logaritmikus egységben beosztott lineáris skála a figyelembe vett mennyiség szempontjából egyenértékű a logaritmikus skálával.
Használat
A diaszabály kihasználja a logaritmikus skála tulajdonságait a szorzás lehetővé tételére.
A féllogaritmikus keretben lévő grafikonok segítségével bemutatjuk azoknak a mennyiségeknek az alakulását, amelyek egyikének lineáris evolúciója van (általában az x tengely független változója ), míg a másiknak exponenciális evolúciója van.
Példa: áralakulás:A közgazdaságtanban az árinfláció függvényében a nemzetközi pénznemek , részvények , áruk és egyéb kereskedelmi termékek értékét logaritmikus skálán írják fel az y tengelyre, míg az idő az y tengelyre. -tengely.
Példa: Frekvencia válasz:Az elektronika , a frekvenciamenet egy rendszer, és különösen egy szűrő , általában képviseli egy félig-logaritmikus diagram, egy logaritmikus skálán a frekvenciák az abszcisszán és a lineáris skálán a függőleges tengelyen, végzett decibelben , relatív egy bizonyos frekvencián (például 1000 Hz ) kapott feszültségre .
Mivel a decibelek logaritmikus egységek, az elektromos feszültség vagy feszültségviszonyok szempontjából a skála szintén logaritmikus, ami a Bode-diagramban aszimptotikus ábrákat tesz lehetővé egyenes vonalakban.
A logaritmikus jelölésű grafikonok mindkét tengelyen alkalmasak a független változót is tartalmazó méretekre, mivel a függő változó rendkívül eltérő értékeket vehet fel. Amikor az egyik arányos a magasság, a másik, hogy a teljesítmény , a grafikon egy vonalat rajzol, amelynek meredeksége arányos a kitevő.
Létrakészítés
Ismerjük a reprezentálandó minimális x min és maximális x max értékeket , valamint a két érték közötti skála l hosszát .
Az l hossz megfelel az r = x max ÷ x min szorzással .
A középre helyezett pont ugyanabban az x min és x max távolságban van . A középpontnak megfelelő érték a szélső értékek geometriai átlaga .
A lépésenkénti kiszámítás helyett a logaritmusok alapvető tulajdonságát használjuk:
log ( a × b ) = log ( a ) + log ( b )Kiszámíthatjuk az értékek arányát az exponenciális függvénynek köszönhetően , amely a logaritmikus függvény reciprok függvénye.
A tengely igény szerinti méretezéséhez kiszámíthatja a tengelyen az egységnyi hosszra eső érték arányát. Az egységnyi hosszúságra eső progresszió logaritmusát egyszerű osztással kapjuk meg: log ( r ) ÷ l, és a progresszió értéke r 1 / l .
Ezen a módon, ha elosztjuk a távolság L be n egyenlő szegmensek, az arány értékek, amelyek az egyes szegmens R 1 / n . Az x min és x max közötti különbségnek megfelelő teljes hosszúság tehát jól megfelel az r-vel való szorzásnak , míg az egyes szegmensek hossza az azonos mennyiséggel történő szorzásnak felel meg.
Az egyenlő távolságra lévő pontok a geometriai progresszió értékeit jelölik .
Példa logaritmikus skála felépítésére:
- Minimális érték: 0,1
- Maximális érték: 100
- relatív eltérés: r = 100 ÷ 0,1 = 1000
- tengely hossza: 600 pixel
Azt akarjuk, hogy a 10 többszöröseit jelezzük. Az 1000 arányhoz háromszoros szorzat van 10-tel, ami három 600 ÷ 3 = 200 pixel hosszú modulnak felel meg .
Ezen modulokon belül meg akarjuk jelölni az egyes értékek helyét, 2-től 9-ig.
- A 2-gyel való szorzás megfelel a 0,1 és 0,2, 1 és 2, 10 és 20 közötti távolságnak. A megfelelő hosszúságot egy logaritmus három szabályával kapjuk meg , amely 60,2 pixelt ad.
- Hasonlóképpen, a 3- zal való szorzás 95,4 pixelt eredményez 0,1 és 0,3, 1 és 3, valamint 10 és 30 között. Nyilvánvalóan kerekíteni kell.
- Többszöröseik könnyen megszerezhetők: az 1 és 4 közötti távolság megegyezik a két kettővel való szorzás távolságával, ezért 120,4 pixel; 1 és 8 között három szorzat kettővel, vagyis 180,6; 1 és 6 között a háromszoros és a kettővel való szorzásé, vagyis 95,4 + 60,2 = 155,6 pixel; és 1 és 9 között két szorzat szorzata 3-mal, vagyis 190,8 pixellel.
- Az 5-ös fokozat könnyen megszerezhető: mivel az ötszörös értéke tíz, ezért a hossza 0,5-től 1-ig, 5-től 10-ig, 50-től 100-ig 60,2 pixel (ezért megjegyezhetjük, hogy az 5-tel való szorzás 200 hosszúságnak felel meg) - 60,2 = 139,8 képpont).
- Már csak a 7-et kell elhelyezni, ugyanazzal a háromszabályos eljárással a logaritmusokon.
- Ezeknek a szegmenseknek a hossza érvényes a szorzásokra és az osztásokra is.
- Egy pixel jobbra tolása megfelel az exp növekedésének (log (1000) ÷ 600) ≈ 1,0115795
Mindegyik modul háromszor reprodukálható, az alakja változatlan, csak a pontok jelmagyarázata változik.
Megjegyzés: Az alap a logaritmus, amelyben a számításokat végeznek lényegtelen.Építés számológép nélkül
- A tízszeres szorzat önmagában 1024-et eredményez. Ezért 2% -on belül annak a szegmensnek a tízszeres hossza felel meg, amely megfelel a skála két vége közötti 2-vel való szorzásnak 0,1 és 100 között, ezért ez a szakasz 600 ÷ 10 × 60 képpont. Ezzel a hosszúsággal elhelyezhetjük a 2-et, 4-et, 5-öt és 8-at a fent látható módon.
- A 7 × 7 49 vagy 50–2%. A 100 hosszúsága két 200 pixeles modul, azaz 400 pixel, kivonjuk a hosszát 2-nek, mivel az értéket el kell osztani kettővel, a maradék 339,8; és a 7 értéke fele, vagyis 169,9, amelyet 169-re kerekítenek, mivel a 7 × 7 valamivel kevesebb, mint 50.
- A 3 × 3 értéke 9. Ismerjük a 8, 3 × 60,2 = 180,6 pixelnek megfelelő hosszúságot, amely 10 200 pixelnek felel meg, a 9-nek megfelelő hossz pedig a kettő között van, (180,6 + 200) ÷ 2 = 190,3; a 3-nak megfelelő fél, amelyet 95-re kerekítenek.
Amikor egy adott értéket referenciaként veszünk (például 1), a számot jelentő ponttól az ezt az értéket képviselő távolságot logaritmikus koordinátájának nevezzük .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Külső linkek
- Aix-en-Provence Planetárium : Logaritmusok
- en) Félnaplós üres papír